2023-2024學年上海市寶山區(qū)通河中學高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

這是一份2023-2024學年上海市寶山區(qū)通河中學高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案），共7頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.直線傾斜角的范圍是( )
A. (0,π2]B. [0,π2]C. [0,π)D. [0,π]
2.已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是( )
A. 720B. 710C. 310D. 35
4.關于曲線M：x12+y12=1，有下述兩個結論：①曲線M上的點到坐標原點的距離最小值是 22；②曲線M與坐標軸圍成的圖形的面積不大于12，則下列說法正確的是( )
A. ①、②都正確B. ①正確②錯誤C. ①錯誤②正確D. ①、②都錯誤
二、填空題：本題共12小題，共42分。
5.橢圓x2+y24=1的焦距為______．
6.若球O的表面積為4π，則球O的體積為______．
7.已知數(shù)列{an}是各項為正的等比數(shù)列，a1=1，a5=1，則其前10項和S10= ______．
8.已知事件A與事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)= ______．
9.若拋物線x2=my的頂點到它的準線距離為12，則正實數(shù)m= ______．
10.某學校組織全校學生參加網(wǎng)絡安全知識競賽，成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若該校的學生總人數(shù)為1000，則成績低于60分的學生人數(shù)為______．
11.已知一個圓錐的底面半徑為3，其側面積為15π，則該圓錐的體積為 ．
12.若雙曲線x216?y2m=1經(jīng)過點(4 2,3)，則此雙曲線的漸近線夾角的為______．
13.若數(shù)列{an}滿足a1=12，an+1=an+2n(n≥1,n∈N)，則{an}的通項公式是______．
14.在體積為9的斜三棱柱ABC?A1B1C1中，S是C1C上的一點，S?ABC的體積為2，則三棱錐S?A1B1C1的體積為______
15.已知無窮等比數(shù)列{an}滿足：i=1+∞ai=3,i=1+∞ai2=92，則{an}的通項公式是______．
16.已知直線l1：y?2=0和直線l2：x+1=0，則曲線(x?1)2+y2=1上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是______．
三、解答題：本題共5小題，共44分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題6分)
隨機抽取某校甲乙兩班各10名同學，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)如下：
甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171
乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165
(1)計算甲班的樣本方差；
(2)求乙班數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)．
18.(本小題8分)
在長方體ABCD?A1B1C1D1中(如圖)，AD=AA1=1，AB=2，點E是棱AB的中點．
(1)求異面直線AD1與EC所成角的大??；
(2)《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，試問四面體D1CDE是否為鱉臑？并說明理由．
19.(本小題8分)
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=n2+n，其中n∈N，且n≥1．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{1anan+1}的前n項和Hn．
20.(本小題10分)
如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP=m．
(Ⅰ)試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60°；
(Ⅱ)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q⊥AP，并證明你的結論．
21.(本小題12分)
已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2 3，離心率為 32，橢圓的左右焦點分別為F1、F2，直角坐標原點記為O.設點P(0,t)，過點P作傾斜角為銳角的直線l與橢圓交于不同的兩點B、C．
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓上有一動點T，求PT?(TF1?TF2)的取值范圍；
(3)設線段BC的中點為M，當t≥ 2時，判別橢圓上是否存在點Q，使得非零向量OM與向量PQ平行，請說明理由．
參考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.2 3
6.4π3
7.10
8.0.7
9.2
10.300
11.12π
12.arccs725
13.an=n2?n+12
14.1
15.an=2?(13)n?1
16.4? 2
17.解：(1)依題意，設甲班的樣本平均數(shù)為x?，方差為s2，
則x?=110×(170+179+162+168+158+182+179+168+163+171)=170，
所以s2=110×[02+92+(?8)2+(?2)2+(?12)2+122+92+(?2)2+(?7)2+12]=57.2；
(2)將乙班數(shù)據(jù)從小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，
又10×25%=2.5，所以乙班數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第3位數(shù)，即165cm．
18.解：(1)取CD中點F，連接AF，則AF/?/EC，
∴∠D1AF為異面直線AD1與EC所成角．
在長方體ABCD?A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，
得AD1= 2，AF= 2，D1F= 2，
∴△AD1F為等邊三角形，則∠D1AF=π3．
∴異面直線AD1與EC所成角的大小為π3；
(2)連接DE，∵E為AB的中點，∴DE=EC= 2，
又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．
∵D1D⊥底面DEC，則D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．
∴四面體D1CDE的四個面都是直角三角形，
故四面體D1CDE是鱉臑．
19.解：(1)當n∈N，且n≥1時，有Sn=n2+n，
∴當n∈N，且n≥2時，有Sn?1=(n?1)2+n?1，
兩式相減，得an=2n，
當n=1時，S1=12+1?a1=2，適合an=2n，
∴an=2n，n∈N?；
(2)∵an=2n，n∈N?；
∴1anan+1=12n(2n+2)=14?1n(n+1)=14(1n?1n+1)，
因此Hn=14(1?12+12?13+?+1n?1n+1)=n4(n+1)．
20.(Ⅰ)解：建立空間直角坐標系，
則A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1,m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)．
∴BD=(?1,?1,0), BB1 =(0,0,2)，AP=(?1,1,m),AC=(?1,1,0)．
又∵AC?BD=0,AC?BB1=0，
∴AC為平面BB1D1D一個法向量．
設AP與面BDD1B1所成的角為θ，則sinθ=cs(π2?θ)=|AP?AC||AP|?|AC|=2 2? 2+m2= 32，
∴m= 63．
∴當m= 63時，直線AP與平面BDD1B1所成角為60°；
(Ⅱ)解：在A1C1上存在這樣的點Q，使得對任意的m，D1Q⊥AP
證明：設此點的橫坐標為x，則Q(x,1?x,2),D1Q=(x,1?x,0).由(1)知AP=(?1,1,m)，
依題意，D1Q⊥AP?D1Q·AP=0??x+1?x=0?x=12．
即Q為A1C1的中點時，使得對任意的m，D1Q⊥AP．
21.解：(1)∵橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2 3，離心率為 32，
∴c= 3，e=ca= 32，可得a=2，∴b= a2?c2=1，
∴橢圓的標準方程為x24+y2=1；
(2)設動點T(x,y)，F(xiàn)1F2=(2 3,0)，PT=(x,y?t)，
PT?(TF1?TF2)=?PT?F1F2=?2 3x，
∵x∈[?2,2]，∴PT?(TF1?TF2)的取值范圍為[?4 3,4 3]；
(3)顯然直線的斜率存在，故可設直線l：y=kx+t，
聯(lián)立y=kx+tx24+y2=1，消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2?4=0，
Δ=?16t2+64k2+16>0，即k2>t2?14①，
設B(x1,y1)、C(x2,y2)，
由根與系數(shù)的關系可得x1+x2=?8kt1+4k2，x1x2=4t2?41+4k2，
則x1+x22=?4kt1+4k2，y1+y22=k(x1+x2)+2t2=?4k2t1+4k2+t=t1+4k2，
則xM=(?4kt1+4k2,t1+4k2)，
故kOM=?14k，
若OM//PQ，則有kPQ=kOM=?14k，
設直線PQ為y=?14kx+t，
聯(lián)立y=?14kx+tx24+y2=1，消去y有(1+14k2)x2?2tkx+4t2?4=0，
要使得存在點Q，則Δ2=4t2k2?4(1+14k2)(4t2?4)≥0，
整理得16+4k2?16t2≥0，
故k2≤14t2?4②，
由①②式得，t2?14