北師大版數(shù)學(xué)八下同步講練第三章第04講 難點(diǎn)探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練)（2份，原卷版+解析版）

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第04講 難點(diǎn)探究專題：旋轉(zhuǎn)中的常見類型(5類熱點(diǎn)題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31320" 【類型一 線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】  PAGEREF _Toc31320 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc3898" 【類型二 直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】  PAGEREF _Toc3898 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc12902" 【類型三 等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】  PAGEREF _Toc12902 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc24156" 【類型四 等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】  PAGEREF _Toc24156 \h 37  【類型一 線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 例題：（23-24九年級上·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，D為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接． (1)求證：． (2)若，求四邊形的面積． 【答案】(1)見解析 (2)8 【分析】 本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵． （1）證明，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求解； （2）根據(jù)全等三角形的面積相等，將所求面積轉(zhuǎn)化為等腰直角的面積，進(jìn)而利用直角三角形的面積公式求解即可． 【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，又， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四邊形的面積為． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)D，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接． (1)請判斷的形狀__________，并寫出判斷的依據(jù)__________； (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)等邊三角形；有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形 (2) 【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)： （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角為60度，可證是等邊三角形； （2）先證，推出，再根據(jù)是等邊三角形，得出，即可求出的度數(shù)． 【詳解】（1）解：將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段， ，， 是等邊三角形（有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形）， 故答案為：等邊三角形；有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形； （2）解：是等邊三角形， ，， 由（1）知， ， ， 在和中， ， ， ， 是等邊三角形， ， ． 2．（23-24八年級上·四川成都·期末）（1）【問題】如下圖，中，，，D為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，則線段，之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為______；直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為______； （2）【探索】如圖2，中，，，D為外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，延長，交于點(diǎn)F．試問：（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由； （3）【應(yīng)用】在（2）的條件下，，．求四邊形的面積． 【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3） 【分析】本題考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵． （1）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可得； （2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可得； （3）先求出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得． 【詳解】解：（1）∵在中，，， ，， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為， 故答案為：，； （2）（1）中的結(jié)論成立，證明如下： 同理可得：， 在和中， ， ， ，， 又， ， 解得， 即直線，相交所夾的銳角的度數(shù)為； （3）， ∴， 如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（負(fù)值已舍）， 則 ， 所以四邊形的面積為． 3．（23-24八年級上·河南安陽·期末）實(shí)踐與探究 點(diǎn)和線是最基本的圖形，點(diǎn)、線運(yùn)動帶來的動態(tài)幾何問題是常見的熱點(diǎn)題型之一．解這類題目要“以靜制動”，把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解．一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變． 為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與探究能力，在數(shù)學(xué)實(shí)踐與探究課上，王老師讓同學(xué)們以“圖形的運(yùn)動”為主題開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動． 在中，，，點(diǎn)D是直線上的一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接． (1)操作發(fā)現(xiàn) ①當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖1．請你直接寫出與的位置關(guān)系______； ②請寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明． (2)猜想論證 當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動時(shí)，如圖2，點(diǎn)D在射線上．請寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系______； (3)拓展延伸 如圖3，點(diǎn)D在射線上．若，，請求出的面積． 【答案】(1)①；②，見解析 (2) (3)2 【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵． （1）①先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得； ②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得； （2）先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得； （3）連接，先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后證出，利用三角形的面積公式求解即可得． 【詳解】（1）解：①∵在中，，， ，， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案為：； ②，證明如下： ， ， ， ． （2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案為：． （3）解：如圖，連接， ∵，， ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 則的面積為． 4．（23-24八年級上·福建泉州·期末）在中，，，D在邊上運(yùn)動（點(diǎn)D不與B，C重合），連接，把線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，連接，交于點(diǎn)F． (1)如圖1，求證：； (2)如圖1，當(dāng)時(shí)，請用等式表示線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； (3)如圖2，若，G為中點(diǎn)，連接，四邊形的面積是否會改變？若會改變請說明理由，若不會改變，請求出它的面積． 【答案】(1)見解析 (2)，證明見解析 (3)不變，面積是16 【分析】（1）根據(jù)即可證明； （2）先證明，根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論； （3）先求出，根據(jù)證明得，可證，從而，進(jìn)而可求出四邊形的面積． 【詳解】（1）∵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到， ∴為等腰直角三角形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 由（1）得，當(dāng)時(shí)， ∴ ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）四邊形的面積不變，理由如下： 連接、， ∵在中，，，G為中點(diǎn)，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題． 5．（23-24八年級上·重慶大渡口·期末）在中，，以為斜邊作，，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接分別交，于點(diǎn)，點(diǎn)． (1)如圖1，在右側(cè)，，，求的面積； (2)如圖2，在右側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：； (3)如圖3，在左側(cè)，的延長線過的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的中垂線上時(shí)，交于點(diǎn)，直接寫出的值． 【答案】(1) (2)詳見解析 (3) 【分析】（1）本題過點(diǎn)作，由題知，為等腰直角三角形，得出，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，利用勾股定理算出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，得出，，為等腰直角三角形，設(shè)，則，由勾股定理可知，根據(jù)建立方程，求出，最后利用即可求解． （2）本題過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由題意得出為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，得到，由勾股定理推出，證明，推出，，證明，推出，再根據(jù)即可解題． （3）連接，作，，證明，為的角平分線，推出，設(shè)，利用等腰三角形直角三角形兩腰相等和勾股定理表示出，，，，在利用，即可解題． 【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，如圖所示： ， 由題知，為等腰直角三角形，， ， 在中， ， ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形， ，，， ，為等腰直角三角形， 設(shè)，則，由勾股定理可知， ， ，解得， ， ． （2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形， ， ， ，為等腰直角三角形， 由題知，為等腰直角三角形， ， ， ， 由勾股定理可知， 在與中， ， ， ， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， ， 在與中， ， ， ． （3）解：，理由如下： 連接，作，，如圖所示： 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形， ，，， ， ， 為等腰直角三角形， 點(diǎn)在的中垂線上， ， ， 由題知，為等腰直角三角形，又點(diǎn)是的中點(diǎn)， ，即，， 為等腰直角三角形， ， ， 在與中， ， ，， 為的角平分線， ， 設(shè)， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度所對的直角邊等于斜邊的一半、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)和判定、中垂線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造全等三角形，再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理即可解題． 【類型二 直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 例題：（23-24九年級上·江西上饒·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)．若，求： (1)的長； (2)的面積． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，再求出，即可得到，根據(jù)勾股定理即可求出； （2）根據(jù)， 得到，根據(jù)三角形面積公式即可求解． 【詳解】（1）解：∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形性質(zhì)，等腰三角形判定等知識，熟知相關(guān)定理，正確解直角三角形是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后，得到，點(diǎn)剛好落在邊上． (1)求的值； (2)若，求的長度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是等邊三角形，即可求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)； （2）易得是含角的直角三角形，則可求得，根據(jù)，求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，在直角三角形中求出； 【詳解】（1）解：將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度后得到， 在中，， 是等邊三角形， （2） ， ， ，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到， ， ； 【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型． 2．（22-23九年級上·四川德陽·期中）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在線段上，連接． (1)求證：平分； (2)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由； (3)若，，求的面積． 【答案】(1)證明見解析 (2)BE⊥AB，理由見解析 (3) 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，因此，得到，即可證明平分； （2）由余角的性質(zhì)推出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)，即可證明； （3）作于，由三角形內(nèi)角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【詳解】（1）證明：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， ，， ， ， 平分； （2） 解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：作于， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面積． 【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，求三角形面積等知識，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 3．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，，分別交于點(diǎn)F，G，連接． ?? (1)求證：； (2)若，，． ①求的長； ②連接，，，求四邊形的面積． 【答案】(1)見解析 (2)①；②5 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可證得結(jié)論； （2）①利用平行線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求解即可； ②過E作交延長線于M，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，，由求解即可． 【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，， ∵，，， ∴，即； （2）解：①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②如圖，過E作交延長線于M， ?? 則，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ． 【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵． 4．（23-24九年級上·安徽淮北·期末）如圖1，把兩個(gè)完全相同且有一個(gè)角為的直角三角板重合在一起，將固定，將繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．?????? (1)如圖2，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)； (2)在（1）的條件下，連接，請判斷和的面積的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【答案】(1) (2)，理由見詳解 【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角以及全等三角形的判定和性質(zhì)， （1）由題意得，由旋轉(zhuǎn)得，可得．即可求得旋轉(zhuǎn)角； （2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，由旋轉(zhuǎn)得和．進(jìn)一步求得和，可證，則有，結(jié)合面積公式即可求得相等． 【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，． ∴． ∵點(diǎn)B，D，E在同一條直線上， ∴， ∴旋轉(zhuǎn)角． （2）． 理由：過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，如圖， ???? ∵是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到， ∴，． 由（1）可得， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 5．（23-24九年級上·天津河北·期末）在平面直角坐標(biāo)系中， O為原點(diǎn)，點(diǎn)，，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，記旋轉(zhuǎn)角為． ?? (1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的長； (2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)K為線段上一點(diǎn)，且，S為的面積，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題． （1）根據(jù)勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得．繼而得出； （2）作軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中，由得的長，繼而得出答案； （3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題． 【詳解】（1）∵點(diǎn)，點(diǎn)， ∴． 在中，由勾股定理得：． 根據(jù)題意，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，， ∴； （2）如圖②，過作軸于D，則， ?? 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：， 在中，由． ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為； （3）∵的值不變， ∴當(dāng)點(diǎn)K到的距離最小時(shí)的面積最小，當(dāng)點(diǎn)K到的距離最大時(shí)的面積最大． 當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的面積最小，如圖③所示， ?? ∵， ∴， 此時(shí)，， ∴最小面積； 當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的面積最大，如圖④所示： ?? 此時(shí)，， ∴最大面積； 綜上所述，． 【類型三 等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 例題：（23-24八年級上·海南儋州·期末）如圖1，把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，如圖所示擺放，使得點(diǎn)D、A、B在同一直線上，連結(jié)，． ?? (1)求證：； (2)如圖2，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后，使得點(diǎn)B、C、E在同一直線上，與交于點(diǎn)O． ①求證：； ②求證：； ③連結(jié)，如圖3，若，求的面積． 【答案】(1)見解析 (2)①見解析；②見解析；③1 【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可； （2）①先證明，即可證明，②如圖，由可得，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；③證明，求解如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，求解，，再利用割補(bǔ)法求解面積即可． 【詳解】（1）證明：∵和是等腰直角三角形 ∴，， 在和中， ∴； （2）①∵， ∴ 即 在和中， ∴， ②如圖， ?? ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ ③∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴ 如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F， ?? 又∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，二次根式的乘法運(yùn)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24九年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）把兩個(gè)等腰直角三角形和按圖1所示的位置擺放，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為． ???? (1)如圖1，與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______； (2)如圖2，（1）中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由； (3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角______填度數(shù)時(shí)，的面積最大． 【答案】(1)，且，理由見解析 (2)成立，理由見解析 (3)或 【分析】（1）由，，則，可得答案； （2）利用證明，得，作的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由全等知，又，則，從而證明； （3）點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓，在中，當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大，從而得出答案． 【詳解】（1）解：結(jié)論：，且，理由如下： ，， ， ； ，點(diǎn)，分別在，上， ； 故答案為：；； （2）解：成立， 理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，， ， ， 作的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)， ?? ， ， ， ， ； （3）解：由題意知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的圓， 在中，當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)到的距離最大時(shí)，的面積最大， ?? 當(dāng)時(shí)，的面積最大， 旋轉(zhuǎn)角為或， 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵． 2．（23-24九年級上·山東日照·期末）如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到（如圖），使直線恰好過點(diǎn)，連接． (1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由； (2)求的長； (3)若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線過的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，請直接寫出長的其它所有值． 【答案】(1)，理由見解析； (2)的長為； (3)的長為或． 【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用． （）由，得，證明，，再利用角度和差即可求解； （）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點(diǎn)，再通過勾股定理得，，設(shè)，列出，然后求解即可； （）分當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)幾種情況討論即可． 【詳解】（1），理由， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好過點(diǎn)， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴在中，由勾股定理得， 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，的中點(diǎn)， ∴同上可得，， 由（），， ∴， 設(shè)， 在中，由勾股定理得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴； （3）當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)，如圖， 由（）得：， 當(dāng)直線恰好過點(diǎn)時(shí)，如圖， 同（）理，， 如圖， 同（）理，， ∴， 設(shè)， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得：，（舍去）， ∴， 綜上的長為或． 3．（23-24八年級上·山西呂梁·期中）綜合與實(shí)踐 將一塊含角的大直角三角板和一塊含角的小直角三角板按如圖1所示的方式擺放．如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)． ?? (1)求證：． (2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖3，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)． ①試判斷的形狀，并說明理由； ②若是的中點(diǎn)，請直接寫出和的面積關(guān)系． 【答案】(1)見解析 (2)①直角三角形，理由見解析；②相等 【分析】該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，旋轉(zhuǎn)角相等”，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的常用方法“”； （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明； （2）①等腰直角三角形可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，再根據(jù)得出，即可求解． ②根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)，可得，由即可解答； 【詳解】（1）證明：和都是等腰直角三角形， ． 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得． 在與中， ， ． （2）解：①是直角三角形． 理由：根據(jù)題意，得． 三點(diǎn)共線， ． 由（1），得． ． 是直角三角形． ②是的中點(diǎn)， 又由（1）知， ， 和的面積相等． 4．（23-24七年級上·河南駐馬店·期末）如圖1，將三角板與三角板擺放在一起；如圖2，其中，，．固定三角板，將三角板繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角（）． (1)當(dāng)為_________度時(shí)，，并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形； (2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與之間的關(guān)系； (3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為秒時(shí)．且它的一邊與平行（不共線）時(shí)，直接寫出時(shí)間t的所有值． 【答案】(1)15，圖見解析 (2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， (3)或21或30 【分析】（1）根據(jù)得出，根據(jù)即可求解； （2）設(shè)，，在旋轉(zhuǎn)過程中，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)9時(shí)，三種情況根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解； （3）分①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形即可求解． 【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，如圖： 故答案為； （2）設(shè)：，， ①如圖，當(dāng)時(shí)， ，， 故，即； ②當(dāng)時(shí)， ，即 ③當(dāng)時(shí)，，， 即 ，即； （3）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知， ∴， ∴； ②當(dāng)時(shí)， 則， ∴， ∴， ∴ ∴； ③當(dāng)時(shí)， 則， ∴， ∴； 綜上，或或或或． 【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角尺中角度的計(jì)算，解答此題的關(guān)鍵是通過畫圖，確定旋轉(zhuǎn)后△ADE的位置，還注意分類求解，避免遺漏． 5．（23-24九年級上·河南洛陽·階段練習(xí)）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)F在上，點(diǎn)A在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒． (1)當(dāng) 秒時(shí)，； (2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為P，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求t的值； (3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請直接寫出答案；若不是，請說明理由． 【答案】(1)3 (2)為6或15或24 (3)是定值，，理由見解析 【分析】（1）由平行求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間； （2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉(zhuǎn)角，再求出值； （3）找出與，，，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論． 【詳解】（1）∵，，， ∴，， 如圖，當(dāng)時(shí)，， 平分，， ， 又為的一個(gè)外角， ， ； 故答案為：3； （2）①如圖，當(dāng)時(shí)， ?? ， ， ； ②如圖，當(dāng)時(shí)， ?? ，， ， ； ③如圖，當(dāng)時(shí)， ?? ， ， 綜上所述：當(dāng)為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等； （3）是為定值105，理由如下： 是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角， ，， 又，， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是關(guān)鍵． 6．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，，，． (1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察． 如圖1，連接，，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (2)用數(shù)學(xué)的思維思考． 如圖2，連接，，若是中點(diǎn)，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)． 如圖3，延長至點(diǎn)，滿足，然后連接，，當(dāng)，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長． 【答案】(1)，理由見解析 (2)，理由見解析 (3)或 【分析】 （1）用證明，即可求解； （2）證明、，即可求解； （3）①如圖所示，過點(diǎn)作于，求出，，得到，即可求解；②如圖所示，過點(diǎn)作于，同理可解． 【詳解】（1） 解：，理由： ， ，， ， 則； （2） 解：，理由： 點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)， ，， 是中點(diǎn)，則， ， ，， ， ， ， ， ， ， 則； （3） 解：旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線， ①如圖所示，過點(diǎn)作于， 是等腰三角形，，， ，， 在中，， ， ，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，； ②如圖所示，過點(diǎn)作于， 同理，，即旋轉(zhuǎn)得到，，三點(diǎn)共線時(shí)，， 綜上所述，線段的長為：或． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵． 【類型四 等邊三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)綜合問題】 例題：（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為 ， 度； 【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，， ，，，求面積． 【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的值為 ． ?? 【答案】【問題背景】：，60； 【嘗試應(yīng)用】：； 【拓展創(chuàng)新】：或； 【分析】問題背景：是等邊三角形，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形判斷再用等邊三角形的性質(zhì)即可得出； 嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，推出，再證明C，D，T共線，可得結(jié)論； ?? 拓展創(chuàng)新：分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則.再求出，，可得結(jié)論； 當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，則，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)H.再求出，，可得結(jié)論. 【詳解】問題背景：由題意可知， 是等邊三角形， ，； 故答案為：，； 嘗試應(yīng)用：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接. ?? ， , 共線， . 拓展創(chuàng)新： ①當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，設(shè)，則. ?? ，， ， ， 過點(diǎn)B作于點(diǎn)H ， 則 ， ， ， ， ， . ②當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接，設(shè)則過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)H. ?? 同法可證， ， ， 綜上所述，的值為或 故答案為：或 【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題. 【變式訓(xùn)練】 1．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接、． (1)在圖①中證明； (2)如圖②，當(dāng)時(shí)，連接，求的面積； (3)在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積S的取值范圍． 【答案】(1)證明見詳解 (2) (3) 【分析】（1）根據(jù)和為等邊三角形得到對應(yīng)邊和角相等，再利用角度的變化即可求證全等； （2）利用得，過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G，再利用含的直角三角形解得的值，結(jié)合面積公式即可求得； （3）利用第二問結(jié)論，分析出的面積最大時(shí)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在外部，的面積最小時(shí)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在內(nèi)部，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案． 【詳解】（1）證明：∵、均為等邊三角形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． （2）連接，同理有成立，得， ∵， ∴， 過點(diǎn)A作交與點(diǎn)H，過點(diǎn)D作交與點(diǎn)G，如圖， ∵為等邊三角形， ∴，， ∴， 在中， 在中，， ∴， 則． （3）過點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)D在外部時(shí)的面積最大，如圖， ?? ∵，， ∴， 則； 當(dāng)AD與AH在同一條直線上，且點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)的面積最小，如圖， ?? 則， 那么， 的面積S的取值范圍：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的變化，利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理和含的直角三角形性質(zhì)判定三角形的全等、求三角形面積的知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵為作輔助線求面積． 2．（20-21九年級上·河南周口·期中）如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點(diǎn)F． (1)如圖1，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的度數(shù)為______，線段與的數(shù)量關(guān)系為______． (2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若不成立，請說明理由：若成立，請就圖2給予證明． (3)若，，當(dāng)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請直接寫出長的取值范圍． 【答案】(1)，； (2)成立，理由見解析 (3) 【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵． （1）利用等邊三角形的性質(zhì)證明，結(jié)合三角形的外角就可以得出結(jié)論； （2）同（1）中方法證明，得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出； （3）當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時(shí)得出的最大和最小值，即可得出結(jié)論． 【詳解】（1）解：是等邊三角形， ，， 是等邊三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中結(jié)論仍成立， 是等邊三角形， ，， 是等邊三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等邊三角形， ， 當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)， 當(dāng)旋轉(zhuǎn)=時(shí)，B、C、D三點(diǎn)共線，此時(shí)； ∴． 3．（2024八年級·全國·競賽）如圖，和都為等邊三角形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)、分別在、上時(shí)（如圖），求證：；為等邊三角形； (2)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)（如圖），（）中的結(jié)論是否還成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由； (3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)（如圖），（）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 【答案】(1)證明見解析； (2)仍然成立，理由見解析； (3)仍然成立，理由見解析． 【分析】（）由等邊和的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等邊三角形的判定即可； （）由等邊和的性質(zhì)得出，，由證明，再根據(jù)等邊三角形的判定即可； （）由等邊和的性質(zhì)得出，，由證明，再根據(jù)等邊三角形的判定即可； 此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用． 【詳解】（1）證明如下： ∵和都為等邊三角形， ∴，， ∴， 即， 由可知，，， ∵點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)， ∴， ∴， 又， ∴為等邊三角形； （2）還成立，證明如下： （）∵和都為等邊三角形， ∴，，， ∴， ∴， （）由（）可知，，，而點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴為等邊三角形； （3）仍然成立，證明如下： ∵和都為等邊三角形， ∴，，， ∴， ∴，， 又點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴為等邊三角形． 4．（23-24九年級上·山西呂梁·期末）綜合與實(shí)踐 【模型感知】 手拉手模型是初中數(shù)學(xué)里三角形全等知識點(diǎn)考察的重要模型．兩個(gè)有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型． （1）如圖，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：； 【模型應(yīng)用】 （2）如圖，已知和都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，求證：； 【類比探究】 （3）如圖，已知和都是等邊三角形．當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為_____________． 【答案】（）見解析；（）見解析；（）或． 【分析】（）由和都是等邊三角形得，，，．進(jìn)而得．最后證明，即可得證； （）由和都是等邊三角形，得，，，，從而得．進(jìn)而證明得，即可得證； （）如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，如圖，當(dāng)在線段的延長線上時(shí)，證明，可得；再證明，從而可得結(jié)論． 【詳解】證明：（）和都是等邊三角形， ，，，． ．． ． 在和中， ， ； （）和都是等邊三角形， ，，，， ，， ． 在和中， ， ． ． ， ； （）或．理由如下： 如圖，當(dāng)在線段上時(shí)， ∵和都是等邊三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如圖，當(dāng)在線段的延長線上時(shí)， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．