人教A版 (2019)必修 第二冊6.2 平面向量的運算第2課時一課一練

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一、選擇題(本題共 ７ 小題,其中 １~６ 小題為單選題,第 ７ 小題為多選題)
1.在△ABC中，已知M是BC中點，設＝a，＝b，則＝( )
A.eq \f(1,2)a－b B.eq \f(1,2)a＋b C．a－eq \f(1,2)b D．a＋eq \f(1,2)b
【答案】A 解析： ＝－＝eq \f(1,2)－＝eq \f(1,2)a－b，故選A.
2.如圖，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c＋d＝0 D．a－b－c＋d＝0
答案B 解析： 由題意得，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝0，即a－b＋c－d＝0，故選B.
3.（原創(chuàng)）如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的三等分點，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，則＝( )
A．a－eq \f(1,2)b B. b－eq \f(1,2)a C．a＋eq \f(1,2)b D．eq \f(1,2)a＋b
答案B解析： 連接CD(圖略)，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)a，所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a，=eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))=b＋eq \f(1,2)a－a=b－eq \f(1,2)a,選B
4.若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝( )
A. eq \r(3) B.2eq \r(3) C.4 D.3eq \r(3)
【答案】B 解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是邊長為2的正三角形，∴|＋|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sineq \f(π,3)＝2eq \r(3).
5.下列各式中不能化簡為eq \(AD,\s\up6(→))的是( )
A．(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(BC,\s\up6(→)) B．(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)) )
C．eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)) D.eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→))
答案D 解析： 對于A，有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；對于B，有eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))；對于C，有(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；只有D無法化簡為eq \(AD,\s\up6(→)).故選D.
6.設a表示向西走10 km，b表示向北走10eq \r(3) km，則a－b表示( )
A．南偏西30°方向走20 km B．北偏西30°方向走20 km
C．南偏東30°方向走20 km D．北偏東30°方向走20 km
答案A 解析： 設eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，又tan ∠OBA＝eq \f(|\(OA,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\(OB,\s\up6(→)))|)＝eq \f(10,10\r(3))＝eq \f(1,\r(3))，∴∠OBA＝30°，且|eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \r(|\a\vs4\al(\(OA,\s\up6(→)))|2＋|\a\vs4\al(\(OB,\s\up6(→)))|2)＝eq \r(102＋?10\r(3)?2)＝20(km)，故選A．
7.已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，則|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的值可以是（ ）．
A. eq \r(3) B.3 C.12 D.16
【答案】B C 解析：∵||eq \(AB,\s\up6(→))|－|eq \(AD,\s\up6(→))||≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(AD,\s\up6(→))|，且|eq \(AD,\s\up6(→))|＝9，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，∴3≤|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|≤15，∴|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的取值范圍為[3,15]，則|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|的值可以是3和12．
第II卷（非選擇題 共35分）
二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，將答案填在題中橫線上.）
8.若向量a，b滿足：|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，則|b|＝________.
答案：eq \r(5)解析：由|a＋b|＝3，|a－b|＝3，可得|a|2＋|b|2＝9，又|a|＝2，解得|b|＝eq \r(5).
9.若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________．
【答案】：直角三角形 解析：因為＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，此時⊥，△ABC為直角三角形．
10.對于菱形ABCD，給出下列各式：
①eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；②|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|；③|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|；④|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))|.
其中正確的序號為__________
答案② ③ ④ 解析： 在菱形ABCD中，向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以②正確，①錯誤；因為|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AB,\s\up6(→))|，|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|，所以③正確；因為|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|，|eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|，所以④正確．
三、解答題（本大題共兩小題，每小題10分，共20分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
11．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，試用a，b表示eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AG,\s\up7(―→))．
解析：eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．………………4分
eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))…………8分
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b．…………12分
12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點，eq \(CM,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，求證：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
證明：(1)如圖，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜邊AB的中點，得|eq \(CM,\s\up6(→))|＝|eq \(AM,\s\up6(→))|，|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|.
在△ACM中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(CM,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝a－b.
于是由|eq \(AM,\s\up6(→))|＝|eq \(CM,\s\up6(→))|，得|a－b|＝|a|.
(2)eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＝a－b，
在△MCB中，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)，
從而由|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.