河南省濮陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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數(shù)學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程.
【詳解】由題意，直線的斜率為，
又過點(diǎn)，故其方程為，即.
故選：B.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)且以為方向向量，為直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量，再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.
【詳解】依題意，，，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是.
故選：C.
3. 若圓過，兩點(diǎn)，則當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出以為直徑的圓的方程即可.
【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)，，
圓過，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，線段為圓的直徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D
4. 在四面體中，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】如圖，
，
又，
所以，則.
故選：C
5. 若直線與圓相離，則點(diǎn)（ ）
A. 在圓外B. 在圓內(nèi)
C. 在圓上D. 位置不確定
【答案】B
【解析】
【分析】利用點(diǎn)線距離公式及到的距離，即可判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系.
【詳解】由題意，到的距離，即，
所以在在圓內(nèi).
故選：B
6. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)弦長，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來求直線的方程.
【詳解】已知弦長，半徑.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為.
把，代入可得.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，
所以直線斜率不存在時(shí)不滿足條件.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.
根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，由圓心到直線的距離，
可得.對進(jìn)行求解.
兩邊平方得，展開得. 解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.
故選：A.
7. 曲線的周長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分類討論寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖得出結(jié)論.
【詳解】曲線
曲線的圖像如圖所示：
該圖是以四個(gè)點(diǎn)為圓心，半徑為的四個(gè)半圓，所以該圖的周長為：.
故選：B
8. 如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出化簡可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈酌嫫矫妫?br>所以,
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br>所以兩兩垂直，
所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值4
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】由構(gòu)成空間的一個(gè)基底，得向量不共面，
對于A，若向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)對使得，
即，則向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；
對于C，由，得，，共面，B是；
對于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)對使得，
于是，此方程組無解，向量，，不共面，C不是；
對于D，由，得向量，，共面，D是.
故選：BD
10. 已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 點(diǎn)不可能在直線上
B. 直線恒過點(diǎn)
C. 若點(diǎn)到直線的距離相等，則
D. 直線上恒存在點(diǎn)，滿足
【答案】ABD
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，即可判斷A；將線方程可化為，即可判斷B；利用點(diǎn)線的距離公式計(jì)算即可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)的軌跡方程，證明點(diǎn)在圓的內(nèi)部即可判斷D.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；
B：直線方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，故B正確；
C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；
D：設(shè)，則，
所以，
整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.
又直線恒過定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，
即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.
故選：ABD
11. 如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 存在，使得
B. 不存在點(diǎn)，使得
C. 的最小值為
D. 異面直線與所成角的余弦值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，E0,0,1，，，，
所以，，，
因?yàn)椋瑒t，方程無解，故不存在、使得，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
所以，，
所以，所以不存在點(diǎn)，使得，故B正確；
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值，即，故C正確；
因?yàn)?，?br>所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】
分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性列式計(jì)算得解.
【詳解】依題意，，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
13. 若圓關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)與圓心的距離的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.
【詳解】由題意可知直線經(jīng)過圓心，所以，即，
點(diǎn)到圓心距離最小值就是圓心到直線的距離的最小值，
又圓心到直線距離.
故答案為：
14. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】令，則，
依題意，圓是由點(diǎn)，確定的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
整理得，而該圓的方程為，
則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因此，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，
所以當(dāng)時(shí)，的值最小為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點(diǎn)，即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓的圓心在直線和直線的交點(diǎn)上，且圓過點(diǎn).
（1）求圓的方程；
（2）若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.
【答案】（1）
（2）圓與圓相交.
【解析】
【分析】（1）先求出兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可求解；
（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.
【小問1詳解】
由，得，即圓心坐標(biāo)為.
，
圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，圓的圓心為，半徑.
圓的方程可化為，
則圓的圓心為，半徑.
，
，
圓與圓相交.
16. 如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【小問1詳解】
證明：，
，
.
，
，
.
平面，
平面，
又平面，
.
【小問2詳解】
解：四邊形是矩形，，
平面，平面，
，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，令，可得，
平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知直線：.
（1）若直線與. 平行，且之間的距離為，求的方程；
（2）為上一點(diǎn)，點(diǎn)，，求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.
（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點(diǎn)位置，進(jìn)而求出其坐標(biāo).
【小問1詳解】
由直線m與平行，設(shè)直線m方程為，
由m，之間的距離為，得，解得或，
所以直線m的方程為或.
【小問2詳解】
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
直線的方程為，即，
由，解得，點(diǎn)，
所以取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
18. 如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.
（1）設(shè)向量為平面的法向量，證明：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，進(jìn)而得出法向量,最后應(yīng)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可；
（2）應(yīng)用空間向量法求法向量及向量應(yīng)用公式運(yùn)算即可；
（3）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.
【小問1詳解】
如圖，連接.
，
平面平面，平面平面平面，
平面.
是邊長為2的等邊三角形，.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，
.
是平面的一個(gè)法向量，令.
，
，
.
【小問2詳解】
.
設(shè)平面的法向量為，
則
令，可得，
平面的一個(gè)法向量為，
點(diǎn)到平面的距離為.
【小問3詳解】
.
設(shè)平面的法向量為，
則令，可得，
平面的一個(gè)法向量為.
由（2）可知平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為..
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及直線上任意一點(diǎn)Q，稱的最小值為點(diǎn)P到的“切比雪夫距離”，記作.
（1）已知點(diǎn)和點(diǎn)，直線：，求和.
（2）已知圓C：和圓E：.
（i）若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓C和圓E的位置關(guān)系；
（ii）若，圓E與x軸交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在圓C外，且，過點(diǎn)M任作一條斜率不為0的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，記直線為，直線為，證明：.
【答案】（1），；
（2）（i）內(nèi)切；（ii）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算，設(shè)是上一點(diǎn)，分類討論計(jì)算出，再確定最小值得；
（2）（i）求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)切比雪夫距離的定義，由或求得參數(shù)，并檢驗(yàn)是否滿足題意，然后根據(jù)圓心距判斷兩圓位置關(guān)系；
（ii）由已知求出，得出兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程為，，直線方程代入圓方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理得，從而證明，得直線與關(guān)于軸對稱，然后由直線上任意一點(diǎn)與直線上點(diǎn)關(guān)于軸對稱，它們是一一對應(yīng)的關(guān)系，且，則其最小值也相等，從而證得結(jié)論成立，
【小問1詳解】
，，，所以，
直線方程為，是上一點(diǎn)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)t?1>2，即或時(shí)，，
所以的最小值是2，所以；
【小問2詳解】
（i）圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為2，
圓的圓心為，半徑為，
，
若，則或，
時(shí)，，不合題意，時(shí)，，滿足題意，
此時(shí)，，因此兩圓內(nèi)切；
若，則或，
時(shí)，，不合題意，時(shí)，，滿足題意，
此時(shí)，，兩圓內(nèi)切．
所以圓C和圓E內(nèi)切；
（ii）圓E與x軸交于M，N兩點(diǎn)，
則方程，即（*）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，
所以Δ=4a2?4(2a2?3a?4)>0，解得，又，所以，
，方程（*）的兩解為，則，
由韋達(dá)定理有，
所以，解得或（舍去），
時(shí)方程（*）為，解得，，交點(diǎn)為和，
點(diǎn)M在圓C外，則MC>2，因此，，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得，
，，
，，
，
所以，因此直線關(guān)于軸對稱，
直線上任意一點(diǎn)與直線上點(diǎn)關(guān)于軸對稱，它們是一一對應(yīng)的關(guān)系，
，，
即，
所以的最小值與的最小值相等，即．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第（2）小題的第（ii）問，證明點(diǎn)到兩條直線的“切比雪夫距離”相等，如果單純從“切比雪夫距離”角度考慮，這個(gè)“距離”沒法求解，換個(gè)角度，在直線與圓相交問題中，利用韋達(dá)定理證得直線的斜率是相反數(shù)，它們關(guān)于軸對稱，而點(diǎn)在軸上，因此我們可得出這兩條直線上的點(diǎn)與點(diǎn)的“切比雪夫距離”所組成的集合相等，從而最小值相等，最小值即為點(diǎn)線間的“切比雪夫距離”，完成證明．