中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題提分訓(xùn)練專(zhuān)題07三角形的計(jì)算與證明（2份，原卷版+解析版）

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全等三角形的性質(zhì)與判定
全等三角形的性質(zhì)：
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；
全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；
全等三角形對(duì)應(yīng)的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中位線(xiàn)都相等．
全等三角形的判定定理：
①邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）；
②邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）；
③角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）；
④角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）；
⑤對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
（3）判定兩個(gè)三角形全等的思路
（4）全等三角形中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)：
①把三角形一邊的中線(xiàn)延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線(xiàn)問(wèn)題的基本規(guī)律．
②證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．
等腰三角形與等邊三角形
等腰三角形的性質(zhì)：
性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）．
推論：等腰三角形頂角平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合．
等腰三角形的判定
判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊】
說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線(xiàn)也可以作未來(lái)頂角的角平分線(xiàn)，但不能作未來(lái)底邊的中線(xiàn)；
④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．
等邊三角形的性質(zhì)
①等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
②等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸；它的任意一角的平分線(xiàn)都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸．
（4）等邊三角形的判定
①由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
②）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
③判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．
4.直角三角形與勾股定理
（1）定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．
（2）性質(zhì)：①直角三角形兩銳角互余；
②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
③在直角三角形中，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．
（3）判定：①兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；
②三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
（4）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
5.相似三角形性質(zhì)與判定
（1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．
（2）性質(zhì)：
①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
②相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（邊、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)）成比例；
③相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
（3）判定：
①有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；
②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；
③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；
④兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
相似基本模型：
【專(zhuān)項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
考向一、全等三角形的性質(zhì)與判定
1．（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線(xiàn)上，，，．
(1)求證
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)12
【分析】（1）利用SAS可證明，可得，便可證得；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，推出，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）證明：在和中，，
∴
∴
∴
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，學(xué)會(huì)利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
2．（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中?？级＃┤鐖D，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．
(1)求證：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)∠D＝70°
【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【詳解】（1）證明：∵ABCD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．
問(wèn)題：如圖，AC平分，D是AC上的一點(diǎn)，．若______，求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】選②，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的內(nèi)角和定理可得，，即可求解，若選③，證明，即可求解．
【詳解】若選②；
證明：∵AC平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
∵∠E＝∠C，
∴．
∵，．
∴∠ADE＝∠ABC．
若選③，
證明：∵AC平分∠BAE，∴．
在△ABC和△ADE中，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形求得的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AF=CE．
(1)說(shuō)明：△ABE≌△CDF；
(2)連接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得∠A=∠DCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析，即可完成證明；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得∠AEB=∠CFD=100°；再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠DCF，
∵AF=CE，，
∴AE=CF
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD=100°
∵∠BCE=30°
∴∠CBE=100°-30°=70°．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形、三角形外角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解．
5．（2019·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線(xiàn)時(shí)，在上截取，連接DE，易證．
(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說(shuō)明理由，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.
(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說(shuō)明.
【答案】(1)；
(2)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）首先在上截取，連接，易證，則可得，，又由，，所以，即，易證進(jìn)而求解；
（2）首先在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接，易證，可得，，又由，易證，則可求解．
【詳解】（1）解：．
理由為：
在上截取，連接，如圖②所示，
∵為的平分線(xiàn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
則；
（2）解：．
理由為：
在上截取，連接，如圖③所示，
∵為的平分線(xiàn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
則．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
考向二、等腰三角形與等邊三角形
6．（2017·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考模擬）已知：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
(1)求證：是等腰三角形：
(2)當(dāng) °時(shí)，是等邊三角形．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)150
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得，，從而得到BE=DE．
（2）利用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)得出，即可得出，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求得答案．
【詳解】（1）∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：150．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇南京·南師附中樹(shù)人學(xué)校?？级＃┤鐖D，在中，，垂足為H，且，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，分別交于F，M．
(1)求證；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）證明直線(xiàn)是的垂直平分線(xiàn)即可．
（2）先證明，再判定，證明即可．
【詳解】（1）∵，垂足為H，且，
∴ 是的垂直平分線(xiàn)．
∴ ．
∴．
（2）∵ ，，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：
“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在A(yíng)B上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED＝EC，如圖，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．
小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：
(1)特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例啟發(fā)，解答題目
題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）
(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果）．
【答案】(1)＝
(2)＝，解答過(guò)程見(jiàn)解析
(3)CD＝1或3
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）過(guò)E作EFBC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）當(dāng)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，E在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，由（2）求出CD＝3，當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求出CD＝1．
【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠BCE＝30°，AE＝BE，
∵ED＝EC，
∴∠BDE＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝DB．
故答案為：＝．
（2）過(guò)E作EFBC交AC于F，如圖2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝DB，
故答案為：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分為兩種情況：①如圖3，過(guò)A作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，
則AMEN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如圖4，作AM⊥BC于M，過(guò)E作EN⊥BC于N，則AMEN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，∠BAM＝30°，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AMEN，
∴∠BEN＝∠BAM＝30°，
∴BN＝BE＝（AB＋AE）＝，
∴MN＝BN－BM＝1，
∴CN＝MN－CM＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意不要漏解．
9．（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考三模）已知和都為等腰三角形，．
(1)當(dāng)時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系： ；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在上時(shí)，判斷線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，
①如圖3，探究線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】(1)①BE＝AD；②BE＝AD；見(jiàn)解析
(2)①，見(jiàn)解析；②10或
【分析】（1）①根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，根據(jù)線(xiàn)段間的等量關(guān)系即可求解．
②利用證明，由三角形全等的性質(zhì)即可求解．
（2）①根據(jù)已知，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證得，利用三角形相似的性質(zhì)即可求解．
②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在的外部，根據(jù)題意，利用兩角對(duì)應(yīng)相等求證，再利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解；當(dāng)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)題意得出和，在中，利用勾股定理即可求解．
(1)
解：① 和都為等腰三角形，，，，，
，，，
，，
，
②，理由如下，
，，
，
在和中，
，
，
．
(2)
①，理由如下，
當(dāng)時(shí)，，
則和為等腰直角三角形，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
②當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，如圖所示，
，
，
又 ，
，且，
，
，
，而，
，
在中，
，
又，
（或），
在等腰三角形中，
,
當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示，
，，，
，
，
，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為10或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形基本性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形的相關(guān)判定及性質(zhì)，巧妙運(yùn)用分類(lèi)討論思想結(jié)合勾股定理解決問(wèn)題．
10．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且．
(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)诘难娱L(zhǎng)線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得；（不寫(xiě)作圖，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）先作的BC邊上的高AG，再作，從而有．
（2）設(shè)，，運(yùn)用已知條件推導(dǎo)出，從而得出．
(1)
解：作圖如下，
(2)
解：設(shè)，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了用尺規(guī)作圖的方法，作一個(gè)角等于已知角，以及運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)求證相關(guān)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，其中綜合運(yùn)用以上基礎(chǔ)圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考向三、直角三角形與勾股定理
11．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，，，垂直平分交于，交于，連接，求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CD=BD，求得∠DCB=∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD=AD，求得CD=AD=BD=AB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∴∠A=∠ACD，
∴CD=AD，
∴CD=AD=BD=AB，
∵AC=4，BC=6，
∴，
∴CD=AB=．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，勾股定理和直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊長(zhǎng)的一半解答．
12．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC上且DA⊥AC，垂足為A．
(1)求證：；
(2)若BD＝2，則AC的長(zhǎng)是______．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B=∠C=∠BAD=30°，可證△ABD∽△CBA，，即可求證；
（2）由∠B=∠C=∠BAD=30°，得BD=AD=2，CD=2AD=4，由勾股定理可求解．
【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴BD=AD=2，
∴CD=2AD=4，
∴AC=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
13．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，．
(1)如圖1，若，求AC的長(zhǎng)；
(2)試確定四邊形ABCD，滿(mǎn)足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺規(guī)作圖，不需寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．）
【答案】(1)AC的長(zhǎng)為；
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）先求得AB=3，在Rt△BCG中，求得BG=，CG3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；
（2）分別作線(xiàn)段AB、BC的垂直平分線(xiàn)，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，再以A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，交弧AC于點(diǎn)D，則四邊形ABCD即為所求作．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵，，
∴AB=3，
在Rt△BCG中，∠B=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=BC=，CG=3，AG=AB-BG=，
在Rt△ACG中，
AC=；
（2）解：如圖，四邊形ABCD即為所求作．
證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠B=180°，
由作圖知BC=AD，則=，CD∥AB，
分別過(guò)C、D作AB的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F，如圖：
∴CE=DF，四邊形DCEF為矩形，
∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，
∴AF=BE，
∵∠B=60°，
∴∠DAF=60°，
∴BE=BC，AF=AD=BC=BE，
∵
∴AF=BE=EF=CD=BC，
∴AD=2CD，
∴四邊形ABCD符合題意．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖－作三角形的外接圓，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
14．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)三角形一邊長(zhǎng)的平方等于另兩邊長(zhǎng)的乘積的2倍，我們把這個(gè)三角形叫做有趣三角形．
(1)若是有趣三角形，，，則______；
(2)已知等腰的周長(zhǎng)為10，若是有趣三角形，求的腰長(zhǎng)；
(3)如圖，在中，，點(diǎn)，在邊上，且是以為斜邊的等腰直角三角形．求證：由三條線(xiàn)段，，組成的三角形是有趣三角形．
【答案】(1)6
(2)等腰三角形的腰長(zhǎng)為4
(3)由三條線(xiàn)段，，組成的三角形是有趣三角形，證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)有趣三角形的定義分類(lèi)計(jì)算即可；
（2）：設(shè)等腰三角形腰為a，底為b,，根據(jù)等腰的周長(zhǎng)為10，得出2a+b=10，根據(jù)是有趣三角形，得出a=2b，組成方程組，解方程組即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形得出．∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，根據(jù)勾股定理得出DE2=2CD2=2CE2，然后證明△ADC∽△CDB，得出即可．
（1）
解：是有趣三角形，，，
分三種情況：
當(dāng)AC2=2AB·BC，
∴；3+6＞6此時(shí)成立；
當(dāng)AB2=2AC·BC，
∴；
∵，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，舍去；
當(dāng)BC2=2AC·AB，
∴；
∵，
綜合AC=6，
故答案為6；
（2）
解：設(shè)等腰三角形腰為a，底為b，
∵等腰的周長(zhǎng)為10，
∴2a+b=10，
∵是有趣三角形，
∴a2=2ab，
∴a=2b，
∴，
解得，
∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為4；
（3）
證明：∵是以為斜邊的等腰直角三角形．
∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，DE2=2CD2=2CE2，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∠CEB=180°-∠CED=135°，
∴∠ADC=∠CEB=，
∴∠A+∠B=45°，∠B+∠BCE=∠CED=45°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ADC∽△CDB，
∴，
即，
∴，
∴DE2=2CE2=2AD·BE，
∴由三條線(xiàn)段，，組成的三角形是有趣三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義圖形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握新定義圖形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)（與B，C不重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AB于點(diǎn)E，設(shè)CD＝a，
(1)求證：∠CAD＝∠BCE；
(2)當(dāng)a＝時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
(3)探究的值（用含a的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)；
【分析】（1）設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，根據(jù)同角的余角相等即可證明；
（2）過(guò)E作EH⊥BC于H，則△HEB是等腰直角三角形，設(shè)EH=x，則CH=4-x，由△ECH∽△DAC根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列方程求解即可解答；
（3）根據(jù)（2）的解答由△ECH∽△DAC對(duì)應(yīng)邊成比例，求得相似比即可解答；
【詳解】（1）解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，
∵△ACD是直角三角形，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵CE⊥AD，
∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠CDF=∠CDA，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，過(guò)E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EH⊥BC，
∴△HEB是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
設(shè)EH=x，則CH=4-x，
∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，
∴△ECH∽△DAC，
∴，即，
解得：x=1，
∴BE==；
（3）解：如圖，設(shè)AD、CE交于點(diǎn)F，過(guò)E作EH⊥BC于H，
設(shè)EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，，
，x=，
∴=；
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
考向四、幾何基本作圖
16．（2022·江蘇無(wú)錫·?？级＃┤鐖D，，P為線(xiàn)段上的一點(diǎn)．

(1)在圖①中僅用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺分別在、上分別作點(diǎn)E、F，使，且．無(wú)需寫(xiě)出作圖步驟，但保留作圖痕跡；
(2)若，求．（圖②供問(wèn)題（2）用）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)要求寫(xiě)出步驟即可．
（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）解：①以為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)；
②以為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，則點(diǎn)、即為所求作；
（2）解：連接、、，作于，設(shè)，，
．
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
17．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
(1)試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在上作一點(diǎn)，使得直線(xiàn)平分的周長(zhǎng)；(不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡)；
(2)在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）延長(zhǎng)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為所求；
（2）連接，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，延長(zhǎng)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為所求；
根據(jù)作圖可知，，
∴，
即直線(xiàn)平分的周長(zhǎng)
（2）如圖，連接，
∵，設(shè)，則，
由作圖可知，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，作垂直平分線(xiàn)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握基本作圖以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
18．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
(1)尺規(guī)作圖：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．
①作∠ACB的平分線(xiàn)，交斜邊AB于點(diǎn)D；
②過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，垂足為E．
(2)在（1）作出的圖形中，求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析
(2)DE的長(zhǎng)為
【分析】（1）①以C為圓心作弧與BC，AC相交，再分別以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)為圓心，相同半徑作弧，將C與這兩個(gè)弧的交點(diǎn)連線(xiàn)交斜邊AB于點(diǎn)D；②以D為圓心作弧與BC相交得到兩個(gè)交點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，相同半徑作弧，將D與這兩個(gè)新作弧的交點(diǎn)相連，交BC于E點(diǎn)；
（2）先利用DE//AC，CD平分∠ACB證明∠DCE=∠CDE，得到ED=EC．再通過(guò)△BED∽△BCA得到，設(shè)ED=EC=x，則BE=，代入求解即可．
(1)
解：①如圖所示，CD是∠ACB的平分線(xiàn)，
作圖方法為：以C為圓心作弧與BC，AC相交，再分別以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)為圓心，相同半徑作弧，將C與這兩個(gè)弧的交點(diǎn)連線(xiàn)交斜邊AB于點(diǎn)D；
②DE是BC的垂線(xiàn)，
作圖方法為：以D為圓心作弧與BC相交得到兩個(gè)交點(diǎn)，再分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，相同半徑作弧，將D與這兩個(gè)新作弧的交點(diǎn)相連，交BC于E點(diǎn)；
(2)
解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴ DE//AC，
∴∠ACD=∠CDE．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDE，
∴ED=EC．
∵DE//AC，
∴△BED∽△BCA，
∴ ，
設(shè)ED=EC=x，則BE=，
∴，
解得x=，
∴DE的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解第一問(wèn)的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和步驟，解第二問(wèn)的關(guān)鍵是證明ED=EC．
19．（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，一張矩形紙片ABCD中，，．將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出折痕MN（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，連接AN、CM，判斷四邊形ANCM的形狀并說(shuō)明理由；
(3)若，，求折痕MN的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)四邊形ANCM是菱形，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）連接AC，作AC的垂直平分線(xiàn)與AD交于M，與BC交于N即為所求；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，再證明∠AMN=∠ANM，得到AN=AM，即可證明四邊形ANCM是菱形；
（3）設(shè)AC與MN交于O，理由勾股定理求出AC，AN的長(zhǎng)，然后利用菱形的性質(zhì)求出OA的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出ON的長(zhǎng)即可得到答案．
（1）
解：如圖所示，MN即為所求；
（2）
解：四邊形ANCM是菱形，理由如下：
由折疊的性質(zhì)可知，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴∠AMN=∠CNM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=AN=CM=CN，
∴四邊形ANCM是菱形；
（3）
解：設(shè)AN=CN=x，則BN=8-x，設(shè)AC與MN交于O
在Rt△ABN中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
解得：，
∵四邊形ANCM是菱形，
∴∠AON=90°，MN=2ON，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)與判定，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)，正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知△ABC，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
(1)在圖①中，BC所在直線(xiàn)的下方求作一點(diǎn)M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在圖②中，BC所在直線(xiàn)的下方求作一點(diǎn)N，使得∠BNC＝2∠A．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）用作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段的方法作，，則可知，則 ，點(diǎn)M即為所求；
（2）分別作BM，CM的垂直平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為三角形BCM的外接圓的圓心，由圓周角定理可知點(diǎn)N即為所求．
【詳解】（1）如圖：以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓弧，再以C為圓心，AC為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交BC下方于點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為所求，
如圖，點(diǎn)M即為所求；
（2）如圖所示，在（1）的圖形基礎(chǔ)上，分別以B、M為圓心，大于長(zhǎng)為半徑分別作弧，交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，再分別以C、M為圓心，大于長(zhǎng)為半徑分別作弧，交于G、H兩點(diǎn)，連接GH，EF與GH交于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求，
如圖，點(diǎn)N即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握尺規(guī)作圖和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
考向五、相似三角形
21．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．
(1)求證：△ABC∽△ACD；
(2)當(dāng)AD＝2，AB＝3時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)AC的長(zhǎng)為．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可證出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，可求出AC的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AC=(負(fù)值已舍)．
∴AC的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”證出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出AC的長(zhǎng)．
22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，平分，，
(1)求證：﹔
(2)若，求．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）平分，得 得，結(jié)合公共角證得相似；
（2）由已知求出，根據(jù)相似得到，帶入求解即可．
【詳解】（1）證明：中，平分，
（2）
由（1）可知
即：
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)、等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵證明三角形的相似、掌握相似的性質(zhì)．
23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：中，為邊上的一點(diǎn)
(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)作DE//AB交邊于點(diǎn)若，，，求的長(zhǎng)；
(2)在圖②中，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上作點(diǎn)，使；保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法
(3)如圖③，點(diǎn)在邊上，連接、若，的面積等于，以為半徑作，試判斷直線(xiàn)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)直線(xiàn)與以為半徑作相切，見(jiàn)解析
【分析】對(duì)于（1），先證明∽，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出答案；
對(duì)于（2），先作，可知，再作，交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可知，，得；
對(duì)于（3），作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，可知四邊形是等腰梯形，
得，，再根據(jù)三角形面積相等得，即可得出答案．
【詳解】（1）如①圖中，DE//AB
∽，
∴，
即
；
（2）如圖②中，點(diǎn)即為所求．
（3）結(jié)論：直線(xiàn)與以為半徑作相切．
理由：作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接．
可知，，
四邊形是等腰梯形，
∴，，
∴，
∴，
直線(xiàn)與以為半徑作相切．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，切線(xiàn)的判定等，構(gòu)造輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
24．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)E、F、G分別在邊上，且．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）證明，結(jié)合可證得；
（2）由，可得，代入數(shù)據(jù)可得．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，于F，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，并利用相似進(jìn)行線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算，熟知一線(xiàn)三等角模型證明兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．
25．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期末）（1）如圖1，、為等邊中邊所在直線(xiàn)上兩點(diǎn)，，求證：；
（2）中，，請(qǐng)用不含刻度的直尺和圓規(guī)在上求作兩點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，使得為等邊三角形；
（3）在（1）的條件下，為邊上一點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，若，，，求的值．（用含有的代數(shù)式表示）
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到，即可；
（2）作，分別交于點(diǎn)B，C，即可；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及，可得，再由，可得，再由，可得，，可證得，從而得到，同理，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，即為所求；
理由：根據(jù)作圖得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形；
（3）∵是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考向六、三角形綜合問(wèn)題
26．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖1，在中．點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，．求證；
（2）如圖2．在中．．點(diǎn)D，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)．且．以為腰向右作等腰．使得．連接．
①試猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②如圖3．已知，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接．請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)和的最小值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；理由見(jiàn)解析；②，的最小值為
【分析】（1）證明 ，即可證明結(jié)論；
（2）①根據(jù)，得到：，再根據(jù)，即可得解；
②在上截取，連接，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接，，證明，利用對(duì)應(yīng)邊相等，和線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化，得到：，進(jìn)而得到，根據(jù)對(duì)稱(chēng)得到：，當(dāng)A、E、N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為，利用勾股定理求出即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
在和中，
∴ ，
∴．
（2）①．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
②在上截取，連接，作點(diǎn)G關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接，，
∵，，
同（1）可得：，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴E點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，
∵G點(diǎn)與N的關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴，
∴，
∴當(dāng)A、E、N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為，
∵，，
∴，
∴，
由對(duì)稱(chēng)性可知，，
∴，
∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值為，
∴，的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及勾股定理，利用軸對(duì)稱(chēng)解決線(xiàn)段和最小問(wèn)題．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形全等，以及利用軸對(duì)稱(chēng)解決線(xiàn)段和最小問(wèn)題．
27．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的角平分線(xiàn)，，、所對(duì)的邊記為a、c．
(1)當(dāng)時(shí)，求a的值；
(2)求的面積（用含a，c的式子表示即可）；
(3)求證：a，c之和等于a，c之積．
【答案】(1)
(2)或
(3)見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線(xiàn)定理得到，解直角三角形得到，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可得到結(jié)論；
（2）分為兩種情形：情形1：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G；情形2：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，再由三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）由（2）的結(jié)論即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）∵平分，
∴，
過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，
，
，
，，
過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，
∵，
，
∴
（2）情形1：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
∵平分，
∴．
∵在中，，，
在中，，，
∴；
情形2：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，
則，
在中，
，
；
（3）證明：由(2)可得，
即，
則．
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)解直角三角形的理解及運(yùn)用，掌握三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理以及三角形面積的解答方法是解決此題的關(guān)鍵．
28．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）(1)如圖1，在四邊形中，，，對(duì)角線(xiàn)，求四邊形的面積；
(2)如圖2，園藝設(shè)計(jì)師想在正六邊形草坪一角內(nèi)改建一個(gè)小型的兒童游樂(lè)場(chǎng)，其中平分，米，，點(diǎn)M，N分別在射線(xiàn)和上，且，為了盡可能的少破壞草坪，要使游樂(lè)場(chǎng)面積最小，你認(rèn)為園林規(guī)劃局的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？若能，請(qǐng)求出游樂(lè)場(chǎng)面積的最小值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)可得，即可得到點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在以為直徑的圓上，過(guò)D作，，易得，即可得到答案；
（2）過(guò)A作，，根據(jù)角平分線(xiàn)定理及三角函數(shù)即可得到，在上取一點(diǎn)F使，即可得到最小值，即可得到答案；
【詳解】（1）解：過(guò)D作，，
∵，
∴，
∴A，B，C，D四點(diǎn)在以為直徑的圓上，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在與中，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形的面積為：；
（2）解：過(guò)A作，，
∵平分，米，，，，
∴，
在上取一點(diǎn)F使，
在與中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)最小時(shí)，最小，
此時(shí)，
∴最小面積為：
；
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
29．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）如圖1，在中，，D為射線(xiàn)上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，在的右側(cè)射線(xiàn)的上方作．使得，，連接．
(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論；
(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若，
①利用（1）中的結(jié)論求出的度數(shù)；
②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)；
(3)當(dāng)D在線(xiàn)段上時(shí)，若線(xiàn)段，面積為3，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是 ．
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析
(2)①；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為或
(3)7
【分析】（1）由，可得，即可證明；
（2）①設(shè)，可得，即得，，根據(jù)，有，故；
②，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
（3）可證，得，即得，知四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，最小，而，可得當(dāng)最小時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)，根據(jù)，面積為3，得，從而可知四邊形最小周長(zhǎng)為．
【詳解】（1）解：，證明如下：
，
，即，
在和中，
，
；
（2）①如圖：
設(shè)，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
解得，
；
②由①知，，
當(dāng)時(shí)，如圖：
，
，
當(dāng)時(shí)，如圖：
，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為或；
（3）如圖：
同（1）可證，
，
，
四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，最小，
，
當(dāng)最小時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)，
，面積為3，
，
四邊形最小周長(zhǎng)為，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判斷與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，四邊形周長(zhǎng)最小值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明．
30．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）(1)如圖1，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)、在線(xiàn)段上方，連接、、、、，當(dāng)時(shí)， （填“”或“”；
(2)如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)、在線(xiàn)段上方，連接、、、、，當(dāng)銳角時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖3，在中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)．點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度，沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上，且．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【答案】(1)；
(2)成立，滿(mǎn)足，理由見(jiàn)解析；
(3)的值為或或或或1或7
【分析】（1）證明，利用相似比即可得到答案；
（2）證明，利用相似比即可得到答案；
（3）連接、，根據(jù)勾股定理可得，又因?yàn)?，則，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，利用，得到，即可求出的值；②當(dāng)時(shí)，利用直角三角形斜邊中點(diǎn)等于斜邊一半，得到，再利用相似比即可求出的值；③當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得到，再利用三角函數(shù)，得到，進(jìn)而得到，，利用相似比即可求出的值．
【詳解】（1）解：如圖1中，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：成立，滿(mǎn)足，
理由：，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如圖3，連接、，
，，，
，
，
，
，
①當(dāng)時(shí)，
，
由（1）（2）可知，
，
，
整理得：，
，，
經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解；
②當(dāng)時(shí)，
直角三角形斜邊中點(diǎn)等于斜邊一半，
為中點(diǎn)，
，
同法可得，
整理得：，
解得，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解；
③當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)F，
，
，
，
，
，
同法可得，，
解得，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，或7是分式方程的解，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值為或或或或1或7．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，解分式方程等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升
一、解答題
1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)、、、在一條直線(xiàn)上，且，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)證明，即可得出答案．
【詳解】證明：∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在射線(xiàn)上，．如果繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，那么點(diǎn)的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，則點(diǎn)的位置可以表示為_(kāi)_____；
(2)在（1）的條件下，已知點(diǎn)的位置用表示，連接、．求證：．
【答案】(1)(3,37°)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；
（2）畫(huà)出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案為：(3,37°)；
（2）證明：如圖，
∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，，相交于點(diǎn)O，，．
求證：（1）；
（2）．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)AAS，即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得OB=OC，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：（1）在與中，
∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴OB=OC，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握AAS判定三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∠1＝∠B，點(diǎn)E、F分別在A(yíng)B、BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF．
（1）求證：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度數(shù)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）78°．
【分析】（1）由“SAS”可證△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠2＝∠BAC＝78°．
【詳解】證明：（1）在△BEF和△CDA中，
，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)．證明△BEF≌△CDA是解題的關(guān)鍵
5．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）90°
【分析】（1）根據(jù)題意證明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．
【詳解】（1）∵，，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又．
∴△ACE≌△BCD
∴
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
設(shè)AE與BC交于O點(diǎn),
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故=180°-∠BFO=90°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．
6．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使兩點(diǎn)重合．點(diǎn)落在點(diǎn)處．已知，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得,則,因?yàn)檎郫B，，即可得證；
（2）設(shè)用含的代數(shù)式表示，由折疊，，再用勾股定理求解即可
【詳解】（1）四邊形是矩形


因?yàn)檎郫B，則
是等腰三角形
（2）四邊形是矩形
,
設(shè)，則
因?yàn)檎郫B，則，,
在中
即
解得：

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，圖像的折疊，勾股定理，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在A(yíng)C右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為 ．（如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用試卷中的圖2）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)作，即可找出點(diǎn)D；
（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長(zhǎng)，求出梯形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，
∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四邊形ABCD是梯形，
∴，
∴四邊形AECD是矩形，
∴，
∴四邊形ABCD的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)做垂線(xiàn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論；
（2）先證明，再求解， 結(jié)合對(duì)折的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，
則，．
在△DAF和△ECF中，

∴．
（2）解：∵，
∴．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．
9．（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，B、F、C、E是直線(xiàn)l上的四點(diǎn)，．
（1）求證：；
（2）將沿直線(xiàn)l翻折得到．
①用直尺和圓規(guī)在圖中作出（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；
②連接，則直線(xiàn)與l的位置關(guān)系是__________．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①見(jiàn)詳解；②平行
【分析】（1）根據(jù)“SAS”即可證明；
（2）①以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)C為圓心，CA 為半徑畫(huà)畫(huà)弧，兩個(gè)弧交于，連接B，C，即可；
②過(guò)點(diǎn)作M⊥l，過(guò)點(diǎn)D 作DN⊥l，則M∥DN，且M=DN，證明四邊形MND是平行四邊形，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，
∴BC=EF，
∵，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵，
∴；
（2）①如圖所示，即為所求；
②∥l，理由如下：
∵，與關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
∴，
過(guò)點(diǎn)作M⊥l，過(guò)點(diǎn)D 作DN⊥l，則M∥DN，且M=DN，
∴四邊形MND是平行四邊形，
∴∥l，
故答案是：平行．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，O為AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)l1、l2分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B，且l1∥l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)l2于點(diǎn)C，連接AC．求證：直線(xiàn)l1垂直平分AC；
（2）如圖②，平面內(nèi)直線(xiàn)l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線(xiàn)間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線(xiàn)l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在直線(xiàn)l4上求作一點(diǎn)D，使線(xiàn)段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理證明直線(xiàn)l1平分AC；利用直角三角形的判定證明直線(xiàn)l1垂直AC；
（2）以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l4于點(diǎn)D，此時(shí)線(xiàn)段PD最短，點(diǎn)D即為所求．
【詳解】（1）解：如圖①，連接OC，
∵OB=OA，l1∥l2，
∴直線(xiàn)l1平分AC，
由作圖可知：OB=OA=OC，
∴∠ACB=90°，
∴l(xiāng)2垂直AC，
∵l1∥l2，
∴l(xiāng)1垂直AC，
即直線(xiàn)l1垂直平分AC．
（2）如圖②，以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)l3于點(diǎn)C，連接PC并延長(zhǎng)交直線(xiàn)l4于點(diǎn)D，此時(shí)線(xiàn)段PD最短，點(diǎn)D即為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，與考查了尺規(guī)作圖．
11．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，與交于點(diǎn)O，，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；
（2）先分別求出BE和DC的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線(xiàn)段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用等．
12．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．
【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．
【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
13．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線(xiàn)段，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，
（1）用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)，使點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)的距離等于．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）在（1）的條件下，若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）P（5,5）．
【分析】（1）作第一象限的平分線(xiàn)OM，再以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫(huà)弧，交OM于點(diǎn)P即可；
（2）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P（t，t），再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程即可解答．
【詳解】解：（1）如圖所示，作第一象限的平分線(xiàn)OM，再以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫(huà)弧，交OM于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求；
（2）∵點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且在第一象限，
∴設(shè)點(diǎn)P（t，t），
則AP=，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖以及兩點(diǎn)之間的距離公式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，明確如何作圖能滿(mǎn)足題意．
14．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．
求證：．
問(wèn)題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求的值．
【答案】問(wèn)題1：見(jiàn)解析；問(wèn)題2：
【分析】問(wèn)題1：先根據(jù)AAS證明，可得，，由此即可證得結(jié)論；
問(wèn)題2：分別過(guò)點(diǎn)、作的垂線(xiàn)，垂足為、，由（1）可知，利用45°的三角函數(shù)值可得，，由此即可計(jì)算得到答案．
【詳解】問(wèn)題1：證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
問(wèn)題2：如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作的垂線(xiàn)，垂足為、．
由（1）可知，
在和中，，
∴，，
，．
∴，．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形，作出正確的輔助線(xiàn)并能利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
15．（2020·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，．
求證：（1）；
（2）．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）先由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠B=∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB=∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行線(xiàn)的判定可得結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于全等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，難度不大，注意證明過(guò)程的規(guī)范性．
16．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】
（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為 ；
【思考說(shuō)理】
（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值．
【拓展延伸】
（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過(guò)頂點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．
①求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
②若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②．
【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線(xiàn)的判定可得，然后根據(jù)三角形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)即可得；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出BM的長(zhǎng)，最后根據(jù)線(xiàn)段的和差可得AM的長(zhǎng)，由此即可得出答案；
（3）①先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得BM、AM、CM的長(zhǎng)，最后代入求解即可得；
②先根據(jù)折疊的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差求出，的長(zhǎng)，設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)x的取值范圍即可得．
【詳解】（1），理由如下：
由折疊的性質(zhì)得：
是的中位線(xiàn)
點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)
則
故答案為：；
（2）
由折疊的性質(zhì)得：
，即
在和中，
，即
解得
；
（3）①由折疊的性質(zhì)得：
，即
在和中，
，即
解得
解得；
②如圖，由折疊的性質(zhì)可知，，，
點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)
設(shè)，則
點(diǎn)為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
，其中當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，
，即
在和中，
則．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理、等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3）②，正確設(shè)立未知數(shù)，并找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．
17．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上（不與重合），連接．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．連接．
（1）求證：
①的面積；
②；
（2）如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，求的取值范圍．
【答案】（1）①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解；（2）4≤MN＜
【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，證明，即可得到結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，證明，結(jié)合，可得GD=EH，同理：FG=AH，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，可得∠AMD=90°，MN=EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)， EF最大值=，當(dāng)點(diǎn)P與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，EF最小值= HG=8，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】（1）①證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴（AAS），
∴FG=PD，
∴的面積；
②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴（AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得：，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴，
∴；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，
由（1）得：，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，
∴MN=EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，F(xiàn)G=0，EH=4，HG=8，
此時(shí)EF最大值=，
當(dāng)點(diǎn)P與AD的中點(diǎn)重合時(shí)，F(xiàn)G=2，EH=2，HG=8，
此時(shí)EF最小值= HG=8，
∴的取值范圍是：4≤MN＜．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角全等的直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
18．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【知識(shí)再現(xiàn)】
學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱(chēng)HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】
如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線(xiàn)段AE和線(xiàn)段AD的數(shù)量關(guān)系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．
（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線(xiàn)段AE與線(xiàn)段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CE＝BD．試探究線(xiàn)段AE與線(xiàn)段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說(shuō)明理由．
【答案】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見(jiàn)解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cs（180°﹣），理由見(jiàn)解析
【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．
拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．
（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cs（180°﹣）．在A(yíng)B上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．
【詳解】簡(jiǎn)單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案為：AE＝AD．
拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．
理由：如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cs（180°﹣）．
理由：在A(yíng)B上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC?cs（180°﹣）＝m?cs（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cs（180°﹣）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問(wèn)題.
19．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．
【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．
(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
(2)若點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．
(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線(xiàn)上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；
（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出OG=，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；
（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過(guò)O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.
【詳解】（1）解：由題意得，，
∵在中，，，．
∴．
（2）①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，
如圖一，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，
如圖二，
在中，∵，，，
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
在中，，
∴．
綜上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．
（3）解：如圖三，取的中點(diǎn)，連接，則．
∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．
當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．
∴點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
（4）解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
如圖四，過(guò)O作OH⊥AB于H，
當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，分點(diǎn)在上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.
20．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)．若，則點(diǎn)叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．
(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如圖，在四邊形中，邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”．已知，，，連接，求的長(zhǎng)；
(3)在四邊形中，EH//FG．若邊上的點(diǎn)是四邊形的“等形點(diǎn)”，求的值．
【答案】(1)不存在，理由見(jiàn)詳解
(2)
(3)1
【分析】（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的概念，采用反證法即可判斷；
（2）過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進(jìn)而有OE=OH，可得OF=OG，則問(wèn)題得解．
【詳解】（1）不存在，
理由如下：
假設(shè)正方形ABCD存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，點(diǎn)O在邊BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O點(diǎn)在BC上，
∴DO與BC交于點(diǎn)O，
∴假設(shè)不成立，
故正方形不存在“等形點(diǎn)”；
（2）如圖，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，
∵O點(diǎn)是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的長(zhǎng)為；
（3）如圖，
∵O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根據(jù)∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．