初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題課后作業(yè)題

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一、背景知識：
【傳說】
早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．
將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．
【問題原型】將軍飲馬 造橋選址 費馬點
【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對稱 ；平移；
【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直。
二、將軍飲馬問題常見模型
1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小。
類型1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.
作法：連接AB，與直線l的交點Q，
Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：兩點之間線段最短。
類型2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，
即PA+PB的和最小.
作法：作定點B關(guān)于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：兩點之間，線段最短
2.兩動一定型
類型3：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點A關(guān)于ON的對稱點A’’ ，連接A’ A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．
類型4：在∠MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點B關(guān)于ON的對稱點B’ ，連接A’ B’，與OM交于點C，與ON交于點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．
3. 兩定兩動型最值
類型5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移
作法一：將點A向右平移長度d得到點A’， 作A’關(guān)于直線l的對稱點A’’，連接A’’B，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。
作法二：作點A關(guān)于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2 B，
交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。
類型6：（造橋選址）直線l1∥l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CD⊥l2, 且
AC＋BD＋CD最短．
作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A’，連接A’B，交l2于點D，過點D作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．此時最小值為A’B+CD
4. 垂線段最短型
類型7：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得AB＋BC最短．
點A是定點，OM，ON是定線，
點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點．
作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，過點A’作A’C⊥ON，
交OM于點B，B、C即為所求。
類型8：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P
此時|PA-PB |=0
類型9：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，
即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。
類型10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB，
交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。
模型訓(xùn)練
1．（2021·陜西·榆林市第一中學(xué)分校九年級階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
連接BE，交AC于點N'，連接DN'，N'即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．
【詳解】
解：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱，
連接BE，交AC于點N'，連接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
則BE的長即為DP+PE的最小值，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值為5，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·四川資陽·八年級期末）已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短即可解決問題．
【詳解】
解：∵點A，B在直線l的同側(cè)，
∴作B點關(guān)于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小
故選：C．
【點睛】
本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側(cè)時，在直線上找一點到兩點距離最短的方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2018·全國·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是14，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（ ）
A．28B．18C．10D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，B和C關(guān)于直線DE對稱，EB=EC，因此E點就是DE上到A、C距離和最小的點，由△AEC的周長可求．
【詳解】
解：∵DE是BC的中垂線，
∴BE=EC，B和C關(guān)于直線DE對稱
∴E點就是DE上到A、C距離和最小的點，
∵AB=EB+AE=CE+EA，△ACE的周長為14，
∴AB=14﹣4=10，
即直線DE上任意一點到A、C距離和最小為10．
故選C．
【點睛】
本題考查了軸對稱-最短路線問題和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握求最短路線問題的方法和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進行等量轉(zhuǎn)化即可．
【詳解】
解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．
由對稱性可知：，
，
為等邊三角形
的周長===3
故答案為：3
【點睛】
本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．
5．（2022·云南昭通·八年級期末）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點時．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．
【詳解】
如圖連接BP．

∵為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BP=CP，
∵△PCE的周長=PE+CP+CE= PE+BP+CE，
∴當PE+BP最小時，△PCE的周長最小，
∵PE+BP最小時為BE的長，即此時BE與AD的交點為P，如圖．
又∵點E為中點，AD為高，為等邊三角形，
∴P點即為等邊角平分線的交點，
∴CP平分，
∴．
故答案為：
【點睛】
本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識．理解要使△PCE的周長最小，即P點為BE與AD的交點是解題關(guān)鍵．
6．（2022·北京鐵路二中八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【解析】
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】
解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，
∴連接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
連接BM交AC于點P，
∵點 N為AC上的動點，
由三角形兩邊和大于第三邊，
知當點N運動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值為BM的長度，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案為：10．
【點睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．
7．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．
【答案】6
【解析】
【分析】
要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】
解：作點E關(guān)于AD的對稱點F，連接CF，
∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，
∴點E關(guān)于AD的對應(yīng)點為點F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，
∴F是AB的中點，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值為6，
故答案為6．
【點睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
8．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校八年級期中）如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，，點F是線段AD上的動點，則的最小值為______．
【答案】6
【解析】
【分析】
過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，證△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．
【詳解】
解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小（根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關(guān)于AD對稱，則BF+EF=CF，
∵等邊△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），
∴C和B關(guān)于直線AD對稱，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了軸對稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點的綜合運用．
9．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點在邊上，且，點是上一動點，連接、，則的最小值為______．
【答案】5
【解析】
【分析】
作點關(guān)于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點，然后利用軸對稱的性質(zhì)將線段PC轉(zhuǎn)化為，然后利用點三點共線和勾股定理求值即可．
【詳解】
如解圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，則四邊形為正方形，連接，交于點．
點，關(guān)于對稱，
，
此時，
此時取得最小值．
，，
．
在中，
由勾股定理得，
，
即的最小值為5．
故答案為：5
【點睛】
本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理和正方形的性質(zhì)，能夠作出輔助線并轉(zhuǎn)化線段PC是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，是上一點，且，是上的動點，連接、，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
作點關(guān)于的對稱點，連接，，連接，與交于點，連接，則，此時取得最小值，求出即可．
【詳解】
如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，
，易得為等邊三角形，連接，與交于點，連接，則，
．
此時取得最小值．過點作于點．
，
．
．
，，
．
，
．
．
，．
．
在中，由勾股定理得，即的最小值為．
【點睛】
此題考查了軸對稱-最短路線問題，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11．（2022·上海·七年級期末）在直角坐標系中有和兩點，是軸上的任意一點，則長度的最小值是？
【答案】
【解析】
【分析】
先做出P點關(guān)于x軸的對稱點P＇，連接與x軸的交點就是M點，此時PM+QM的最小值就是的長，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求出的長，即可知PM+QM的最小值．
【詳解】
解：如圖，

作點關(guān)于軸的對稱點P＇，
則p＇(-2,-2)
連接
則線段的長就是PM+QM長度的最小值，
∵Q(5,8)
則PM+QM長度的最小值是．
【點睛】
本題主要考查了在坐標軸上找一點使它到已知兩點的距離之和最小，實質(zhì)是將軍飲馬問題，掌握這一模型并且會用兩點之間距離公式計算是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·山東·煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級期中）如圖，一個牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?
【答案】17華里
【解析】
【分析】
作出A點關(guān)于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可求出最短路徑．
【詳解】
解：作出A點關(guān)于MN的對稱點，連接交MN于點P，則就是最短路線，如圖所示：
，，，
∵MN垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（華里）．
答：牧童所走的最短里程是17華里．
【點睛】
本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出最短路徑，是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點P（m，m＋2）可知，點P在一次函數(shù)的圖像上移動，作出圖示，并作M關(guān)于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長度，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可得出答案．
【詳解】
解：如圖所示，由題意可知，點P（m，m＋2）在一次函數(shù)的圖像上移動, 一次函數(shù)分別交x軸、y軸于點A，B，作M關(guān)于x軸的對稱點，過點作于點P，交x軸于點Q，連接，QM，利用“垂線段最短”原理，可知此時PQ＋QM最小，最小值為的長．
點M（1，1）,
由對稱性質(zhì)可知：點
一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點
令，解得，即點，令，解得，即點
為等腰三角形，
點P為AB的中點，則點
故答案為：
【點睛】
本題考查了最值問題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”以及根據(jù)兩點坐標求點之間的距離，思考問題時參照“將軍飲馬”模型，根據(jù)“垂線段最短”原理，將問題轉(zhuǎn)化為求垂線段的長度是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2021·山東·德州市第五中學(xué)八年級期中）已知：如圖，在平面直角坐標系中．
（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（2）直接寫出△ABC的面積為 ；
（3）在x軸上畫點P，使PA+PC最?。?br>【答案】（1）作圖見解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）見解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在長方形面積減去周圍三角形面積進而得出答案；
（3）先確定A關(guān)于軸的對稱點，再連接交軸于則此時滿足要求．
【詳解】
解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求，
A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
故答案為：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；
（2）△ABC的面積為：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；
故答案為：5；
（3）如圖所示：點P即為所求．
【點睛】
本題考查的是軸對稱的作圖，坐標與圖形，掌握“利用軸對稱確定線段和取最小值時點的位置”是解本題的關(guān)鍵.
15．（2021·福建省羅源第二中學(xué)八年級期中）如圖，在銳角∠AOB的內(nèi)部有一點P，試在∠AOB的兩邊上各取一點M，N，使得△PMN的周長最小．（保留作圖痕跡）
【答案】見詳解
【解析】
【分析】
作點P關(guān)于直線OA的對稱點E，點P關(guān)于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，N，△PMN即為所求求作三角形．
【詳解】
解：如圖，作點P關(guān)于直線OA的對稱點E，點P關(guān)于直線OB的對稱點F，連接EF交OA于M，交OB于N，連接PM，PN，△PMN即為所求作三角形．
理由：由軸對稱的性質(zhì)得MP＝ME，NP＝NF，
∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時△PP1P2的周長最短．
【點睛】
本題考查軸對稱﹣最短問題、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
16．（2021·云南昭通·八年級期中）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若點P為直線上一點，，求周長的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，繼而求得；
（2）利用最短路線模型計算即可；
【詳解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）當點P與點E重合時，的周長最小，
理由：∵，
∴當點P與點E重合時，，此時最小值等于的長，
∴的周長最小值為．
【點睛】
本題考查了最短路線問題問題以及等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，、、，點、分別是直線和軸上的動點，求周長的最小值．
【答案】周長的最小值為．
【解析】
【分析】
分別作點關(guān)于軸、直線的對稱點、，連接，分別交軸、直線于點、，由對稱性質(zhì)可得，，此時的周長為．
【詳解】
如圖，分別作點關(guān)于軸、直線的對稱點、，連接，分別交軸、直線于點、，由對稱性質(zhì)可得，，此時的周長為．
此時的周長最小，最小值為的長．
、，
，．
，，．
過點作軸于點，
，．
．
周長的最小值為．
【點睛】
本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱正確找到點的位置．
18．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點，連接，，．
（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當周長最小時，求的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形為正方形，點、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）延長到點G,使，連接，首先證明，則有，，然后利用角度之間的關(guān)系得出，進而可證明，則，則結(jié)論可證；
（2）分別作點A關(guān)于和的對稱點，，連接，交于點，交于點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有，，當點、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋轉(zhuǎn)至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．
【詳解】
（1）證明：如解圖①，延長到點，使，連接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解圖，分別作點A關(guān)于和的對稱點，，連接，交于點，交于點．
由對稱的性質(zhì)可得，，
此時的周長為．
當點、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【點睛】
本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．