中考數學三輪沖刺培優(yōu)訓練專題07二次函數的應用（2份，原卷版+解析版）

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類型一、二次函數的應用：銷售問題
1．（2023·廣西南寧·?？家荒＃┠成痰曩忂M一批清潔劑，每瓶進價為20元，出于營銷考慮，要求每瓶清潔劑的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現該清潔劑每周的銷售量y（瓶）與每瓶清潔劑的售價x（元）之間滿足一次函數關系：當銷售單價為23元時，銷售量為34瓶；當銷售單價為25元時，銷售量為30瓶．
(1)求出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(2)設該商店每周銷售這種清潔劑所獲得的利潤為w元，將該清潔劑銷售單價定為多少元時，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)該清潔劑銷售單價定為28元時，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤最大，最大利潤是192元．
【分析】（1）利用待定系數法即可解決問題；
（2）構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.
【詳解】（1）解：設與的關系式為，由題意，得，圖象過點與，
把與代入，
得：，
解得：，
∴y與之間的函數關系式為，
∵每瓶清潔劑的售價不低于20元且不高于28元，
∴；
（2）解：由題意可得：
，
此時當時，最大，
又由（1）可知：，
當時，隨的增大而增大，
即當時，（元，
答：該清潔劑銷售單價定為28元時，才能使商店銷售該清潔劑所獲利潤最大，最大利潤是192元．
【點睛】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式以及二次函數的性質．
2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某摩托車配件店經市場調查，發(fā)現進價為元的新款頭盔每月的銷售量件與售價元的相關信息如下：
(1)試用你學過的函數來描述與的關系，這個函數可以是 (填“一次函數”或“二次函數”)，寫出這個函數解析式為 ．
(2)若獲利不得高于進價的，那么售價定為多少元時，月銷售利潤達到最大？
【答案】(1)一次函數；
(2)售價定為元時，月銷售利潤達到最大
【分析】（1）由表格知，售價每增加元，銷售量對應減少元，所以這個函數是一次函數，然后待定系數法求解析式即可求解；
（2） 設利潤為，則，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）由表格知，售價每增加元，銷售量對應減少元，所以這個函數是一次函數，
設其解析式為，
根據題意，得
解得
∴，
故答案為：一次函數；；
（2）設利潤為，則，
∵獲利不得高于進價的，
，
，
當時，隨著的增大而增大，
當時，最大，
答：售價定為元時，月銷售利潤達到最大．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，根據題意求得函數解析式是解題的關鍵．
3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）我市某景區(qū)商店在銷售北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品時，發(fā)現該紀念品的月銷售量y件是銷售單價x元的一次函數，如表是該商品的銷售數據．
(1)求y與x的函數關系式；
(2)若該商品的進貨單價是30元．請問，每件商品的銷售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？
【答案】(1)y與x的函數關系式為；
(2)每件商品的銷售價定為60元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是1800元．
【分析】（1）設y與x的函數關系式為，再根據待定系數法求解即可；
（2）根據月利潤=每件商品的利潤×月銷售量列出列出解析式，再將其化為頂點式，再根據其性質取最大值即可．
【詳解】（1）解：設y與x的函數關系式為，
根據題意得，，
解得：，
∴y與x的函數關系式為；
（2）解：設每個月可獲得的利潤為w，
根據題意得，，
整理得，，
∵，
∴該拋物線開口向下，w有最大值，
當時，w有最大值，最大值為1800元．
∴每件商品的銷售價定為60元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是1800元．
【點睛】本題考查一次函數的應用、二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的函數解析式，利用二次函數的性質求最值．
4．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）受2022年卡塔爾世界杯的影響，全世界范圍內掀起了踢足球熱潮，值此時機，某足球生產廠商推出了一款成本為50元的足球，物價部門規(guī)定，該產品利潤率不得高于，經調查，該產品的日銷量 （個與售價（元之間滿足一次函數關系．關于日銷量與售價的幾組對應值如下：
(1)求日銷量y（個）與售價x（元）之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
(2)①請寫出每天銷售總利潤w（元）與售價x（元）之間的函數關系式；
②如果廠商請你幫忙定價，售價定為多少元可使每天總利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)，
(2)①；②當時，利潤w最大，最大利潤為14900元
【分析】（1）根據一次函數過，，可求出函數關系式；
（2）①根據題意求出總利潤與的函數關系式即可；②依據函數的增減性和自變量的取值范圍即可得到結論．
【詳解】（1）解：設關系式為，把，，代入得：
，
解得，
故與的之間的函數關系式為，
的取值范圍為：；
（2）①，
即每天銷售總利潤（元）與售價（元）之間的函數關系式為；
②，
，拋物線開口向下，對稱軸為，在對稱軸的左側，隨的增大而增大，
，
當時，利潤最大，最大利潤為14900元．
【點睛】本題考查一次函數、二次函數的性質，求出相應的函數關系式和自變量的取值范圍是解決問題的關鍵，在求二次函數的最值時，注意自變量的取值范圍，容易出錯．
5．（2023·黑龍江大慶·?？家荒＃┠呈性邳h中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過50萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖像是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖像是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤＝銷售額﹣生產費用）
(1)直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式 ， （不必寫出自變量的取值范圍）；
(2)求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？
(3)由于受資金的影響，今年投入生產的費用不會超過80萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？
【答案】(1)
(2)，年產量為25萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為250萬元
(3)今年最多可獲得毛利潤240萬元
【分析】（1）結合圖像，利用待定系數法求出y與x以及z與x之間的函數關系式即可；
（2）根據“毛利潤=銷售額﹣生產費用”可得w與x之間的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可；
（3）令，解方程求得x的值，然后根據函數圖像結合y的取值范圍，求得x的取值范圍，最后根據二次函數的性質即可解答．
【詳解】（1）解：圖①可得函數經過點，
設拋物線的解析式為，
將點代入得：，解得：，
故y與x之間的關系式為．
圖②可得：函數經過點，
設，
則，解得：，
故z與x之間的關系式為．
故答案為：．
（2）解：
∵，
∴當x＝25時，W有最大值250，
∴年產量為25萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為250萬元．
（3）解：令，得，解得：（負值舍去），
由圖像可知，當時，，
由，的性質可知，
當時，W隨x的增大而增大，
故當x＝20時，W有最大值240．
答：今年最多可獲得毛利潤240萬元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、運用待定系數法求函數解析式、二次函數的圖像和性質等知識點，根據二次函數圖像獲取所需信息是解答本題的關鍵．
6．（2023·北京海淀·人大附中?？家荒＃橹笇Р宿r生產和銷售某種蔬菜，小明進行了如下調查，得到某種蔬菜的售價x（元/千克）與相應需求量p（千克）以及供給量q（千克）的數據，如下表：
(1)觀察表中的數據，小明發(fā)現：供給量q（千克）與售價x（元/千克）之間滿足______函數關系（橫線上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函數表達式為______；
(2)為了研究這種蔬菜的需求量p（千克）與售價x（元/千克）之間的關系，小明在坐標系中，以售價為橫坐標、相應需求量為縱坐標描出下列四個點，將其用平滑曲線連線，如圖．通過再圖觀察，小明發(fā)現這種蔬菜的需求量p（千克）與售價x（元/千克）之間滿足二次函數關系，并進一步確定它的函數表達式滿足的形式，請求出p關于x關于的函數表達式．
(3)為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價應定為多少？
【答案】(1)一次函數，
(2)
(3)為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價應定為5元．
【分析】（1）根據供給量q（千克）與售價x（元/千克）之間的數量關系可得到答案；
（2）利用待定系數法求出函數表達式即可；
（3）根據供給量與需求量相等得到，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：觀察表中的數據，可發(fā)現供給量q（千克）與售價x（元/千克）之間滿足一次函數關系，它的函數表達式是，
故答案為：一次函數，
（2）由表格可知當時，，當時，，
∴
解得，
∴p關于x關于的函數表達式是．
（3）當蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等）時，，
即，
解得（不合題意，舍去），
∴為使這種蔬菜供需平衡（即供給量與需求量相等），售價應定為5元．
【點睛】此題考查了一次函數和二次函數的綜合應用，還考查了待定系數法、解一元二次方程等知識，根據題意得到函數解析式是解題的關鍵．
7．（2023·湖北孝感·?？家荒＃┲锌寂R近，某中學食堂為提高全體初三學子伙食，精心購買A、B兩種食材共，A食材的價格為每千克5元，當B食材購買量不大于時，B食材的價格為每千克9元，當B食材購買量大于時，每增加，B食材的價格降低元．設購買B種食材（x為10的整數倍）．
(1)若，購買A、B兩種食材共花了3800元，求A、B兩種食材各多少千克？
(2)若，且購買A食材的數量不少于B食材數量的一半，求購買A種食材多少千克時，購買的總費用最少，最少總費用是多少元？
(3)若購買A食材不超過，購買B食材超過，商家獲得的最大銷售額為4000元，求m的值．
【答案】(1)購買A種食材，購買B種食材
(2)購買A種食材200千克時，購買的總費用最少，最少總費用是4200元
(3)100
【分析】（1）設購買B種食材，則購買A種食材，根據題意列出方程求解即可；
（2）根據總費用等于A，B兩種食材費用之和列出函數解析式，再根據函數的性質求最值；
（3）令（2）中解析式，則解一元二次方程即可．
【詳解】（1）解：設購買B種食材，則購買A種食材，根據題意得：
，
解得：，
所以，
答：購買A種食材，購買B種食材；
（2）解：當時，購買B種食材的價格為每千克，
設購買的總費用為w元，根據題意得：
，
整理得：，
∴該函數圖象的對稱軸為直線，
∵購買A食材的數量不少于B食材數量的一半，
∴，解得：，
∵且x為10的整數倍，
∴且x為10的整數倍，
∵，
∴該函數圖象向下，
∴當時，w隨x的增大而增大，當時，w隨x的增大而減小，
∴當時，w有最小值，最小值為，此時，
∴購買A種食材200千克時，購買的總費用最少，最少總費用是4200元；
（3）解：由題意，結合（2）得：
令，
解得：，
∵購買B食材超過300千克，
∴應舍去，只取，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數和一元一次方程以及一元二次方程的應用，關鍵是找到等量關系列出函數解析式或方程．
8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）垃圾分類作為一個公共管理的綜合系統(tǒng)工程，需要社會各個方面共同發(fā)力．洛陽市某超市計劃定制一款家用分類垃圾桶，獨家經銷，生產廠家給出如下定制方案：不收設計費，定制不超過套時．每套費用元；超過套后，超出的部分折優(yōu)惠．已知該超市定制這款垃圾桶的平均費用為元套
(1)該超市定制了這款垃圾桶多少套？
(2)超市經過市場調研發(fā)現：當此款垃圾桶售價定為/套時，平均每天可售出套；售價每降低元．平均每天可多售出套，售價下降多少元時．可使該超市平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大？
【答案】(1)該超市定制這款垃圾桶套
(2)售價下降元時，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大
【分析】（1）設該超市定制了這款垃圾桶套，根據題意，列出方程，即可；
（2）設售價下降元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤為元，根據題意，列出方程，解出方程，即可．
【詳解】（1）設該超市定制了這款垃圾桶套，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：該超市定制了這款垃圾桶套．
（2）設售價下降元，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤為元，
∴，
，
∵且，
∴當時，有最大值，
答：售價下降元時，平均每天銷售此款垃圾桶的利潤最大．
【點睛】本題考查一元一次方程和二次函數的知識，解題的關鍵是掌握一元一次方程和二次函數的運用，根據題意，列出等式．
9．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）某商場試銷一款玩具，進價為20元/件，商場與供貨商約定，試銷期間利潤不高于，且同一周內售價不變．從試銷記錄看到，當售價為22元時，一周銷售了80件該玩具；當售價為24元時，一周銷售了60件該玩具．每周銷量（件）與售價（元）符合一次函數關系．
(1)求每周銷量（件）與售價（元）之間的關系式；
(2)若商場一周內銷售該玩具獲得的利潤為210元，則該玩具的售價為多少元
(3)商場將該玩具的售價定為多少時，一周內銷售該玩具獲得利潤最大最大利潤為多少元
【答案】(1)
(2)23元
(3)25元；250元
【詳解】（1）解：（1）設每周銷量（件）與銷售單價（元）之間的關系式為
則解得：
（件）與銷售單價（元）之間的關系式為：
故答案為：
（2）解：根據題意可得
整理，得，解得，
利潤不高于，
舍去
答：該玩具的售價為23元．
故答案為：23元．
（3）根據題意得：，
隨著的減小而增大
當時，取最大值且元
答：最大利潤為250元．
故答案為：250元
【點睛】本題主要考查的是二次函數的圖像和性質、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系數法求一次函數．解題過程中需要注意通過因式分解實現降次求得的取值是否符合題意以及是否能熟練掌握頂點式二次函數的解析式．
10．（2023·陜西西安·模擬預測）一食品店平均每天可賣出個某種甜點，賣出個甜點的利潤是元，經調查發(fā)現，零售單價每下降元，每天可多賣出個甜點，為了使每天獲得的利潤更多，該店決定把零售單價下降元．
(1)零售單價下降元后，該店平均每天可賣出______個甜點，利潤是______元；
(2)在不考慮其它因素的條件下，當定為多少元時，才能使該店每天獲得的利潤是元，并且賣出的甜點更多；
(3)若使該店每天獲取的利潤最大，應定為多少元？并求出此時的最大利潤．
【答案】(1)，
(2)元
(3)當應定為元時，該店每天獲取的利潤最大，最大利潤為元
【分析】（1）根據題意先求出每天可賣出的甜點數，再根據利潤單個甜點利潤銷售量求出對應的利潤即可；
（2）根據利潤單個甜點利潤銷售量列出方程求解即可；
（3）設每天的利潤為W，根據利潤單個甜點利潤銷售量列出W與x的二次函數關系，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：個，
∴零售單價下降元后，該店平均每天可賣出個甜點，
∴此時的利潤是元，
故答案為：，；
（2）解：由題意得，，
整理得：，即，
解得或，
∵要使且賣出的甜點更多，
∴降價越多，即，
∴當定為元時，才能使該店每天獲得的利潤是元，并且賣出的甜點更多，
（3）解：設每天的利潤為W，
由題意得，
，
∵，
∴當時，W最大，最大為，
∴當應定為元時，該店每天獲取的利潤最大，最大利潤為元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，一元二次方程的實際應用，有理數四則混合計算的實際應用，正確理解題意列出對應的方程和函數關系式是解題的關鍵．
類型二、二次函數的應用：分段問題
11．（2023·河北保定·校考模擬預測）東東在網上銷售一種成本為30元件的恤衫，銷售過程中的其他各種費用（不再含恤衫成本）總計50（百元）．若銷售價格為（元件），銷售量為（百件），當時，與之間滿足一次函數關系，且當時，，有關銷售量（百件）與銷售價格（元件）的相關信息如表：
(1)求當時，與的函數關系式；
(2)求銷售這種恤衫的純利潤百元與銷售價格元件的函數關系式；
銷售價格定為每件多少元時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2) ；價格定為80元件時，獲得的利潤最大，最大利潤是10000元
【分析】（1）把代入得，設與的函數關系式為：，把，；，，代入解方程組即可得到結論；
（2）①根據的范圍分類討論，由“總利潤單件利潤銷售量”可得函數解析式；②結合（1）中兩個函數解析式，分別依據二次函數的性質和反比例函數的性質求其最值即可．
【詳解】（1）解：把代入得，
設與的函數關系式為：，
當時，，當時，，
，
解得：，
與的函數關系式為：；
故答案為：；
（2）①當時，；
當時，；
銷售這種恤衫的純利潤（百元）與銷售價格（元件）的函數關系式為；
②當時，，
，
當時，取得最大值70（百元）；
當時，，
，
隨的增大而增大，
當時，（百元）（元），
答：銷售價格定為80元件時，獲得的利潤最大，最大利潤是10000元．
【點睛】本題主要考查二次函數和反比例函數的應用，理解題意依據相等關系列出函數解析式，并熟練掌握二次函數和反比例函數的性質是解題的關鍵．
12．（2023·湖北咸寧·校聯(lián)考一模）李麗大學畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開了一家服裝專賣店代理品牌服裝的銷售．已知該品牌服裝進價每件40元，日銷售（件）與銷售價（元/件）之間的關系如圖所示（實線），每天付員工的工資每人82元，每天應支付其他費用106元．
(1)直接寫出日銷售（件）與銷售價（元/件）之間的函數關系式；
(2)當某天的銷售價為48元/件時，收支恰好平衡（收入=支出），求該店員工人數；
(3)若該店只有2名員工，則每天能獲得的最大利潤是多少元?此時，每件服裝的價格應定為多少元?
【答案】(1)；
(2)3人．
(3)每天能獲得的最大利潤是180元，此時，每件服裝的價格應定為55元．
【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據收入等于支出，可得一元一次方程，根據解一元一次方程，可得答案；
（3）分兩種情況解答：①當時；②當時，依據：總利潤=單件利潤×銷售量-工人工資及其他費用列出函數解析式，求解即可．
【詳解】（1）解：（1）當時，設y與x的函數解析式為，由圖象可得：，解得：．
∴；
當時，設y與x的函數解析式為，由圖象得：
，解得：．
∴．
綜上所述：y=．
（2）設人數為a，當時，，
則，
解得：．
答：該店員工人數為3．
（3）設每件服裝的價格為元時，每天獲得的利潤為元．
當時
當時，最大值．
當時

當時，最大值＝171．
∵
∴最大值
答：每天能獲得的最大利潤是180元，此時，每件服裝的價格應定為55元．
【點睛】本題考查了二次函數的應用與一次函數和一元一次方程的應用能力，理解題意找到符合題意得相等關系函數解析式是解題的關鍵．
13．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考一模）某商場銷售的一種商品的進價為元/件，連續(xù)銷售天后，統(tǒng)計發(fā)現：在這天內，該商品每天的銷售價格（元/件）與時間（第天）之間滿足如圖所示的函數關系，該商品的日銷售量（件）與時間（第天）之間滿足一次函數關系．
(1)直接寫出與之間的函數關系式；
(2)設銷售該商品的日利潤為（元），求與之間的函數關系式，并求出在這天內哪天的日利潤最大，最大日利潤是多少元？
(3)在這天內，日利潤不低于元的共有多少天？請直接寫出結果．
【答案】(1)
(2)，當時，w最大，；
(3)日利潤不低于元的共有天；
【分析】（1）根據函數圖像利用待定系數法可直接得到答案；
（2）根據利潤利潤單價數量，寫出函數關系式，再根據函數的性質可直接得到答案；
（3）根據利潤不低于原列不等式即可得到答案；
【詳解】（1）解：由題意可得，
①當時，設函數解析式為：，
由圖像可得，函數經過，，將點代入解析式得，
，
解得：，
∴，
②當時，此時，
綜上所述可得，；
（2）解：由題意可得，
① 當時，
，
∵，，
∴當時，w最大，
，
② 當時，
，
∵，
∴y隨x增大而減小，
∴當時，w最大，
∴，
綜上所述：，當時，w最大，；
（3）解：根據題意可得，
，解得：，且t為整數，，解得： ，且t為整數，
∴，
綜上所述：日利潤不低于元的共有天；
【點睛】本題考查一次函數解決銷售利潤問題，二次函數解決銷售利潤問題及不等式解決銷售利潤問題，解題的關鍵是求出利潤w與t的函數關系式．
14．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┠成痰隂Q定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數量和用400元購進B種紀念品的數量相同．
(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？
(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數量的關系如下表，
①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？
②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數小于B型紀念品的件數，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．
【答案】(1)，兩種紀念品每件的進價分別是元和元
(2)①當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元；②32
【分析】（1）設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，根據用1000元購進種紀念品的數量和用400元購進種紀念品的數量相同，列出分式方程，進行求解即可；
（2）①設利潤為，根據圖表，利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數量，列出函數關系式，根據函數的性質，求出最值即可；②根據題意可得，此時該商場購進型紀念品為件，再由A型紀念品的件數不小于50件，可得，設總利潤為，求出函數關系式，根據二次函數函數的性質，即可求出的值．
【詳解】（1）解：設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，
由題意，得：，
解得：，
經檢驗：是原方程的解；
當時：；
∴，兩種紀念品每件的進價分別是元和元；
（2）解：①設利潤為，由表格，得：
當時，，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當售價為元時，利潤最大為：元；
當，，
∵，
∴當時，利潤最大為元；
綜上：當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元．
②∵商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數小于B型紀念品的件數，
∴A型紀念品的件數小于100件，
∴，此時該商場購進型紀念品為件，
∴購進型紀念品為件，
∵A型紀念品的件數不小于50件，
∴，
∴，
設總利潤為y元，根據題意得：
，
∴
，
∴當時， y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴當時，y有最大值，
∵將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查分式方程的應用，一次函數的應用，二次函數的應用．根據題意，正確的列出分式方程和函數表示式，利用函數的性質，求最值是解題的關鍵．
15．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）2022年全球疫情肆虐，醫(yī)用物質緊缺，一線的抗議人員奮不顧身，用血肉之軀為我們開辟一條安全的道路，直至11月，全國各地相繼宣布解封，各行各業(yè)紛紛復工投入上產，“陽光醫(yī)療器械廠”立即投入生產，下圖表是12月份前5天的防護服售價y（元/套），和銷量t（套）的關系表：
由于物價部門發(fā)現這種亂象，從第5天開始工廠對外調整價格為28元一套，據統(tǒng)計第6天以后防護服銷量t（套）和第x天的關系出現：（，且x為整數）．
(1)直接寫出銷量t與第x天（前4天）滿足的關系式：并且求出第6天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少；
(2)若成本價為22元，該工廠這些天（按20天計）出售防護服得到的利潤W（元）與x的函數關系式：直接寫出第幾天的利潤的最大．
【答案】(1)，第6天以后第20天的銷量最大，最大值為500套
(2)第20天的利潤的最大，最大值3000元．
【分析】（1）前4天銷量每天增加20套，故屬于一次函數，用待定系數法求解即可；第6天以后銷量最值直接求 最大值即可；
（2）表示出20天的利潤W（元）與x的函數關系式再求最值即可，注意分兩種情況討論即可．
【詳解】（1）∵由表格可知，前4天銷量每天增加20套，
∴銷量t與第x天（前4天）滿足的一次函數關系，設
由表格可知和在上
∴，解得
∴銷量t與第x天（前4天）滿足的；
∵的對稱軸為直線，而
∴當時，t隨x的增大而增大
∴當時，t最大，最大值，
即第6天以后第20天的銷量最大，最大值為500套；
（2）當時銷售價格
∴
對稱軸為直線，而
∴當時，隨x的增大而增大
∴當時，最大，最大值元，
當時，
對稱軸為直線，而
∴當時，隨x的增大而增大
∴當時，最大，最大值，
綜上所述，第20天的利潤的最大，最大值3000元．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，涉及了待定系數法求函數解析式及分段函數的知識，解答本題的關鍵是要求同學們熟練掌握配方法求二次函數最值的應用，難度較大．
16．（2023·遼寧阜新·?？家荒＃┠惩婢哌B鎖店研制出一種新式文具，試銷一段時間后發(fā)現，若每件文具的售價不超過元，每天可銷售件；若每件文具售價超過元，每提高元，每天的銷量就會減少件，但每件文具售價不得高于元，這家文具連鎖店每天需要支付因這種文具而產生的其他費用（不含文具成本）元，設每件文具的售價為（元），文具連鎖店每件利潤為元，文具連鎖店每天銷售這種文具的純收入為（元）．（注：純收入＝銷售額﹣成本﹣其他費用）
(1)根據題意，填寫下表：
(2)經調查，該文具店每天銷售這種文具的每件收入為（元）與零售價（元/件）滿足一次函數關系，其圖象如圖，求出與之間的函數關系式；
(3)如果這種文具每件的售價不超過元，那么如何定價才能使該文具連鎖店每天銷售這種文具的純收入最高？最高純收入為多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)當售價為元時可該使該文具連鎖店每天銷售這種文具的的純收入最高，最高純收入為元
【分析】（1）根據表中文具的銷售量和售價的變化情況填空即可；
（2）利用表中的對應值確定一次函數解析式即可；
（3）分和兩種情況，根據“純收入=（售價進價）×銷售量每天固定成本”可得函數解析式，當時，利用一次函數的增減性求解；當時將二次函數配方成頂點式，再利用二次函數的性質求解；綜合以上兩種情況下的最值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：根據題意，當時，銷售量為300件，
當時，銷售量為（件），
補全表格如圖：
（2）解：與之間的函數關系式為，
把點和代入上式得
，
解得，
即與之間的函數關系式為；
（3）解：時，，
解得，
所以文具的進價為元，每件利潤，
當每件文具售價不超過元，即時，；
當每件文具售價超過元，即時，；
①當時，中隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，最大值；
②當時，，
，
∴當時，隨的增大而增大，
，
∴當時，取得最大值；
綜上，當時，取得最大值；
答：當售價為元時可該使該文具連鎖店每天銷售這種文具的的純收入最高，最高純收入為元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用、一次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關系，并據此正確列出函數解析式，還要熟練掌握一次函數和二次函數的性質．
17．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）小黃做小商品的批發(fā)生意，其中某款“中國結”每件的成本為15元，該款“中國結”的批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（x為正整數）（件）之間滿足如圖所示的函數關系．
(1)當時，求y與x的函數關系式．
(2)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國結”，共支付7280元，求此次批發(fā)量．
(3)某零售商在小黃處一次性批發(fā)該款“中國結”x（）件，小黃獲得的利潤為w元，當x為何值時，小黃獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)，其中
(2)280件
(3)當時，小黃獲得的利潤最大，最大利潤是3125元
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）首先可判斷出購買的數量小于400而大于200，則由數量單價=付款額，列出關于x的一元二次方程即可求解；
（3）分及兩種情況分別計算所獲的最大利潤，再比較即可．
【詳解】（1）解：由圖知，當時，線段過點及，
設過這兩點的線段解析式為：，
則有：，
解得：，
即，其中；
（2）解：由圖知，當x=200時，所付款為：（元），當x=400時，所付款為：（元），而，則購買數量位于200與400之間；
由題意得：，
即，
解得：，（舍去），
即此次批發(fā)量為280件；
（3）解：當時，
即，
當時，w有最大值，且最大值為3125；
當時，批發(fā)價固定，批發(fā)量越大，則利潤越大，則當時，利潤最大，且最大利潤為：（元）
由于，
所以當時，小黃獲得的利潤最大，最大利潤是3125元．
【點睛】本題是函數與方程的綜合，考查了待定系數法求一次函數的解析式，解一元二次方程，二次函數的圖象與性質等知識，正確理解題意，準確列出方程或函數關系式是關鍵，注意數形結合．
18．（2023·江蘇揚州·?？家荒＃┚珳史鲐毠ぷ饕呀涍M入攻堅階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數x滿足一次函數關系，部分數據如下表：
設第x天的售價為y元/千克，y關于x的函數關系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤是w元．（利潤＝銷售收入﹣成本）
(1)將表格中的最后一列補充完整；
(2)求y關于x的函數關系式；
(3)求銷售草莓的第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少元？
【答案】(1)見解析
(2)y＝
(3)銷售草莓的第30天時，當天的利潤最大，最大利潤是272元
【分析】（1）設每天的銷售量為z，則用待定系數法可求出每天的銷售量與銷售天數x的一次函數關系式，根據關系式填表即可；
（2）根據圖像寫出分段函數即可；
（3）根據函數關系列出x和w之間的關系式，利用二次函數的性質求最值即可．
【詳解】（1）設每天的銷量為z，
∵每天的銷售量與銷售天數x滿足一次函數關系，
∴z＝sx+t，
∵當x＝1時，z＝10，x＝2時z＝12，
∴，
解得，
即z＝2x+8，
當時，銷售量，
則將表格中的最后一列補充完整如下表：
（2）由函數圖像知，當0＜x≤20時，y與x成一次函數，且函數圖像過(10，14)，(20，9)，
設y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝-x+19（0＜x≤20），
當20＜x≤30時，y＝9，
∴y關于x的函數關系式為y＝；
（3）由題意知，當0＜x≤20時，
w＝＝﹣x2+24x+112＝，
∴此時當x＝12時，w有最大值為256，
當20＜x≤30時，
w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此時當x＝30時，w有最大值為272，
綜上所述，銷售草莓的第30天時，當天的利潤最大，最大利潤是272元．
【點睛】本題主要考查一次函數的圖像和性質，二次函數的應用等知識，熟練掌握一次函數的圖像和性質及二次函數的應用是解題的關鍵．
19．（2023·浙江杭州·模擬預測）為推進“書香社區(qū)”建設，某社區(qū)計劃購進一批圖書．已知購買2本科技類圖書和3本文學類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學類圖書需282元．
(1)科技類圖書與文學類圖書的單價分別為多少元？
(2)為了支持“書香社區(qū)”建設，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進兩種圖書共計100本，其中科技類圖書不少于30本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準備多少購書款？
【答案】(1)科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元．
(2)社區(qū)至少要準備2700元購書款．
【分析】（1）設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，然后根據題意可列出方程組進行求解；
（2）設社區(qū)需要準備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學類圖書有（100-m）本，由（1）及題意可分當時，當時及當時，進而問題可分類求解即可．
【詳解】（1）解：設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，由題意得：
，解得：；
答：科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元．
（2）解：設社區(qū)需要準備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學類圖書有（100-m）本，由（1）可得：
①當時，則有：，
∵12＞0，
∴當m=30時，w有最小值，即為；
②當時，則有：，
∵-1＜0，對稱軸為直線，
∴當時，w隨m的增大而減小，
∴當m=50時，w有最小值，即為；
③當時，此時科技類圖書的單價為（元），則有，
∵2＞0，
∴當m=51時，w有最小值，即為；
綜上所述：社區(qū)至少要準備2700元的購書款．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用、一次函數與二次函數的應用，解題的關鍵是找準等量關系，注意分類討論．
20．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┍斩帐?022年北京冬季奧運會的吉祥物．冰墩墩以熊貓為原型設計，寓意創(chuàng)造非凡、探索未來．某批發(fā)市場購進一批冰墩墩玩偶出售，每件進貨價為50元．經市場調查，每月的銷傳量y（萬件）與每件的售價x（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表：
(1)直接寫出y與x之間的函數表達式為 ；
(2)批發(fā)市場銷售冰墩墩玩偶希望每月獲利352萬元，且盡量給客戶實惠，每件冰墩墩應該如何定價？
(3)批發(fā)市場規(guī)定，冰墩墩的每件利潤率不低于10%，若這批玩偶每月銷售量不低于20a萬件，最大利潤為400萬元，求a的值．
【答案】(1)
(2)每件冰墩墩定價為58元
(3)
【分析】（1）由表可知單價為60元時，可買40萬件，每上漲2元，銷量就降4萬件，據此有，整理即可得；
（2）根據題意列出一元二次方程即可求解，注意以讓利給顧客為依據對根作取舍；
（3）設銷售總利潤為w，由題意，得 ，根據題意得出關于x的不等式組，求出x的取值范圍，根據拋物線的性質和最大利潤為400萬元即可求出a的值．
【詳解】（1）由表可知單價為60元時，可買40萬件，每上漲2元，銷量就降4萬件，據此有，整理即可得：；
（2）
解得，
∵盡量給客戶優(yōu)惠
∴每件冰墩墩定價為58元；
（3）設銷售總利潤為w，由題意，
得 ，
又∵，則
∵二次項系數，拋物線開口向下，
①若，則當時，，不符合題意，舍去
②若，即
當時，隨的增大而增大，
∴時，最大，
此時
解得，（舍）
∴．
【點睛】本題考查了一次函數和二次函數的應用，根據題意得出y與x的關系式以及列出二元二次方程是解答本題的關鍵．
類型三、二次函數的應用：投球問題
21．（2023·河北滄州·校考模擬預測）學校舉辦籃球比賽，運動員小明跳起投籃，已知球出手時離地面2.4米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手的水平距離4米時到達最大高度（M點）4米，設籃球運行軌跡為拋物線，籃圈中心距地面3.1米．以地面為x軸，經過最高點（M點）與地面垂直的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)請根據圖中信息，求出籃球運行軌跡的拋物線解析式；
(2)請問運動員小明的這次跳起投籃能否投中？
(3)此時，對方隊員乙上前攔截蓋帽，且隊員乙最大摸高3.2米，若隊員乙蓋帽失敗，則他距運動員小明至少多遠？（，結果精確到0.1）（說明：在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來，稱為蓋帽，但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規(guī)，判進攻方得2分．）
【答案】(1)
(2)小明的這次跳起投籃能投中
(3)他距運動員小明至少1.2米
【分析】（1）先根據題意得出點的坐標，在根據頂點式帶入求解．
（2）求當時的求函數值．
（3）求出時的x值．
【詳解】（1）解：由題意及圖形知：拋物線的頂點為：，過點，
設拋物線的解析式為：，
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：當時，，
所以小明的這次跳起投籃能投中．
（3）解：當時，，
解得：，
由題意知：，
，
，
所以他距運動員小明至少米．
【點睛】此題考查了二次函數的解析式求解及應用，解題的關鍵是熟練應用二次函數性質．
22．（2023·福建·福建省福州第十九中學校考一模）排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米．某次摸擬測試中，某生在處將球墊偏，之后又在A、兩處先后墊球，球沿拋物線運動（假設拋物線、、在同一平面內），最終正好在處墊住，處離地面的距離為1米．如圖所示，以為坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，軸平行于地面水平直線，已知點，點的橫坐標為，拋物線表達式為和拋物線表達式為．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由；
(3)為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該生第三次墊球處離地面的高度至少為多少米？
【答案】(1)；
(2)最大高度未達到要求，理由見解析；
(3)米．
【分析】（1）直接利用待定系數法，即可求出拋物線的函數表達式；
（2）將拋物線表達式化為頂點式，得到頂點坐標，求出實際最大高度，即可得到答案；
（3）由（1）可知，，得到拋物線表達式為，進而得到對稱軸為直線，頂點坐標為，根據最大高度的要求和對稱軸，求出，再根據點的橫坐標為，得到，求出的最小值即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線表達式為，且經過點，
，
解得：，
拋物線的函數表達式為：
（2）解：最大高度未達到要求，理由如下：
由（1）得，拋物線的函數表達式為，
，
拋物線的頂點坐標為，
處離地面的距離為1米，
球在運動中離地面的最大高度為，
最大高度未達到要求；
（3）解：由（1）可知，，
拋物線表達式為，
對稱軸為直線，頂點坐標為，
球在運動中離地面的最大高度達到要求，
，
或，
對稱軸在x軸負半軸，
，
，
點的橫坐標為，
，
當時，有最小值，最小值為，
點離地面的高度至少為米．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．
23．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）為增強學生身體素質，創(chuàng)設體育文化氛圍，某校開展田徑運動會，小賢同學報了投鉛球比賽的項目，如圖曲線AB就是他投出的鉛球運動路線，呈拋物線形，出手點A離地面的高度為，鉛球飛行的水平距離的長度為m．過作于點，以OB為軸，為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．
(1)寫出，兩點的坐標；
(2)若拋物線的解析式為
①求的取值范圍；
②若，求小賢同學投出的鉛球運動路線（拋物線）的解析式．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根據題意可直接得出結果；
（2）①根據對稱軸在O、B之間可得：，由此確定的取值范圍；
②利用待定系數法設該拋物線的表達式為，然后將點A代入求解即可；
【詳解】（1）解：∵出手點A離地面的高度為，鉛球飛行的水平距離的長度為m．
∴，．
（2）解：①∵，
∴．
②∵，
∴對稱軸：直線．
故該拋物線與軸的另一個交點為．
∴設．
將代入上式子得．
∴．
∴．
故小賢同學投出的鉛球運動路線的解析式為．
【點睛】本題主要考查二次函數的應用，理解題意，掌握用待定系數法確定函數解析式及求方程的解是解題關鍵．
24．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，一小球從斜坡上的點處拋出，建立如圖所示的平面直角坐標系，球的拋出路線是拋物線的一部分，斜坡可以看作直線的一部分．若小球經過點，解答下列問題：
(1)求拋物線的表達式，并直接寫出拋物線的對稱軸；
(2)小球在斜坡上的落點為，求點的坐標；
(3)在斜坡上的點有一棵樹，點的橫坐標為2，樹高為4，小球能否飛過這棵樹？通過計算說明理由；
(4)直接寫出小球在飛行的過程中離斜坡的最大高度．
【答案】(1)；
(2)
(3)小球能飛過這棵，理由見解析
(4)
【分析】（1）把點代入，求出b的值，再把解析式化為頂點式，即可求解；
（2）聯(lián)立得：，即可求解；
（3）把分別代入，和，即可求解；
（4）根據二次函數的性質即可得到結論．
【詳解】（1）解：把點代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點的坐標為；
（3）解：小球能飛過這棵，理由如下：
當時，
對于，，
對于，，
，
∴小球能飛過這棵樹；
（4）解：根據題意得：小球在飛行的過程中離斜坡的距離為
，
∵，
∴小球在飛行的過程中離斜坡的最大高度為．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，其中涉及到兩函數圖象交點的求解方法，二次函數頂點坐標的求解方法，待定系數法求一次函數的解析式，難度適中利用數形結合與方程思想是解題的關鍵．
25．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）在某場足球比賽中，球員甲將在地面上點處的足球對著球門踢出，圖中的拋物線是足球的高度與球和點的水平距離的函數的部分圖象（不考慮空氣的阻力），當足球運行到最高點時，此時球恰好在球員乙的正上方，球員乙在距點的點處，球距地面的高度為，即，對方球門與點的水平距離為．
(1)當時，
①求與的關系式；
②當球的高度為時，求足球與對方球門的水平距離；
(2)防守隊員丙站在距點正前方的點處，球員甲罰出的任意球高過球員丙的頭頂并直接射進對方球門，已知丙的身高為，即，球門的高度為，即，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①；②當球的高度為時，求足球與對方球門的水平距離為或
(2)
【分析】（1）依題意，設拋物線解析式為，將點代入，待定系數法求解析式，進而，根據對方球門與點的水平距離為，即可求解．
（2）設拋物線解析式為，依題意，當時，，當時，，解不等式組即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，設拋物線解析式為，將點代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為，
令，即，
解得：，
∵對方球門與點的水平距離為，
∴當球的高度為時，求足球與對方球門的水平距離為或；
（2）解：設拋物線解析式為，
依題意，當時，，
解得：，
當時，，
解得：，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
26．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，滑雪大跳臺在設計時融入了敦煌壁畫中“飛天”的元素，故又名“雪飛天”．圖1為“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．運動員從點起跳后到著陸坡著落時的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，取水平線為軸，鉛垂線為軸，建立平面直角坐標示如圖2，從起跳到著落的過程中，運動員的鉛垂高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數關系．在著陸坡上設置點作為標準點，著陸點在點或超過點視為成績達標．
(1)在某運動員的一次試跳中，測得該運動員的水平距離與鉛垂高度的幾組數據如上表，根據上述數據，直接寫出該運動員鉛垂高度的最大值，并求出滿足的函數關系式
(2)請問在此次試跳中，該運動員的成績是否達標？
(3)此次試跳中，該運動員在空中從起跳到達最高點的高度或從最高點到下落的高度（m）與時間（s）均滿足（其中為常數，表示重力加速度，?。?，運動員要完成“飛天”動作至少在空中要停留3秒鐘，問該運動員從起跳到落地能完成動作嗎？
【答案】(1)；
(2)不達標
(3)不能
【分析】（1）根據題意可得拋物線的頂點坐標為，從而得到拋物線的解析式為，再把點代入，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分別把和代入，求出t的值，即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意得：拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的解析式為，
即，
即該運動員鉛垂高度的最大值為；
把點代入得：
，解得：，
∴滿足的函數關系式為；
（2）解：當時，，
∴該運動員的成績不達標；
（3）解：當時，，
解得：或，
當時，，
解得：或，
∴該運動員從起跳到落地所用時間為，
∵運動員要完成“飛天”動作至少在空中要停留3秒鐘，
∴該運動員從起跳到落地不能完成動作．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，明確題意，準確得到函數關系式是解題的關鍵．
27．（2023·北京西城·校考一模）奧運會主火炬手小王練習射箭點火．他需要用火種點燃箭頭，然后準確地射向米遠、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一個弓形的圣火臺，該弓形的弦記為，且火炬塔垂直平分，這支箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，記這支箭飛行的水平距離為（單位：），距地面的豎直高度為（單位：），獲得數據如表：
小芳根據學習函數的經驗，對函數h隨自變量d的變化而變化的規(guī)律進行了研究．下面是小芳的探究過程，請補充完整：
(1)k的值為_________；
(2)在平面直角坐標系中，描全以表中各對應值為坐標的點，并用平滑的曲線連接；
(3)只要小王射出箭的軌跡與線段有公共點，那么這支箭就可以射入圣火臺．請問小王是否可以將這支箭射入圣火臺？答：_______________（填“是”或者“否”）
(4)開幕式當晚，只要小王射出的箭能夠進入圣火臺上方邊長為4米的正方形范圍內（包含邊界），都可以順利點燃主火炬．小芳發(fā)現，在射箭的初始角度和力量不變的情況下，小王還可以通過調整與火炬塔的水平距離來改變這支箭的飛行軌跡（即向右平移原拋物線）．若保證圣火被點燃，小王可以沿橫軸正方向移動的最大距離是______________米．（結果請保留根號）
【答案】(1)
(2)見解析
(3)是
(4)
【分析】（1）根據拋物線的對稱性結合表格數據可知當與時的函數值相等，據此即可求解；
（2）先根據表格中的數據在直角坐標系中描點，然后用光滑的曲線連接即可；
（3）先求得拋物線的解析式，再求出當時所對應的的值，再和作比較即可；
（4）利用已求得拋物線的解析式，根據題意，先求得正方形左下角的點的坐標和右上角的點的坐標，再根據拋物線的平移列出方程，求得平移的距離，即可求解．
【詳解】（1）解：∵這只箭飛行的軌跡可以看作是拋物線的一部分，
根據表格數據和二次函數圖像的對稱的性質可得：對稱軸為直線，
∴與時的函數值相等，
∵當時，，
∴當時，．
故答案為：．
（2）解：先根據表格中的數據在直角坐標系中描點，然后用光滑的曲線連接如下圖：
（3）解：設二次函數的解析式為：，
當時，，
∴，
解得：，
∴二次函數的解析式為，
當時，
，
∴小王可以將這支箭射入圣火臺．
故答案為：是．
（4）解：由（3）可知：二次函數的解析式為，
∵圣火臺上方高4米的范圍內，都可以順利點燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不變的情況下，射手可以通過調整與火炬塔的距離來改變這只箭的飛行軌跡，即相當于將圖像左右平移可以保證圣火被點燃，
依題意，正方形左下角的點的坐標為，右上角的點的坐標為，
設前進米，即拋物線向右平移米，當拋物線經過正方形的右上角的點時，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數的實際應用，考查拋物線的對稱性，描點法畫函數圖像，二次函數圖像的平移．根據函數圖像獲取信息解題的關鍵．
28．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）原地正面擲實心球是中招體育考試項目之一．受測者站在起擲線后，被擲出的實心球進行斜拋運動，實心球著陸點到起擲線的距離即為此項目成績．實心球的運動軌跡可看作拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系，實心球從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離近似滿足函數關系．小明使用內置傳感器的智能實心球進行擲實心球訓練．
(1)第一次訓練時，智能實心球回傳的水平距離與豎直高度的幾組對應數據如下：
則：①拋物線頂點的坐標是______，頂點坐標的實際意義是________；
②求y與x近似滿足的函數關系式，并直接寫出本次訓練的成績．
(2)第二次訓練時，y與x近似滿足函數關系，則第二次訓練成績與第一次相比是否有提高？為什么？
(3)實心球的拋物線軌跡是影響成績的重要因素，可以通過多種方法調整實心球的軌跡．小明擲實心球的出手高度不變，即拋物線中c的值不變，要提高成績應使a，b的值做怎樣的調整?
【答案】(1)①，頂點坐標的實際意義是實心球拋出后達到的最大垂直高度；②，本次訓練的成績?yōu)?br>(2)有提高，理由見解析
(3)a變大，b變大
【分析】（1）①根據表格數據和題意可解答；②利用待定系數法求解即可；
（2）求出第二次著陸的距離，與第一次比較即可得出結論；
（3）可根據拋物線的最大垂直高度、對稱軸的位置和著陸距離，結合前兩次的函數解析式和結論可作出結論．
【詳解】（1）解：①根據表格數據，當和時，y值相等，則直線是對稱軸，
∴頂點坐標為，
由于頂點是拋物線的最高點，故實際意義為實心球拋出后達到的最大垂直高度，
故答案為：，頂點坐標的實際意義是實心球拋出后達到的最大垂直高度；
②設y與x近似滿足的函數關系式為，
將，代入，得，解得，
∴y與x近似滿足的函數關系式為；
令，由得，（負值舍去），
∴本次訓練的成績?yōu)椋?br>（2）解：有提高，理由為：
對于函數，拋物線的頂點坐標為
令，由得，（負值舍去），
∵，，
∴第二次拋出的最大垂直高度大于第一次，著陸更遠，成績更集中，
即第二次訓練成績與第一次相比有提高；
（3）解：對于函數的頂點坐標為，對稱軸為直線，
由題意，，，著陸距離為（負值舍去），最大垂直高度為，
要提高成績，只需提高最大垂直高度，對稱軸盡可能的遠離拋出位置，著陸距離盡可能的遠，
結合第一次和第二次的拋物線方程，可將a變大，b變大．
【點睛】本題是二次函數的綜合應用題，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數的圖象與性質、二次函數圖象與x軸的交點問題等知識，解答的關鍵是理解題意，熟練運用二次函數的圖象與性質分析解答．
29．（2023·北京海淀·北京交通大學附屬中學?？寄M預測）一小球M從斜坡上的點O處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數刻畫．若小球到達最高點的坐標為．
(1)求拋物線的函數解析式（不寫自變量x的取值范圍）；
(2)若要在斜坡上的點B處豎直立一個高4米的廣告牌，點B與拋出點O的水平距離為2，請判斷小球M能否飛過這個廣告牌？通過計算說明理由；
(3)直接寫出小球M在飛行的過程中離斜坡的最大高度．
【答案】(1)，
(2)小球M能飛過這棵樹；理由見解析
(3)
【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為，把代入即可確定拋物線解析式；
（2）將分別代入兩個函數求解，比較即可．
（3）設小球M在飛行的過程中離斜坡的高度為h米，先根據拋物線和一次函數的解析式可得出h關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可得．
【詳解】（1）解：∵小球到達的最高的點坐標為，
∴設拋物線的表達式為，
把代入得，，
解得：，
∴拋物線的表達式為；
（2）當時，，，
∵，
∴小球M能飛過這棵樹；
（3）小球M在飛行的過程中離斜坡的高度，
∴小球M在飛行的過程中離斜坡的最大高度為．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、求二次函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．
30．（2023·河北滄州·?？家荒＃┛蒲腥藛T為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據．無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機離地面高度（米）與小鋼球運動時間（秒）之間的函數關系如圖所示；小鋼球離地面高度（米）與它的運動時間（秒）之間的函數關系如圖中拋物線所示．
（1）直接寫出與之間的函數關系式；
（2）求出與之間的函數關系式；
（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先設出一次函數的解析式，再用待定系數法求函數解析式即可；
（2）用待定系數法求函數解析式即可；
（3）當1＜x≤6時小鋼球在無人機上方，因此求y2-y1，當6＜x≤8時，無人機在小鋼球的上方，因此求y1-y2，然后進行比較判斷即可．
【詳解】解：（1）設y1與x之間的函數關系式為y1=kx+b'，
∵函數圖象過點（0，30）和（1，35），
則，
解得，
∴y1與x之間的函數關系式為．
（2）∵時，，
∵的圖象是過原點的拋物線，
∴設，
∴點，在拋物線上．
∴，即，
解得，
∴．
答：與的函數關系式為．
（3）設小鋼球和無人機的高度差為米，
由得或.
①時，
，
∵，∴拋物線開口向下，
又∵，
∴當時，的最大值為；
②時，
，
∵，∴拋物線開口向上，
又∵對稱軸是直線，
∴當時，隨的增大而增大，
∵，
∴當時，的最大值為70．
∵，
∴高度差的最大值為70米．
答：高度差的最大值為70米．
【點睛】本題考查了二次函數以及一次函數的應用，關鍵是根據根據實際情況判斷無人機和小鋼球的高度差．
類型四、二次函數的應用：噴水問題
31．（2023·湖南永州·校考一模）一座橋如圖，橋下水面寬度是10米，高是4米．如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系．
(1)求拋物線的解析式；
(2)要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？
【答案】(1)
(2)寬度須不超過5米
【分析】（1）先根據題意得到，然后把拋物線設成交點式進行求解即可；
（2）求出當時x的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，，
設拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：當時，則，
解得，
∴要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過米．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，正確求出對應的拋物線解析式是解題的關鍵．
32．（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┤鐖D，古代一石橋有17個大小相同的橋洞，橋面平直，其中三個橋洞抽象成拋物線，其最大高度為，寬為，將橋墩的寬度、厚度忽略不計，以水平方向為橫軸，建立平面直角坐標系如圖所示，．
(1)求這條拋物線的函數關系式；
(2)若一艘高于水平面的小船想要通過橋洞，根據安全需要，它頂部最寬處兩側距橋洞的水平距離均不得小于，設它頂部最寬處為，求d的值不得超過多少小船才能順利通過？
【答案】(1)
(2)不得超過m
【分析】（1）設，把頂點坐標為代入可得解析式；
（2）將代入解出x的值可得答案．
【詳解】（1）設這條拋物線的函數關系式為，
由題意得頂點坐標為，
∴，
∵函數圖象經過點，
∴，
∴，
∴，
∴這條拋物線的函數關系式為；
（2）當時，，
解得：，，
∵頂部最寬處兩側距橋洞的水平距離均不得小于，
∴，
解得，
∴d的值不得超過m，小船才能順利通過．
【點睛】本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再對二次函數進行實際應用．解題的關鍵是建立數學模型，借助二次函數解決實際問題．
33．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D1，一段高架橋的兩墻，由拋物線一部分連接，為確保安全，在拋物線一部分內修建了一個菱形支架，拋物線的最高點到的距離米，，點，在拋物線一部分上，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，確定一個單位長度為1米．
(1)求此拋物線對應的函數表達式；
(2)求高架橋兩端的的距離；
(3)如圖2，現在將菱形做成廣告牌，且在菱形內再做一個內接矩形廣告牌，已知矩形廣告牌的價格為80元/米，其余部分廣告牌的價格為160元/米，試求菱形廣告牌所需的最低費用．
【答案】(1)
(2)米
(3)元
【分析】（1）過點作于點，作 軸于點，在 中，軸，，勾股定理得出，進而得出，根據，得出，進而待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據，解方程，得出的坐標，即可求解．
（3）待定系數法得出直線的解析式為，直線的解析式為，設矩形中，米，則，代入，，繼而得出，由（1）得出，設總費用為，進而根據面積乘以廣告牌的價格得出的函數關系，根據二次函數的性質求得最值即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，作 軸于點，
∵四邊形是菱形，，
∴，，
在 中，軸，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
設拋物線對應的函數表達式為，
將，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）令，
解得：，
∴，
∴（米）
（3）設直線的解析式為，將點代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將點，代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設矩形中，米，
則，代入，，
得，
∴ ，
∴，
由（1）可得，
，
設總費用為，
∴
；
當時，取得最小值，
最小值為，
∴菱形廣告牌所需的最低費用為元．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，菱形的性質，矩形的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
34．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？家荒＃┤鐖D，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面寬，當水位上升時，水面寬．
(1)按如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的函數表達式；
(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當船距離此橋，橋下水位正好在處，之后水位每小時上漲，當水位達到 處時，將禁止船只通行．如果該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時，水面寬是多少？它能否安全通過此橋？
【答案】(1)
(2)水面寬是，它能安全通過此橋
【分析】（1）以拱橋最頂端為原點，建立直角坐標系，根據題目中所給的數據設函數解析式為，由待定系數法求出其解即可；
（2）計算出船行駛到橋下的時間，由這個時間按計算水位上升的高度，從而得出此時水面寬度，再比較就可以求出結論．
【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為不等于，橋拱最高點到水面的距離為米．
則，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，得
船行駛到橋下的時間為：小時，
水位上升的高度為：米．
設此時水面寬為 ，
，
由（1）知：，
∴F縱坐標為，
把代入，得
，
解得：，，
∴，
．
船的速度不變，它能安全通過此橋．
答：該船的速度不變繼續(xù)向此橋行駛時，水面寬是，它能安全通過此橋．
【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，行程問題的數量關系的運用，有理數大小的比較的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．
35．（2023·北京西城·北京市第三十五中學校考一模）學校舉辦“科技之星”頒獎典禮，頒獎現場人口為一個拱門．小明要在拱門上順次粘貼“科”“技”“之”“星”四個大字（如圖1），其中，“科”與“星”距地面的高度相同，“技”與“之”距地面的高度相同，他發(fā)現拱門可以看作是拋物線的一部分，四個字和五角星可以看作拋物線上的點．通過測量得到拱門的最大跨度是10米，最高點的五角星距地面6.25米．
(1)請在圖2中建立平面直角坐標系，并求出該拋物線的解析式；
(2)“技”與“之”的水平距離為米．小明想同時達到如下兩個設計效果：
① “科”與“星”的水平距離是“技”與“之”的水平距離的2倍；
②“技”與“科”距地面的高度差為1.5米．
小明的設計能否實現？若能實現，直接寫出的值；若不能實現，請說明理由．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)能實現；
【分析】（1）建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，代入求解析式即可；
（2）設“技”的坐標，表示“科”，列出方程解方程即可．
【詳解】（1）解：如圖，以拋物線頂點為原點，以拋物線對稱軸為軸，建立平面直角坐標系．
設這條拋物線表示的二次函數為．
∵拋物線過點，
∴
∴
∴這條拋物線表示的二次函數為．
（2）能實現；．
由“技”與“之”的水平距離為米，設“技”，“之”，
則 “科”，
“技”與“科”距地面的高度差為1.5米，
，
解得：或(舍去)
【點睛】本題考查運用二次函數解決實際問題，建立適當的平面直角坐標系，求出函數解析式是解題的關鍵．
36．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）某公路有一個拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過頂點C（0，5）.（長度單位：m）
(1)直接寫出c＝ ；
(2)求該隧道截面的最大跨度（即AB的長度）是多少米？
(3)該隧道為雙向車道，現有一輛運貨卡車高4米、寬3米，問這輛卡車能否順利通過隧道？請說明理由.
【答案】(1)5；
(2)10米；
(3)能安全通過，理由見解析．
【分析】（1）將點C（0，5）代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c即可求解；
（2）由圖可知，A、B兩點之間的距離即為該隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得；
（3）該隧道為雙向車道，故將x＝3代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c，求得y的值與4比較大小即可求解．
【詳解】（1）解：∵頂點C（0，5）
∴c＝5，
故答案為：5．
（2）解：由題意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通過．
【點睛】本題考查了求二次函數的解析式、解一元二次方程、二次函數的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握各知識點，能結合圖形與實際列式求解．
37．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O為坐標原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．
(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；
(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，設拋物線的函數表達式為，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根據題意知，A，B兩點的縱坐標為6，代入函數解析式可求出兩點的橫坐標，從而 可解決問題．
【詳解】（1）依題意，頂點，
設拋物線的函數表達式為，
將代入，得．解之，得．
∴拋物線的函數表達式為．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數的解析式是關鍵．
38．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）某公園內人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據學習函數的經驗，對d和h之間的關系進行了探究．
下面是小紅的探究過程，請補充完整：
(1)經過測量，得出了d和h的幾組對應值，如下表．
在d和h這兩個變量中，________是自變量，________是這個變量的函數；
(2)在下面的平面直角坐標系中，畫出（1）中所確定的函數的圖象；
(3)結合表格數據和函數圖象，解決問題：
①橋墩露出水面的高度AE為_______米；
②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設置警戒線，并且，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為_______米．（精確到0.1米）
【答案】(1)d，h
(2)見解析
(3)①0.88；②則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．
【分析】（1）根據函數的定義即可解答；
（2）描點，連線，畫出圖象即可；
（3）①觀察圖象即可得出結論；②求出拋物線的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【詳解】（1）解：根據函數的定義，我們可以確定，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數；
故答案為：d，h；
（2）解：描點，連線，畫出圖象如圖：
；
（3）解：①觀察圖象，橋墩露出水面的高度AE為0.88米；
故答案為：0.88；
②設根據圖象設二次函數的解析式為h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，
解得：，
∴二次函數的解析式為h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d3.3或d0.7，
∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．
【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，用待定系數法求出二次函數的解析式．
39．（2023·湖北武漢·華中科技大學附屬中學?？寄M預測）有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面的寬為18米，拱頂離水面的距離為9米，建立如圖所示的平面直角坐標系.
（1）求此拋物線的解析式；
（2）一艘貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形.
①如果限定矩形的長為12米，那么要使船通過拱橋，矩形的高不能超過多少米？
②若點，都在拋物線上，設，當的值最大時，求矩形的高.
【答案】（1）此拋物線的解析式為y=-x2；（2）①要使船通過拱橋，矩形的高DE不能超過5米；②矩形CDEF的高為米.
【分析】（1）根據題意設拋物線的解析式為y=ax2（a≠0）．把已知坐標（9，-9）代入解析式求得a即可；
（2）①已知CD=12，把已知坐標代入函數關系式可求解；
②設DM=a米，可得EF=CD=2DM=2a米、DE=FC=9-a2，根據L=EF+DE+CF求得L的值最大時a的值，代入DE=9-a2問題可解．
【詳解】解：（1）根據題意，設拋物線解析式為：y=ax2，
將點Ｂ（9，-9）代入，得：81a=-9，
解得：a=-，
此拋物線的解析式為y=-x2；
（2）①當x=6時，y=-×36=-4，
∵9-4=5，
∴矩形的高DE不能超過5米，才能使船通過拱橋；要使船通過拱橋，矩形的高DE不能超過5米；
②設DM=a米，則EF=CD=2DM=2a米，
當x=a時，y=-a2，
∴DE=FC=9-a2，
則L=2a+2（9-a2）=-a2+2a+18=-（a-）2+，
∴當a=時，L取得最大值，矩形CDEF的高為米
【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式及二次函數的應用，根據已知條件得出L的函數關系式及其最值情況是解題關鍵．
40．（2023·北京東城·北京市廣渠門中學?？寄M預測）如圖1是某條公路的一個單向隧道的橫斷面．經測量，兩側墻AD和與路面AB垂直，隧道內側寬AB＝4米．為了確保隧道的安全通行，工程人員在路面AB上取點E，測量點E到墻面AD的距離和到隧道頂面的距離EF．設米，米．通過取點、測量，工程人員得到了x與y的幾組值，如下表：
(1)隧道頂面到路面AB的最大高度為______米；
(2)請你幫助工程人員建立平面直角坐標系，描出上表中各對對應值為坐標的點，畫出可以表示隧道頂面的圖象．
(3)今有寬為2.4米，高為3米的貨車準備在隧道中間通過（如圖2）．根據隧道通行標準，其車廂最高點到隧道頂面的距離應大于0.5米．結合所畫圖象，請判斷該貨車是否安全通過：______（填寫“是”或“否”）．
【答案】(1)3.99
(2)見解析
(3)是
【分析】（1）根據二次函數的對稱性可知：當時，有最大值；
（2）根據題意，以點A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系；
（3）在中，令，求得相應的值，結合其車廂最高點到隧道頂面的距離應大于0.5米．從而判斷該貨車是否能安全通過.
【詳解】（1）解：根據二次函數的對稱性可知：當時，有最大值為3.99；
故答案為：3.99；
（2）解：如圖，建立直角坐標系，
（3）解：將代入，得：
，解得：，
拋物線的表達式為；
在中，令，得：
，
車廂最高點到隧道頂面的距離大于0.5米，
該貨車能安全通過；
故答案為：是．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合、理清題中的數量關系、熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
類型五、二次函數的應用：拱橋問題
41．（2023·江西吉安·校考模擬預測）某公司為城市廣場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，噴出的水柱軌跡呈現拋物線型．據此建立平面直角坐標系，如圖．若噴出的水柱軌跡上某一點與支柱的水平距離為x（單位：m），與廣場地面的垂直高度為y（單位：m）．下面的表中記錄了y與x的五組數據：
根據上述信息，解決以下問題：
(1)求出與之間的函數關系；
(2)求水柱落地點與雕塑的水平距離；
(3)為實現動態(tài)噴水效果，廣場管理處決定對噴水設施做如下設計改進：在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，把水柱噴水的半徑（動態(tài)噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，請?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨群蚥的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
(3)水柱的最大高度，的取值范圍為．
【分析】（1）設與之間的函數關系為，代入，，，利用待定系數法求解即可；
（2）令，則，求解方程取滿足實際要求得值即可；
（3）．由題意可知：不變，即，且的位置不變，即，設，把代入解得，易知，當最小時，即時，代入水柱有最大高度為的值即可．
【詳解】（1）解：設與之間的函數關系為，
代入，，，得：
，解得：，
∴設與之間的函數關系為；
（2）令，則，即：；
∴，
∴（舍）或，
∴水柱落地點與雕塑的水平距離為；
（3）由在噴出水柱軌跡的形狀不變的前提下，可知：
不變，即，且的位置不變，即，
設，
把代入得，，解得，把代入得，，解得,
∵把水柱噴水的半徑（動態(tài)噴水時，點C到AB的距離）控制在到之間，
∴，
當最小時，即時，即水柱有最大高度為，
∴水柱的最大高度，的取值范圍為．
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，理清題中的數量關系并用待定系數法求得拋物線的解析式是解題的關鍵．
42．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.2m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【答案】(1)；6m
(2)
(3)
【分析】（1）由頂點得，設，再根據拋物線過點，可得a的值，從而解決問題；
（2）由對稱軸知點的對稱點為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，可得點B的坐標；
（3）根據EF=0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
設，
又∵拋物線過點，∴，
∴，
∴上邊緣拋物線的函數解析式為，當時，，
解得，（舍去），
∴噴出水的最大射程為6m；
（2）解：∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點為，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點B的坐標為；
（3）解：∵，
∴點F的縱坐標為0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，要使，
則 ，
∵當時，y隨x的增大而增大，且時，，
∴當時，要使，則，
∵，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
【點睛】本題是二次函數的實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．
43．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）某游樂場的圓形噴水池中心O有一噴水管，米，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立平面直角坐標系，點A在y軸上．已知在與池中心O點水平距離為3米時，水柱達到最高，此時高度為2米．
(1)求水柱所在的拋物線（第一象限部分）的函數表達式；
(2)身高為的小穎站在距離噴水管的地方，她會被水噴到嗎？
(3)現重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點處達到最高，則噴水管要升高多少？
【答案】(1)
(2)她不會被水噴到；
(3)
【分析】（1）根據圖像設拋物線解析式為，根據題意將點代入即可得到答案；
（2）計算當時y的值，與比較即可得到答案；
（3）根據題意中形狀不變得到不變，對稱軸是及過點代入頂點式即可得到答案．
【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，由圖像可得，
，，圖像過，
∴ ，
解得：，
∴；
（2）解：當時，
，
∴她不會被水噴到；
（3）解：設解析式為，
由題意可得，
∵圖像形狀不變，仍在距離原點處達到最高，落水點與噴水管距離，
∴，，過點，
∴，
解得：，
∴，
當時，
∴，
，
∴要升高米．
【點睛】本題考查二次函數實際應用及求拋物線解析式，解題的關鍵是根據圖像及題意提取相關信息．
44．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學?？家荒＃┠尘坝^公園內人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，若設距水槍水平距離為x米時水柱距離湖面高度為y米，y與x近似的滿足函數關系．現測量出x與y的幾組數據如下：
請解決以下問題：
(1)求出滿足條件的函數關系式；
(2)身高米的小明與水柱在同一平面中，設他到水槍的水平距離為m米（），畫出圖象，結合圖象回答，若小明被水槍淋到m的取值范圍．
【答案】(1)拋物線為：
(2)畫圖見解析，
【分析】（1）由表格信息先求解拋物線的對稱軸，再求解得到坐標，再把代入求解即可；
（2）先畫拋物線的實際圖象，結合圖象再求解拋物線與x軸的交點坐標，從而可得答案．
【詳解】（1）解：由表格信息可得拋物線過，，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
∴頂點坐標為：，
∴拋物線為：
把代入可得，，
解得：，
∴拋物線為：．
（2）如圖，根據表格信息結合拋物線的對稱性先描點，再連線畫圖如下：
當時，結合拋物線的對稱性可得：或，
當時，則，
解得：，，
∴小明被水槍淋到m的取值范圍為：．
【點睛】本題考查的是二次函數的實際應用，畫二次函數的圖象，理解題意，靈活的運用拋物線的對稱性解題是關鍵．
45．（2023·北京西城·北師大實驗中學?？寄M預測）某景觀公園內人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現測量出如下數據，在距水槍水平距離為米的地點，水柱距離湖面高度為米．
請解決以下問題：
(1)在下邊網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接．
(2)請結合表中所給數據或所畫圖象，估出噴泉的落水點距水槍的水平距離約為______米（精確到0.1）；
(3)公園增設了新的游玩項目，購置了寬度3米，頂棚到水面高度為4.5米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過，別有一番趣味，請通過計算說明游船是否有被噴泉淋到的危險．
【答案】(1)見解析
(2)7.0
(3)游船沒有被噴泉淋到的危險
【分析】（1）建立坐標系，描點、用平滑的曲線連接即可；
（2）觀察圖象并根據二次函數圖象的性質求出最高點的坐標，設二次函數的頂點式，求解即可；
（3）把代入關系式，計算出y的值與4.5比較即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：由圖象可知噴泉最高點距離湖面的高度為5.6米；
根據圖象設二次函數的解析式為，
將代入得，
∴拋物線的解析式為，
當時，，
解得或（舍去），
所以噴泉的落水點距水槍的水平距離約為6.7米；
（3）解：當時，，
∴游船沒有被噴泉淋到的危險．
【點睛】本題考查了二次函數噴泉的應用，二次函數解析式，二次函數圖象的平移．解題的關鍵在于熟練掌握二次函數的圖象建立二次函數模型．
46．（2023·河北滄州·?？寄M預測）某公園要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管長2.25m．在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m．
(1)建立如圖所示平面直角坐標系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；
(2)不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？
(3)實際施工時，經測量，水池的最大半徑只有2.5m，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，需對水管的長度進行調整，求調整后水管的最大長度．
【答案】(1)
(2)水池的直徑至少要6米才能使噴出的水流不落到池外
(3)調整后水管的最大長度米
【分析】(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為：，將代入得，求出的值即可；
(2)令，得，，解得(舍)或，可得直徑至少為(米)；
(3)將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經過點，設平移后的拋物線的解析式為∶，將代入得求出的值，得出平移后的拋物線的解析式，再令求出即可．
【詳解】（1）由題意可知，拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的解析式為：，
將代入得，，
解得，
拋物線的解析式為∶．
（2）令，得，，
解得(舍)或，
(米)，
水池的直徑至少要6米才能使珞出的水流不落到池外．
（3）將拋物線向下平移，使平移后的拋物線經過點，
設平移后的拋物線的解析式為∶，
將代入得，，
解得，
當時，．
調整后水管的最大長度米．
【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的運用，重點是二次函數解析式的求法，利用頂點式求出解析式是解題關鍵．
47．（2023·北京順義·北京市順義區(qū)仁和中學?？家荒＃┠彻珗@在垂直于湖面的立柱上安裝了一個多孔噴頭，從噴頭每個孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當噴頭向四周同時噴水時，形成一個環(huán)狀噴泉，安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數據，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米，
請解決以下問題：
(1)在網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接；
(2)結合表中所給數據或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點距離湖面的高度；
(3)求所畫圖象對應的函數表達式；
(4)從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設立一圈正方形護欄，這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄（不考慮接頭等其他因素）．
【答案】(1)見解析
(2)5
(3)
(4)72米
【分析】（1）在表格中建立坐標系，然后描點、連線即可；
（2）觀察圖象即可；
（3）由表中點（1.0，4.2），（5.0，4.2），可確定拋物線的對稱軸及頂點坐標，則設拋物線解析式為頂點式即可，再找點（1.0，4.2）代入即可求得解析式；
（4）在求得的解析式中令h=0，則可求得d的值，即可確定所需護欄的長度．
【詳解】（1）坐標系及圖象如圖所示．
（2）由圖象知，水柱最高點距離湖面的高度為5米．
（3）∵拋物線經過點（1.0，4.2），（5.0，4.2），
∴拋物線的對稱軸為．
∴拋物線的頂點坐標為（3.0，5.0）．
設拋物線的函數表達式為．
把（1.0，4.2）代入，解得．
∴所畫圖象對應的函數表達式為．
（4）令，解得（舍），．
∴每條水柱在湖面上的落點到立柱的水平距離為8米．
∵這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，
∴正方形護欄的邊長至少為18米．
則公園至少需要準備18×4=72（米）的護欄．
【點睛】本題是二次函數的實際問題，考查了畫二次函數圖象，求二次函數解析式，二次函數與一元二次方程的關系等知識，二次函數的相關知識是解題的關鍵．
48．（2023·安徽合肥·校考模擬預測）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：）．
(1)求上邊緣拋物線的函數解析式；
(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求出d的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意可知是上邊緣拋物線的頂點，然后把拋物線設為頂點式，然后代入進行求解即可；
（2）先求出上邊緣拋物線與x軸的交點C的坐標，再求出上邊緣拋物線上與點H對稱的點的坐標，進而確定下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，即點B是點C向左平移得到的，由此即可得到答案；
（3）對于上邊緣拋物線，先求出當，當時，，進而確定，要使，則，從而得到d的最大值為，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，則d的最小值為2，由此即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
∴可設上邊緣拋物線解析式為，
又∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴上邊緣拋物線的函數解析式為；
（2）解：在中，令，則，
解得或，
∴；
∵上邊緣拋物線的對稱軸為直線，
∴在上邊緣拋物線上點的對稱點為，
∵下邊緣拋物線是有上邊緣拋物線向左平移得到的，且下拋物線經過，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴點B是點C向左平移得到的，
∴點B的坐標為；
（3）解：∵，
∴點F的縱坐標為，
對于上邊緣拋物線，當時，則，
解得，
∵，
∴，
當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，要使，則，
∵當時，y隨x的增大而增大，且時，，
∴當時，要使，則，
∵，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，正確理解題意求出上邊緣拋物線解析式是解題的關鍵．
49．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考一模）某景觀公園的人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現測量出如下表中的數據，在距水槍水平距離為米的地點，水柱距離湖面高度為米．
請解決以下問題：
(1)在網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接．
(2)①求噴泉拋物線的解析式；
②求噴泉的落水點距水槍的水平距離．
(3)已知噴泉落水點剛好在水池內邊緣，如果通過改變噴泉的推力大小，使得噴出的水流形成的拋物線為，此時噴泉是否會噴到水池外？為什么？
(4)在（2）的條件下，公園增設了新的游玩項目，購置了寬度為4米，頂棚到湖面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉最高處的正下方通過，別有一番趣味，請通過計算說明游船是否有被噴泉淋到的危險．
【答案】(1)見解析
(2)①；②6.7米
(3)會，見解析
(4)游船有被噴泉淋到的危險
【分析】（1）根據對應點畫圖象即可；
（2）①利用待定系數法求出二次函數的關系式；②把代入即可；
（3）根據噴泉推理大小改變前后的函數解析式可以判斷推理改變后拋物線開口變大，從而得出結論；
（4）把代入二次函數關系式得到得值，再與4.2比較即可．
【詳解】（1）解：如圖：
（2）解：①由圖象得，頂點，
設，
把代入可得，
；
②當時，，
解得或（舍去），（米），
答：噴泉的落水點距水槍的水平距離約為6.7米，
（3）解： ，
改變噴泉的推力后拋物線開口變大，
此時噴泉會噴到水池外面．
（4）解：當時，，
答：游船有被噴泉淋到的危險.
【點睛】本題考查二次函數的實際應用，根據對應點的坐標得到二次函數關系式是解題關鍵．
50．（2023·北京海淀·?？级＃┠尘坝^公園內人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現測量出如下數據，在距水槍水平距離為d米的地點，水柱距離湖面高度為h米．
請解決以下問題：
(1)在下邊網格中建立適當的平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接；
(2)請結合表中所給數據或所畫圖象，估出噴泉的落水點距水槍的水平距離約為 米（精確到0.1）；
(3)公園增設了新的游玩項目，購置了寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米的平頂游船，游船從噴泉正下方通過，別有一番趣味，請通過計算說明游船是否有被噴泉淋到的危險．
【答案】(1)作圖見解析
(2)6.7
(3)游船有被噴泉淋到的危險
【分析】（1）以左下角的點為原點，建立平面直角坐標系如圖，然后描點，最后用平滑的曲線連接即可；
（2）根據圖象中米時，估算值即可；
（3）由點坐標可知，該二次函數圖象的頂點坐標為，設二次函數的解析式為，將代入，解得，可得二次函數頂點式，由平頂游船寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米，可將代入二次函數解析式中求得的值，然后與比較大小，進而可得出結論．
【詳解】（1）解：建立如圖坐標系，描點后用平滑的曲線連接即可，
（2）解：米時，由圖象可估出噴泉的落水點距水槍的水平距離約為6.7米
故答案為：6.7．
（3）解：由點坐標可知，該二次函數圖象的頂點坐標為
設二次函數的解析式為
將代入，解得
∵平頂游船寬度4米，頂棚到水面高度為4.2米
∴將代入二次函數解析式中得米
∵
∴游船有被噴泉淋到的危險．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象，二次函數與坐標軸的交點，二次函數的應用．解題的關鍵在于熟練掌握二次函數的知識并靈活運用．
售價x(元)
…
銷售量y(件)
…
銷售單價x（元）
40
50
月銷售量y（件）
100
80
售價x（元）
60
70
100
日銷量y（個）
140
120
60
售價x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量p（千克）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
供給量q（千克）
…
1.5
2
2.5
3
銷售量百件
______
銷售價格元件
售價x（元/件）
銷售量（件）
100
第x天
1
2
3
4
5
銷售價格y（元/套）
30
32
34
36
38
銷量t（套）
100
120
140
160
180
文具的銷售量（件）
…
___
___
…
每件文具售價（元）
…
…
文具的銷售量（件）
…


…
每件文具售價（元）
…
…
x（天）
1
2
3
…
x
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…

x（天）
1
2
3
…
30
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…
68
售價x（元/件）
60
62
68
銷售量y（萬件）
40
36
24
水平距離（m）
0
2
6
10
14
18
鉛垂高度（m）
（單位：）
（單位：）
水平距離x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
豎直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
0
2
6
10
3
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
…
（米）
0
1
2
3
4
…
（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8
/米
0
0.7
2
3
4
…
/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…