滬科版數(shù)學(xué)九上同步講與練專題23.4 解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項(xiàng)訓(xùn)練（50道）（2份，原卷版+解析版）

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專題23.4 解直角三角形的應(yīng)用中考真題專項(xiàng)訓(xùn)練（50道） 【滬科版】 考卷信息： 本套訓(xùn)練卷共50題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了解直角三角形的應(yīng)用中考真題的綜合問(wèn)題的所有類型！ 一．解答題（共50題） 1．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)，斜坡的傾斜角為，．小文在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）． (1)求，兩點(diǎn)的高度差； (2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】(1)9m (2)24m 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． （1） 解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， 在中，，， ． ． 答：，兩點(diǎn)的高度差為． （2） 過(guò)點(diǎn)作于， 由題意可得，， 設(shè)， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， ． 答：居民樓的高度約為． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵． 2．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔垂直于橋面于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索與橋面的夾角分別為和，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】主塔的高度約為78m． 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定義求出，然后根據(jù)∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解決問(wèn)題． 【詳解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔的高度約為78m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵． 3．（2022·河南·中考真題）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測(cè)得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7） 【答案】潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度為308米 【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解． 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度， 根據(jù)題意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°， 設(shè)AD=x，則BD=BA+AD=1000+x， 在Rt三角形ACD中，， 在Rt三角形BCD中，BD=CD?tan68°， ∴， 解得：（米）， ∴潛艇C離開(kāi)海平面的下潛深度為308米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解． 4．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)） (1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離； (2)求隧道的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】(1)點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米 (2)隧道的長(zhǎng)為米 【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知，，解即可求解； （2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．分別解，求出和，即可求出隧道的長(zhǎng) （1） 由題意可知：， 在中， ∴（米） 答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米． （2） 過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E． ∵是東西走向 ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∴（米） 答：隧道的長(zhǎng)為米 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 5．（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)階）．該小組在C處安置測(cè)角儀CD，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測(cè)角儀EF，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測(cè)角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7） 【答案】旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m 【分析】延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FG的長(zhǎng)，從而求出DG的長(zhǎng)，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可詳解． 【詳解】解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G， 由題意得： DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°， 設(shè)AG＝xm， 在Rt△AFG中，∠AFG＝45°， ∴FGx（m）， ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝30°， ∴tan30°， ∴x＝44， 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝44是原方程的根， ∴AB＝AG+BG≈12（m）， ∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度約為12m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． 6．（2022·湖北襄陽(yáng)·中考真題）位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80） 【答案】烈士塔的高度約為28m． 【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案． 【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°， 在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m， ∴BD=AD=10m， 在Rt△ACD中，∠DAC=61°， tan61°=≈1.80， 解得CD≈18， ∴BC=BD+CD=10+18=28（m）． ∴烈士塔的高度約為28m． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵． 7．（2022·貴州安順·中考真題）隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動(dòng)通信技術(shù)日趨完善．某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021~2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡腳處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后他沿坡面行走?0米到達(dá)處，處離地平面的距離為30米且在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋牵c(diǎn)、、、、均在同一平面內(nèi)，為地平線）（參考數(shù)據(jù)：，，） (1)求坡面的坡度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1) (2)基站塔的高為米 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理求出，然后利用坡度的求解方式求解即可； （2）設(shè)米，則米，米，根據(jù)，求出米，米．在中，求出；再根據(jù)（米． （1） 解：如圖，過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為． 根據(jù)他沿坡面行走了50米到達(dá)處，處離地平面的距離為30米， （米），（米）， 根據(jù)勾股定理得：（米） 坡面的坡度為；, 即坡面的坡度比為； （2） 解：設(shè)米，則米，米， ， ， 米， 米． 在， 米，米，， ， 解得； （米）， （米， （米）． 答：基站塔的高為米． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度的意義進(jìn)行計(jì)算是常用的方法． 8．（2022·遼寧鞍山·中考真題）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為的勵(lì)志條幅（即）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端到地面的距離，他的測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)處，在點(diǎn)正上方點(diǎn)處測(cè)得條幅頂端的仰角為，然后向教學(xué)樓條幅方向前行到達(dá)點(diǎn)處（樓底部點(diǎn)與點(diǎn)，在一條直線上），在點(diǎn)正上方點(diǎn)處測(cè)得條幅底端的仰角為，若，均為（即四邊形為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算條幅底端到地面的距離的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，） 【答案】條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米． 【分析】設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長(zhǎng)，從而求出GH的長(zhǎng)，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【詳解】解：設(shè)AC與GE相交于點(diǎn)H， 由題意得： AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°， 設(shè)CH＝x米， ∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米， 在Rt△CHF中，∠FCH＝45°， ∴FH＝CH?tan45°＝x（米）， ∵GF＝8米， ∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米， 在Rt△AHG中，∠GAH＝37°， ∴tan37°＝， 解得：x＝4， 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的根， ∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米）， ∴條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 9．（2022·山東菏澤·中考真題）荷澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來(lái)的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長(zhǎng)為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：） 【答案】約為1.9米 【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正切的定義求出CD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案． 【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， 則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB?cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt△ADC中，∠ADC=30°， 則CD=≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米）， 答：BD的長(zhǎng)約為1.9米． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 10．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小睿為測(cè)量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5m的測(cè)角儀DE測(cè)得，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點(diǎn)G處，在點(diǎn)G處用高1.5m的測(cè)角儀FG測(cè)得．求涼亭AB的高度．（A，C，B三點(diǎn)共線，，，，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 【答案】m 【分析】根據(jù)題意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后設(shè)CF＝x，則CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【詳解】解：由題意得： BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°， 設(shè)CF＝x， ∴CD＝CF+DF＝（x+3）， 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF?tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan31°， ∴x＝6， 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝6是原方程的根， ∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）， ∴涼亭AB的高約為6.9m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 11．（2022·江蘇鹽城·中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，m，m，m，．機(jī)械臂端點(diǎn)到工作臺(tái)的距離m． (1)求、兩點(diǎn)之間的距離； (2)求長(zhǎng)． （結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，） 【答案】(1)6.7m (2)4.5m 【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問(wèn)題． （2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問(wèn)題． （1） 解：如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于． 在中，， ，所以， ，所以， 在中，m，m， 根據(jù)勾股定理得m， 答：、兩點(diǎn)之間的距離約6.7m． （2） 如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為， 則四邊形為矩形，m，， 所以m， 在中，m，m， 根據(jù)勾股定理得m． m． 答：的長(zhǎng)為4.5m． 【點(diǎn)睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長(zhǎng)時(shí)，我們經(jīng)常通過(guò)觀察圖形將所求的角成者線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中（如果沒(méi)有直角三角形，設(shè)法構(gòu)造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解 12．（2022·山東日照·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦激發(fā)了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．如圖是某滑雪場(chǎng)的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測(cè)得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的俯角∠DAB=30°．若雪道AB長(zhǎng)為270m，雪道BC長(zhǎng)為260m． (1)求該滑雪場(chǎng)的高度h； (2)據(jù)了解，該滑雪場(chǎng)要用兩種不同的造雪設(shè)備來(lái)滿足對(duì)于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時(shí)造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時(shí)間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時(shí)的造雪量． 【答案】(1)235m (2)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3 【分析】（1）過(guò)B作BF∥AD，過(guò)D過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）； （2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗(yàn)可得甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3． （1）解：過(guò)B作BF∥AD，過(guò)A過(guò)AF⊥AD，兩直線交于F，過(guò)B作BE垂直地面交地面于E，如圖：根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（負(fù)值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：該滑雪場(chǎng)的高度h為235m； （2）設(shè)甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是（x+35）m3，根據(jù)題意得：，解得x=15，經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，也符合題意，∴x+35=50，答：甲種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時(shí)的造雪量是50m3． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程． 13．（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，蓮花山是大連著名的景點(diǎn)之一，游客可以從山底乘坐索道車到達(dá)山項(xiàng)，索速車運(yùn)行的速度是1米/秒，小明要測(cè)量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測(cè)得白塔底部B的仰角的為，測(cè)得白塔頂部C的仰角的為．索道車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間的為5分鐘． (1)索道車從A處運(yùn)行到B處的距離約為_(kāi)_______米； (2)請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求白塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】(1)300 (2)白塔的高度約為米． 【分析】（1）由路程等于速度乘以時(shí)間即可得到答案； （2）由題意可得： 而 再求解 再利用 再解方程即可． （1） 解：∵索速車運(yùn)行的速度是1米/秒，索道車從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間的為5分鐘， ∴（米） 故答案為：300 （2） 解：由題意可得： 而米 ∴ ∴（米） 所以白塔的高度約為米． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟練的利用三角函數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵． 14．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）我們經(jīng)常會(huì)采用不同方法對(duì)某物體進(jìn)行測(cè)量，請(qǐng)測(cè)量下列燈桿AB的長(zhǎng)． (1)如圖1所示，將一個(gè)測(cè)角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測(cè)角儀高為b米，從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示） (2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著B(niǎo)C方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根據(jù)四邊形CDBE為矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt?ACE中，由正切函數(shù)tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根據(jù)AB∥ED，得到?ABF~?EDF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到 ，又根據(jù)AB∥GC，得出?ABH~?GCH，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到 聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得； （1） 解：如圖 由題意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四邊形CDBE為矩形， 則BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt?ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：燈桿AB的高度為atanα+b米 （2） 由題意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴?ABF~?EDF， 此時(shí) 即①， ∵AB∥GC ∴?ABH~?GCH， 此時(shí)， ② 聯(lián)立①②得 ， 解得： 答：燈桿AB的高度為3.8米 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)． 15．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高，背水坡BC的坡度為．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到0.1m） 【答案】背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m 【分析】通過(guò)解直角三角形和，分別求出AD和BD的長(zhǎng)，由求出AB的長(zhǎng)． 【詳解】解：在中，∵背水坡BC的坡度， ∴， ∴． 在中，∵背水坡AC的坡度， ∴， ∴， ∴． 答：背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度． 16．（2022·遼寧錦州·中考真題）某數(shù)學(xué)小組要測(cè)量學(xué)校路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測(cè)角僅進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下： 計(jì)算路燈頂部到地面的距離約為多少米?（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)；） 【答案】3.5米 【分析】延長(zhǎng)DA，交PE于點(diǎn)F，則DF⊥PE，先得到四邊形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的長(zhǎng)度，再求出PF的長(zhǎng)度，即可求出答案． 【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)DA，交PE于點(diǎn)F，則DF⊥PE， ∵， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵AB⊥BC， ∴四邊形ABCD是矩形， 同理：四邊形CDFE是矩形； ∴，， 在直角△PDF中，有， 在直角△PAF中，有， ∴， 即， ∴， 解得：； ∴； ∴（米）； ∴路燈頂部到地面的距離約為3.5米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出輔助線，正確的求出PF的長(zhǎng)度． 17．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，小歡從公共汽車站A出發(fā)，沿北偏東30°方向走2000米到達(dá)東湖公園B處，參觀后又從B處沿正南方向行走一段距離，到達(dá)位于公共汽車東南方向的圖書館C處．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） (1)求小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離； (2)若小歡以100米/分的速度從圖書館C沿CA回到公共汽車站A，那么她在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)公共汽車站？ 【答案】(1)小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離是1000米 (2)小歡15分鐘內(nèi)能到達(dá)公共汽車站 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥C于點(diǎn)D，根據(jù)B位于A的北偏東30°方向和AB＝2000米可得AD的長(zhǎng)度； （2）根據(jù)45°角的余弦和AD的長(zhǎng)可得AC的長(zhǎng)度，再結(jié)合小歡的速度可得答案． （1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵B位于A的北偏東30°方向，AB＝2000米，∴∠B＝30°，AD＝AB＝1000（米），答：小歡從東湖公園走到圖書館的途中與公共汽車站之間最短的距離是1000米； （2）在Rt△ADC中，∵∠DAC＝45°，AD＝1000米，∴AC＝＝1000≈1414（米），∵1414＜15×100，∴小歡15分鐘內(nèi)能到達(dá)公共汽車站． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)與實(shí)際生活有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想． 18．（2022·遼寧遼寧·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組欲測(cè)量山坡上一棵大樹(shù)CD的高度，如圖，于點(diǎn)E，在A處測(cè)得大樹(shù)底端C的仰角為，沿水平地面前進(jìn)30米到達(dá)B處，測(cè)得大樹(shù)頂端D的仰角為，測(cè)得山坡坡角（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）． (1)求斜坡BC的長(zhǎng)； (2)求這棵大樹(shù)CD的高度（結(jié)果取整數(shù)）． （參考數(shù)據(jù)：sin≈，cos≈，tan≈，≈1.73） 【答案】(1)斜坡BC的長(zhǎng)為30米 (2)這棵大樹(shù)CD的高度約為20米 【分析】（1）根據(jù)題意可得：，AB=30米，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，從而得出AB=BC=30米，即可得出答案． （2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE，BE的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答． （1） 解：由題意得，AB＝30米， ∵是的一個(gè)外角， ∴， ∴， ∴AB＝BC＝30米， ∴斜坡BC的長(zhǎng)為30米； （2） 解：在中，，BC＝30米， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴DE=BEtan (米)， ∴DC＝DE﹣CE＝（米）， ∴這棵大樹(shù)CD的高度約為20米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并正確運(yùn)用． 19．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）． 【答案】貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里． 【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】解：過(guò)B作BD⊥AC于D， 由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°， 在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)， ∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)， ∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)， 答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 20．（2022·山東青島·中考真題）如圖，為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活·綠色出行”健步走公益活動(dòng)．小宇在點(diǎn)A處時(shí)，某艘海上觀光船位于小宇北偏東的點(diǎn)C處，觀光船到濱海大道的距離為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，觀光船沿北偏西的方向航行至點(diǎn)D處，此時(shí)，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 【答案】觀光船從C處航行到D處的距離為米 【分析】過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)題意利用正切函數(shù)可得，由矩形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形利用銳角三角函數(shù)解三角形即可． 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F， 由題意得，， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四邊形為矩形 ∴． 在中， ∵ ∴ 答：觀光船從C處航行到D處的距離為米． 【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)解三角形是解題關(guān)鍵． 21．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）交通安全心系千萬(wàn)家．高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀和測(cè)速儀到路面之間的距離，測(cè)速儀和之間的距離，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車在隧道入口點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車在點(diǎn)的俯角為60°，小汽車在隧道中從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）． (1)求，兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）； (2)若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 【答案】(1)760米 (2)未超速，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）分別解，求得，根據(jù)即可求解； （2）根據(jù)路程除以速度，進(jìn)而比較即可求解． （1） 四邊形是平行四邊形 四邊形是矩形， 在中， 在中， 答：，兩點(diǎn)之間的距離為760米； （2） ， 小汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)未超速． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 22．（2022·四川廣安·中考真題）八年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75 【答案】菜園與果園之間的距離為630米 【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進(jìn)而求得AE=210，在中，利用正切進(jìn)行求解即可． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則， ∵∠B=90°， 四邊形是矩形， ，BC=EF， 在中，， ∴BE=240， ∴AE=AB-BE=210， 在中，，， 米． ∴BC=EF=DF+DE=180+450=630 答：菜園與果園之間的距離630米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 23．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測(cè)量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處．在B處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】大樓的高度為92米 【分析】過(guò)點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，通過(guò)解直角三角形表示出BF、AN、AE的長(zhǎng)度，利用BF=NE進(jìn)行求解即可． 【詳解】 過(guò)點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F， 四邊形BENF為矩形， 設(shè)， 在中， 斜坡的坡度，即， 在中， 在中， 解得， 所以，大樓的高度為92米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，準(zhǔn)確理解題意，能添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 24．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處測(cè)得燈管支架底部的仰角為60°，在點(diǎn)處測(cè)得燈管支架頂部的仰角為30°，測(cè)得m，m（，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題： (1)求燈管支架底部距地面高度的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）； (2)求燈管支架的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解即可求解； （2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明是等邊三角形，解，根據(jù)即可求解． （1） 在中， （2） 如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)， 中， 是等邊三角形 答：燈管支架的長(zhǎng)度約為． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 25．（2022·江蘇泰州·中考真題）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB= 8 m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48） 【答案】 【分析】過(guò)M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，證明四邊形ABCM為矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理學(xué)入射光線與反射光線之間的關(guān)系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，進(jìn)而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解． 【詳解】解：過(guò)M點(diǎn)作ME⊥MN交CD于E點(diǎn)，如下圖所示： ∵C點(diǎn)在M點(diǎn)正下方， ∴CM⊥CD，即∠MCD=90°， ∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面， ∴四邊形AMCB為矩形， ∴MC=AB=8m，AB∥CM， ∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°， ∵地面上的點(diǎn)D經(jīng)過(guò)平面鏡MN反射后落在點(diǎn)C，結(jié)合物理學(xué)知識(shí)可知： ∴∠NME=90°， ∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°， ∴∠CMD=56°， 在Rt△CMD中，，代入數(shù)據(jù)：， ∴， 即水平地面上最遠(yuǎn)處D到小強(qiáng)的距離CD是． 【點(diǎn)睛】本題借助平面鏡入射光線與反射光線相關(guān)的物理學(xué)知識(shí)考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 26．（2022·湖北鄂州·中考真題）亞洲第一、中國(guó)唯一的航空貨運(yùn)樞紐一一鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見(jiàn)證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求： (1)兩位市民甲、乙之間的距離CD； (2)此時(shí)飛機(jī)的高度AB，（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）先根據(jù)斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)即可； （2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，證明AB=BC，設(shè)AB=BC=x米，則米，米，解直角三角形得到據(jù)此求解即可． （1） 解：∵斜坡CF的坡比=1：3，鉛垂高度DG=30米， ∴， ∴米， ∴米； （2） 解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，則四邊形BHDG是矩形， ∴BH=DG=30米，DH=BG， ∵∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC， 設(shè)AB=BC=x米，則米，米， 在Rt△ADH中，， ∴， 解得， ∴米． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 27．（2022·山西·中考真題）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在AB，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為60m，此時(shí)觀測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）． 【答案】58m 【分析】延長(zhǎng)AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則，再根據(jù)圖形應(yīng)用三角函數(shù)即可求解． 【詳解】解：延長(zhǎng)AB和CD分別與直線OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則． 又∵， ∴四邊形ACHG是矩形． ∴． 由題意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)約為58m． 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵． 28．（2022·湖南常德·中考真題）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖是其示意圖，已知：助滑坡道米，弧形跳臺(tái)的跨度米，頂端到的距離為40米，，，，．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，） 【答案】70 【分析】過(guò)點(diǎn)作 ，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，可得，在中，求得，根據(jù)，，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求解． 【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作 ，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形， ， ，， 在中，（米）， ， ，，米 ， 解得， 頂端到的距離為40米，即米 （米）． （米）． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 29．（2022·湖南湘潭·中考真題）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中）：傘柄始終平分，，當(dāng)時(shí)，傘完全打開(kāi)，此時(shí)．請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】72cm 【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解，分別求得，進(jìn)而求得，根據(jù)黃金比求得，求得的長(zhǎng)，即可求解． 【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn) ，，始終平分， ， 解得 答：最少需要準(zhǔn)備長(zhǎng)的傘柄 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 30．（2022·海南·中考真題）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）； (3)求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】（1）根據(jù)平角的定義求，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，再利用三角形內(nèi)角和求； （2）在中，求出DE的長(zhǎng)度再根據(jù)計(jì)算即可； （3）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，證明即可． （1） 過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E， 由題意得： ∴ （2） 由題意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴樓的高度為米． （3） 作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F， 則 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴無(wú)人機(jī)距離地面的高度為110米． 【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-——仰角俯角問(wèn)題的知識(shí)．此題難度適中，注意能借助仰角或俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵． 31．（2022·四川自貢·中考真題）在東西方向的海岸線上有一長(zhǎng)為的碼頭（如圖），在碼頭西端的正西處有一觀察站．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于的北偏西，且與相距的處；經(jīng)過(guò) ，又測(cè)得該輪船位于的北偏東，且與相距的處． （1）求該輪船航行的速度． （2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭靠岸． 【分析】（1）根據(jù)，由勾股定理可求出BC的長(zhǎng)度，航速=路程/時(shí)間即可； （2）作，，垂足分別為、，設(shè)直線交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件和構(gòu)造的直角三角形，求出BD、CE、AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)，分別求出EF、AF的長(zhǎng)，最后根據(jù)，得出輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭靠岸. 【詳解】（1）由題意，得，∴． ∴輪船航行的速度為． （2）能．作，，垂足分別為、，設(shè)直線交于點(diǎn)． 則，，． ∵，，∴． 又，∴． ∴．∴． ∴．∴． ∵，∴輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭靠岸． 【點(diǎn)睛】本題屬于實(shí)際應(yīng)用題，需要注意的是，最后的結(jié)論，要根據(jù)，得出輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭靠岸. 32．（2022·四川達(dá)州·中考真題）某地是國(guó)家AAAA級(jí)旅游景區(qū)，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享譽(yù)巴渠，被譽(yù)為 “小九寨”．端坐在觀音崖旁的一塊奇石似一只“嘯天犬”，昂首向天，望穿古今．一個(gè)周末，某數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)想測(cè)出“嘯天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x．他們把蹲著的“嘯天犬”抽象成四邊形ABCD，想法測(cè)出了尾部C看頭頂B的仰角為，從前腳落地點(diǎn)D看上嘴尖A的仰角剛好，,．景區(qū)管理員告訴同學(xué)們，上嘴尖到地面的距離是．于是，他們很快就算出了AB的長(zhǎng)．你也算算？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：.） 【答案】AB的長(zhǎng)約為． 【分析】作于F，根據(jù)正弦的定義求出BF，利用余弦的定義求出CF，利用正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計(jì)算即可． 【詳解】解：作于F， 在中，， ， 在E中，， 由勾股定理得，， 答：AB的長(zhǎng)約為． 【點(diǎn)睛】考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 33．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，某無(wú)人機(jī)于空中處探測(cè)到目標(biāo)的俯角分別是,此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度為，隨后無(wú)人機(jī)從處繼續(xù)水平飛行m到達(dá)處. （1）求之間的距離 （2）求從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）. 【分析】（1）解直角三角形即可得到結(jié)論； （2）過(guò)作交BC的延長(zhǎng)線于E，連接，于是得到， ，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論． 【詳解】解：（1）由題意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ABC中，AC=60m， AB===120（m） （2）過(guò)作交BC的延長(zhǎng)線于E，連接， 則， ， 在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°， DC=AC=20 DE=50 tan∠AD= tan∠DC=== 答：從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)D的俯角的正切值是． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵. 34．（2022·浙江舟山·中考真題）小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120°時(shí)，感覺(jué)最舒適（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2；使用時(shí)為了散熱，她在底板下面墊入散熱架ACO＇后，電腦轉(zhuǎn)到AO＇B＇位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于點(diǎn)C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度數(shù)． （2）顯示屏的頂部B＇比原來(lái)升高了多少？ （3）如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏O＇B＇與水平線的夾角仍保持120°，則顯示屏O＇B＇應(yīng)繞點(diǎn)O＇按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°． 【詳解】試題分析：（1）通過(guò)解直角三角形即可得到結(jié)果； （2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線于D，通過(guò)解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三點(diǎn)共線可得結(jié)果； （3）顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°． 試題解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°， ∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12， ∴顯示屏的頂部B′比原來(lái)升高了（36﹣12）cm； （3）顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°， 理由：∵顯示屏O′B與水平線的夾角仍保持120°， ∴∠EO′F=120°， ∴∠FO′A=∠CAO′=30°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠EO′B′=∠FO′A=30°， ∴顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°． 考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 35．（2022·重慶·中考真題）某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形BACD，其中．瞭望臺(tái)PC正前方水面上有兩艘漁船M、N，觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)漁船M的俯角，觀測(cè)漁船N在俯角，已知NM所在直線與PC所在直線垂直，垂足為點(diǎn)E，PE長(zhǎng)為30米． (1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）； (2)已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度．為提高大壩防洪能力，某施工隊(duì)在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩定加寬3米，背水坡FH的坡度為，施工12天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的1．5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】(1)兩漁船之間的距離為20米； (2)原計(jì)劃平均每天填筑土石方600立方米． 【分析】（1）根據(jù)已知條件及等角對(duì)等邊可得米，然后利用正切函數(shù)可得米，結(jié)合圖形求解即可得； （2）過(guò)點(diǎn)F作交AH于點(diǎn)K，作交直線AH于點(diǎn)L，則四邊形DFKA為平行四邊形，且，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得，，由坡度及正切函數(shù)可得，，得出，即可計(jì)算出所以需填土石方為43200立方米，設(shè)原計(jì)劃平均每天填x立方米，根據(jù)題意列出方程求解即可得 （1） 解：∵， ∴ ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 答：兩漁船M，N之間的距離約為20米； （2） 解：過(guò)點(diǎn)F作交AH于點(diǎn)K，作交直線AH于點(diǎn)L，則四邊形DFKA為平行四邊形，且， ∴，， 由題意得，，， 在中，， 在中，， ∴，， 梯形的面積為：（平方米）， 所以需填土石方為（立方米）， 設(shè)原計(jì)劃平均每天填x立方米，由題意得， ，, 解得，， 經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解． 答：原計(jì)劃平均每天填筑土石方600立方米． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的一般步驟、根據(jù)題意正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵，注意分式方程解出未知數(shù)后要驗(yàn)根． 36．（2022·貴州遵義·中考真題）下圖是某兒童樂(lè)園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4 m,AB=6 m,中間平臺(tái)寬度DE=1 m,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于點(diǎn)F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距離BM的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1 m.參考數(shù)據(jù):sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60) 【答案】2.5m. 【分析】設(shè)DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，則BF=4-x，根據(jù)線段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值． 【詳解】解：設(shè)DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=， ∴CF=tan·DF=， 又∵CB=4， ∴BF=4－， ∵AB=6，DE=1，BM= DF=， ∴AN=5－，EN=DM=BF=4－， 在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－， tan =0.60， 解得=2.5， 答：DM和BC的水平距離BM為2.5米． 考點(diǎn)：解直角三角形． 37．（2022·四川巴中·中考真題）2013年4月20日，四川雅安發(fā)生里氏7.0級(jí)地震，救援隊(duì)救援時(shí)，利用生命探測(cè)儀在某建筑物廢墟下方探測(cè)到點(diǎn)C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)A、B相距4米，探測(cè)線與地面的夾角分別為300和600，如圖所示，試確定生命所在點(diǎn)C的深度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73） 【答案】3.5米 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D， ∵探測(cè)線與地面的夾角為300和600， ∴∠CAD=300，∠CBD=600． 在Rt△BDC中， ∴． 在Rt△ADC中，，∴． ∵AB=AD﹣BD=4，∴，∴CD=2≈3.5（米）． 答：生命所在點(diǎn)C的深度大約為3.5米． 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，則∠CAD=300，∠CBD=600，在Rt△BDC中，，在Rt△ADC中，，然后根據(jù)AB=AD﹣BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可． （2022·廣西南寧·中考真題）如圖，山坡上有一棵樹(shù)AB，樹(shù)底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為米，山坡的坡角為30°．小寧在山腳的平地F處測(cè)量這棵樹(shù)的高，點(diǎn)C到測(cè)角儀EF的水平距離CF=1米，從E處測(cè)得樹(shù)頂部A的仰角為45°，樹(shù)底部B的仰角為20°，求樹(shù)AB的高度．（參考數(shù)值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【詳解】解：∵底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6 3 米，山坡的坡角為30°． ∴DC=BC?cos30°=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：樹(shù)高約為6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的長(zhǎng)，然后求得DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得GF的長(zhǎng)，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得樹(shù)高 39．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器：先安裝支架和（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：與水平面夾角為，且在水平線上的射影為.現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為，并已知，．如果安裝工人確定支架高為，求支架的高（結(jié)果精確到）？ 【答案】支架DC的高應(yīng)為119cm． 【分析】過(guò)A作AE∥BC，則∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根據(jù)DC=DE+EC進(jìn)行解答即可． 【詳解】解：如圖所示，過(guò)A作AE∥BC，則∠EAF=∠CBG=θ2， EC=AB=25cm?????????????? ∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1， Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2， ∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2） 又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412， ∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8， ∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8?cm≈119cm．????? 答：支架DC的高應(yīng)為119cm． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵． 40．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測(cè)得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10 nmile．該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)測(cè)得小島C位于西北方向且與點(diǎn)B相距8 nmile．求B，D間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）． 【答案】B，D間的距離為14nmile． 【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=8 nmile．再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出B，D間的距離． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E， 根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=8 nmile． 在Rt△ABC中，AC=BC=8， ∴AB=BC=16(nmile)， 在Rt△ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°， ∴DE=AD?sin60°=10×=(nmile)， AE=AD=5 (nmile)， ∴BE=AB-AE=11(nmile)， ∴BD=14(nmile)， 答：B，D間的距離為14nmile． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義． 41．（2022·重慶·中考真題）如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向．點(diǎn)，在點(diǎn)的正北方向，米．點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東． (1)求步道的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）； (2)點(diǎn)處有直飲水，小紅從出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，） 【答案】(1)283米 (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)較近 【分析】（1）過(guò)作的垂線，垂足為，可得四邊形ACHE是矩形，從而得到米，再證得△DEH為等腰直角三角形，即可求解； （2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解． （1）解：過(guò)作的垂線，垂足為，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四邊形ACHE是矩形，∴米，根據(jù)題意得：∠D=45°，∴△DEH為等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴（米）； （2）解： 根據(jù)題意得：∠ABC=∠BAE=30°，在中，∴米，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，總路程為AB+BD=500米，∴（米），∴（米），∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，總路程為，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)較近． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 42．（2022·重慶·中考真題）湖中小島上碼頭C處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面B點(diǎn)處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援．計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上．已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且B在C的正南方向900米處． (1)求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）； (2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請(qǐng)說(shuō)明理由．（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)） 【答案】(1)湖岸A與碼頭C的距離為1559米 (2)在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，則，，，在中，，即可求出，根據(jù)中，即可求出湖岸與碼頭的距離； （2）設(shè)快艇將游客送上救援船時(shí)間為分鐘，根據(jù)等量關(guān)系式：救援船行駛的路程+快艇行駛的路程= ，列出方程，求出時(shí)間，再和5分鐘進(jìn)行比較即可求解． （1）解：過(guò)點(diǎn)作垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，由題意可得：，，米，則，設(shè)，則，，，在中，，∴，解得，在中，，∴（米），∴湖岸與碼頭的距離為1559米； （2）解：設(shè)快艇將游客送上救援船時(shí)間為分鐘，由題意可得：，，∴在接到通知后，快艇能在5分鐘內(nèi)將該游客送上救援船． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，一元一次方程應(yīng)用中的行程問(wèn)題、含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，找到等量關(guān)系式，構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵． 43．（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹(shù)的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)測(cè)得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹(shù)方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測(cè)角儀CD，此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹(shù)AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】（9＋4）m 【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H， 則CH＝BD，BH＝CD＝1m， 由題意得：DF＝9m， ∴DG＝DF﹣FG＝6（m）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝30°， ∵tan∠ACH＝＝tan30°＝， ∴BD＝CH＝AH， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°． 由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴， 即， 解得：AH＝（8＋4）m， ∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m， 即這棵古樹(shù)的高AB為（9＋4）m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFG∽△ABG是解題的關(guān)鍵． 44．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，山坡上有一棵豎直的樹(shù)AB，坡面上點(diǎn)D處放置高度為1.6m的測(cè)傾器CD，測(cè)傾器的頂部C與樹(shù)底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN），此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上點(diǎn)B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹(shù)AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【答案】約為5.7m 【分析】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解． 【詳解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3， ∴i＝1∶3＝tanM， ∵BC//MN， ∴∠CBD＝∠M， ∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3， ∴BC＝3CD＝4.8（m）， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19， ∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m）， 即樹(shù)AB的高度約為5.7m． 【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．正確掌握解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題、仰角俯角問(wèn)題是解題的關(guān)鍵． 45．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡的坡角，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)，過(guò)其另一端安裝支架，所在的直線垂直于水平線，垂足為點(diǎn)為與的交點(diǎn)．已知，前排光伏板的坡角． （1）求的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）； （2）冬至日正午，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的太陽(yáng)光線與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可； （2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AM-AE可求出結(jié)論． 【詳解】解：（1）在Rt△ADF中， ∴ = = =88cm 在Rt△AEF中， ∴ （2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖， 則 ∴ 在Rt△ADF中， 在Rt△DFG中， ∴ ∴AG=AF+FG=88+75.8= ∵AN⊥GD ∴∠ANG=90° ∴ 在Rt△ANM中， ∴ ∴ ∴的最小值為 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形． 46．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在山坡的坡腳A處豎有一根電線桿（即），為固定電線桿，在地面C處和坡面D處各裝一根引拉線和，它們的長(zhǎng)度相等．測(cè)得米，，求點(diǎn)D到的距離． 【答案】 【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函數(shù)及勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)求出答案即可． 【詳解】如圖：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F， 在Rt△ABC中，，AC=6， ∴AB=8， ∴， 在Rt△ABF中，， ∴， ， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，， ∴． ∴點(diǎn)D到的距離為米． ． 【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理的計(jì)算，正確理解題意引出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵． 47．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）圖①是一種手機(jī)平板支架、由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖、托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，板固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，． （1）若時(shí)，求點(diǎn)A到直線的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）； （2）為了觀看舒適，把（1）中調(diào)整為，再將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線上即可、求旋轉(zhuǎn)的角度． （參考數(shù)：，，，，，，） 【答案】（1）124mm；（2）33.4° 【分析】（1）通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CN、AF，即可求出點(diǎn)A到直線DE的距離． （2）依題意畫出圖形，解直角三角形BCD得出∠CDB=26.6°，即可得出答案； 【詳解】解：如圖，過(guò)A作AM⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AM，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DE，垂足為N，則四邊形CFMN為矩形； 由題意可知，AC=AB-CB=115-35=80，CD=70，∠DCB=70°，∠CDE=60°， 在Rt△CDN中， ∠DCN=90°-60°=30°， 又∵∠DCB=70°， ∴∠BCN=70°-30°=40°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AMCN， ∴∠A=∠BCN=40°， ∴∠ACF=90°-40°=50°， 在Rt△AFC中，AF=AC?sin50°=80×0.8≈64（mm）， ∴AM=AF+FM=64+35≈64+59.5=123.5≈124（mm）， ∴點(diǎn)A到直線DE的距離約為124mm． （2）依題意畫出圖形，如圖 在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=35mm，CD=70mm， ∴ ∴∠CDB26.6°， ∴CD旋轉(zhuǎn)的角度=60°-26.6°=33.4°． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法． 48．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）小張?jiān)缙鹪谝粭l東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時(shí)，D處學(xué)校和E處圖書館都在他的東北方向，當(dāng)小張沿正東方向跑了到達(dá)B處時(shí)，E處圖書館在他的北偏東方向，然后他由B處繼續(xù)向正東方向跑到達(dá)C處，此時(shí)D處學(xué)校在他的北偏西方向，求D處學(xué)校和E處圖書館之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】580m 【分析】過(guò)點(diǎn)D作，，通過(guò)解、、求出AD、AF、EF的長(zhǎng)度，利用線段的和差即可求解． 【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，， 過(guò)點(diǎn)D作，， 則，， ∴， 設(shè)，則，，， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵． 49．（2022·遼寧本溪·中考真題）如圖，某地政府為解決當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問(wèn)題，計(jì)劃打通一條東西方向的隧道．無(wú)人機(jī)從點(diǎn)A的正上方點(diǎn)C，沿正東方向以的速度飛行15s到達(dá)點(diǎn)D，測(cè)得A的俯角為60°，然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達(dá)點(diǎn)E，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為37°． （1）求無(wú)人機(jī)的高度（結(jié)果保留根號(hào)）； （2）求的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，） 【答案】（1）無(wú)人機(jī)的高度AC=；（2）AB的長(zhǎng)度為243m． 【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函數(shù)即可求解； （2）先證明四邊形ABFC為矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解． 【詳解】（1）根據(jù)題意得：CD=8(m)， 在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°， ∴， ∴AC=120(m)， 答：無(wú)人機(jī)的高度AC=； （2）根據(jù)題意得：DE=8(m)， 則CE= DE+CD=520(m)， 過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F， 則四邊形ABFC為矩形， ∴AB=FC，BF=AC=， 在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°， ∴， ∴EF=(m)， ∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)， 答：AB的長(zhǎng)度為243m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)．注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 50．（2022·貴州安順·中考真題）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無(wú)人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小星利用無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量廣場(chǎng)兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小星站在廣場(chǎng)的處遙控?zé)o人機(jī)，無(wú)人機(jī)在處距離地面的飛行高度是，此時(shí)從無(wú)人機(jī)測(cè)得廣場(chǎng)處的俯角為，他抬頭仰視無(wú)人機(jī)時(shí)，仰角為，若小星的身高（點(diǎn)在同一平面內(nèi)）． （1）求仰角的正弦值； （2）求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）． 【答案】（1）；（2）B，C兩點(diǎn)之間的距離約為51m． 【分析】（1）如圖，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AD于F，利用四邊形BDFE為矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，則AF＝40m，然后根據(jù)正弦的定義求解； （2）先利用勾股定理計(jì)算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定義計(jì)算出CD，然后計(jì)算BD＋CD即可． 【詳解】解：（1）如圖，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC于D，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AD于F， ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四邊形BDFE為矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， ∴AF＝AD?DF＝41.6?1.6＝40（m）， 在Rt△AEF中，sin∠AEF=，即sin=． 答：仰角的正弦值為； （2）在Rt△AEF中，EF＝m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m， ∵tan∠ACD=， ∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m， ∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m． 答：B，C兩點(diǎn)之間的距離約為51m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題：根據(jù)題意畫出幾何圖形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)從A處測(cè)得路燈頂部P的仰角從D處測(cè)得路燈頂部P的仰角測(cè)角儀到地面的距離兩次測(cè)量時(shí)測(cè)角儀之間的水平距離三角函數(shù)銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62