高中數(shù)學(xué)人教A教學(xué)設(shè)計(jì) 曲邊梯形的面積

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A教學(xué)設(shè)計(jì) 曲邊梯形的面積，共7頁。
體會(huì)以直代曲、無限逼近,從量變到質(zhì)變的思想方法。
2學(xué)情分析
1、已掌握的周邊知識(shí):
割圓成方法推導(dǎo)圓面積公式
直邊圖形面積求法、導(dǎo)數(shù)的概念
2、新舊鏈接:
分割、以直代曲、將曲邊圖形面積化為直邊圖形面積獲得近似值
3重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):
以直代曲的思想方法,一般曲邊梯形面積的求法與步驟。
教學(xué)難點(diǎn):
對以直代曲、無限逼近思想方法
4教學(xué)過程
4.1 第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】教學(xué)活動(dòng)
第一階段:
引入
布置任務(wù)一:求解圖中幾何圖形的面積

小結(jié)任務(wù)一:1、三角型、矩形、梯形等有公式可用的圖形稱為基本圖形
2、 不規(guī)則圖形可用化為規(guī)則圖形求解
計(jì)算幾何圖形面積,給出任務(wù)一的答案
回顧基本直邊圖形面積的求法,體會(huì)化未知為已知的思想方法
布置任務(wù)二:分析圖中幾何圖形
設(shè)問1:此圖形與任務(wù)一圖形有何區(qū)別與聯(lián)系?
小結(jié)任務(wù)二:曲邊梯形的概念
比較兩種圖形的區(qū)別,認(rèn)識(shí)曲邊梯形
引入“曲邊梯形”
提出概念
概念:如圖,由直線x=a,x=b,x軸,曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。
了解曲邊梯形的概念
準(zhǔn)確地?cái)⑹龆x
第二階段:
探索
設(shè)問2:曲邊梯形能否分割成基本圖形,求其面積?
設(shè)問3:對于未知的新圖形,如何去研究它的面積呢?
(提示、歸納學(xué)生回答,并總結(jié))
設(shè)問4:已知圖形中有哪些具有“邊界含曲線”這一特點(diǎn)呢?
扇形面積基于圓面積的算法
幾何畫板展示并陳述
割圓成方獲得圓面積公式
劉徽割圓術(shù)與圓面積的近似值
設(shè)問5:以上演示提示我們曲邊圖形的面積可以通過怎樣的思路求解呢?
(梳理學(xué)生回答,并給出三個(gè)層次的小結(jié))
回答問題2:
不能,總有含有曲邊的部分不可求
回答問題3:
化未知為已知
尋求具有類似特點(diǎn)(含有曲邊)的已知幾何圖形,類比其研究方法
思考回答問題4:
扇形、圓
觀看演示,類比思考曲邊圖形面積的研究方法
思考回答問題5:
用直邊圖形替代曲邊圖形可以獲得曲邊圖形面積的近似值
把曲邊圖形分割成n份后,再以直代曲,通?？梢垣@得更精確的近似值,并且n越大,誤差越小
當(dāng)n無限增大,達(dá)到極限時(shí)會(huì)獲得精確值
尋求解決未知問題的基本方法:
化歸、類比
類比以獲得解決新問題的思路
第三階段:
曲邊梯形面積求法與過程
運(yùn)用以上思路,求解以下曲邊圖形的面積
例:.求拋物線y=x2、直線x=1,x=0和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。
布置任務(wù)三:設(shè)計(jì)一種方案,求取此圖形面積的一個(gè)具體的近似值
(30秒后)提問,獲取該圖形的一個(gè)近似值,,在圖中標(biāo)注具體的實(shí)施方法,
不斷提問以期獲得更好的設(shè)計(jì)方案(分割越細(xì)),及更為精確的近似值(誤差越小)
設(shè)問6:如何設(shè)計(jì)出別人無法超越的方案?
(分割成n份,n趨近于無窮大,可以預(yù)見此時(shí)的近似值無限接近實(shí)際值)
多媒體展示1:從圖像上看以上過程


2:從表格數(shù)據(jù)中
師生共同完成任務(wù)四:
設(shè)計(jì)算法求解曲邊形面積
一:分割(多媒體演示分割過程,并板書要點(diǎn))
在區(qū)間[0,1] 上插入n-1個(gè)等分點(diǎn),把區(qū)間分成n等分,則每份長度為 ,區(qū)間[0,1]分割為 …. …
分別過上述 個(gè)分點(diǎn)作 軸的垂線,從而得到 個(gè)小曲邊梯形, 他們的面積分別記作:
… …
則 = + +…+ +…+ 二.近似替代
用直邊代替曲邊(以直代曲),求第i個(gè)曲邊梯形面積的近似值
觀察第i個(gè)曲邊梯形,請學(xué)生設(shè)計(jì)以直代曲方案
方案1 方案2 方案3
選擇方案2(矩形面積最為簡潔)為例,則
三.求和
所有小矩形面積和為曲邊形面積S的近似值,即:
顯然小矩形的面積和與n的值有關(guān),并且根據(jù)前面的分析,n越大, 的值越接近于S
四、取極限
當(dāng)n趨向于無窮大時(shí), 趨向于S
分析近似值到精確值的轉(zhuǎn)換:S是什么呢?即為n趨向于無窮大時(shí), 所趨近的那個(gè)值,于是
由此我們求得了曲邊形面積的精確值!
小結(jié)任務(wù)四: 通過分割、近似替代、求和、取極限逼近算法可求曲邊形面積
設(shè)計(jì)具體算法,求解曲邊圖形的近似值,不斷改進(jìn)方法使誤差更小
思考問題6
和老師共同細(xì)化算法步驟,求解曲變形面積
設(shè)計(jì)以直代曲方案 ,寫出相應(yīng)的直邊圖形面積的表達(dá)形式
求解并化簡和式 ,得到關(guān)于n的函數(shù)
理解近似值向精確值的轉(zhuǎn)換過程, 體會(huì)數(shù)學(xué)方法的精妙
根據(jù)思路,設(shè)計(jì)具體可操作的算法解決具體問題
學(xué)生可能會(huì)設(shè)計(jì)出更多不同方案,需對案比較優(yōu)缺進(jìn)行篩選
注12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)
完整板書四步驟,為學(xué)生提供清晰明確的思路
第四階段:鞏固拓展
布置任務(wù)五:利用剛才的算法,選取方案3,重新求解曲邊形的面積
展示學(xué)生運(yùn)算結(jié)果
設(shè)問7:選取方案2與方案3,獲得了相同的精確值,其深層原因是什么?
多媒體展示:過剩替代和不足替代在n逐漸增大時(shí)的圖像特點(diǎn):誤差均逐漸趨近于0
設(shè)問8:判斷如果選擇方案一,或者在區(qū)間 上任意選取一點(diǎn) ,以 為矩形的高,計(jì)算此曲邊形面積,是否會(huì)獲得相同結(jié)果?
小結(jié)任務(wù)五:
完成任務(wù)五,并展示運(yùn)算結(jié)果
思考問題7,并通過觀看多媒體展示回答問題7
思考問題8,回答
并由此獲得更為自由的近似替代方法
將算法結(jié)果化為定積分定義結(jié)構(gòu)形式,為進(jìn)一步研究定積分打下基礎(chǔ)
第五階段:歸納總結(jié)
歸納:對于由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形,通過
1、分割
2、 近似替代
求和
取極限可以求得其面積為:
思考
對于一般曲邊圖形,如何求面積?
答:分割成直邊圖形和曲邊梯形
與老師一起歸納總結(jié)
解決思考題,回答
說明學(xué)習(xí)曲邊梯形面積求法的必要性
作業(yè)
布置
用這節(jié)課所學(xué)的方法解決任務(wù)二中的幾何圖形的面積問題