2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

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1.直線y=?x? 3的傾斜角為( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
2.已知圓C1：x2+y+32=1，圓C2：x2+y2=9，那么兩圓的位置關(guān)系是( )
A. 相交B. 外離C. 外切D. 內(nèi)含
3.已知點A1,2,?1,B2,t,0，O為坐標原點，且OA?OB=0，則AB=( )
A. 3B. 5C. 6D. 11
4.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點，AB=a，AD=b，AA1=c，則D1E=( )
A. a?12b+cB. a?12b?cC. a+32b+cD. 12a+12b?c
5.在同一平面直角坐標系中，直線l1：y=kx+b和直線l2：y=bx+k有可能是( )
A. B.
C. D.
6.已知直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則“m?n=0”是“l(fā)//α”的( )
A. 充要條件B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件D. 必要不充分條件
7.已知底面邊長為2的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為8 3，則直線AC與A1B所成角的余弦為( )
A. 32B. 22C. 34D. 24
8.已知直線l1：mx?y+m=0與直線l2：x+my?1=0的交點為Q，橢圓x24+y2=1的焦點為F1，F(xiàn)2，則|QF1|+|QF2|的取值范圍是( )
A. 2,+∞B. 2 3,+∞C. 2,4D. 2 3,4
9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，F(xiàn)為線段BC1的中點，E為線段A1C1上的動點，下列四個結(jié)論中，錯誤的是( )
A. 存在點E,EF//平面ABB1A1
B. 對任意點E,EF⊥DB1
C. 存在點E，使得EF與BD所成的角是60°
D. 不存在點E，使得EF與平面AA1C1C所成的角是30°
10.設(shè)集合S,T，S?N?，T?N?，S,T中至少有兩個元素，且S,T滿足：①對于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②對于任意x,y∈T，若x1)的離心率是 22．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，過F2作斜率為k的直線l，交橢圓C于A,B兩點，直線F1A，F(xiàn)1B分別交y軸于不同的兩點M,N.如果∠MF1N為銳角，求k的取值范圍．
參考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.B
6.D
7.D
8.D
9.D
10.C
11.?9
12. 6
13.18
14.0或?3
15.0
16.②④
17.(1)橢圓C:x23+y22=1知，該橢圓的焦點在x軸上，設(shè)焦距為2c，
由a2=3,b2=2，所以c2=1，所以焦點坐標為F1(?1,0),F2(1,0)
離心率為：e=ca=1 3= 33
(2)由直線y=?x+1與橢圓C相交于A,B兩點，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
則x23+y22=1y=?x+1消去y得5x2?6x?3=0，x1+x2=65,x1x2=?35，
所以|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]= 2×652?4×?35=8 35
又F1到y(tǒng)=?x+1的距離為d=?1+0?1 2= 2
所以?ABF1的面積為：S?ABF1=12×|AB|×d=12×8 35× 2=4 65

18.(1)因為fx=2sinxcsx+ 32cs2x?1=sin2x+ 3cs2x=2sin2x+π3．
由T=2π2=π，所以函數(shù)fx的最小正周期為：π．
(2)由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z得：kπ?5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z．
由由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z．
所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為kπ?5π12,kπ+π12，k∈Z；單調(diào)減區(qū)間為：kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z．
(3)因為?π6≤x≤π6?0≤2x+π3≤2π3，所以0≤sin2x+π3≤1．
所以0≤fx≤2．
所以函數(shù)fx在?π6,π6上的最小值為0，最大值為2．

19.(Ⅰ)證明：因為ABCD為正方形，所以AD//BC．
因為BC?平面PBC，AD?平面PBC，所以AD/?/平面PBC．
(Ⅱ)解：依題意，AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為PA=AB=2，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，
C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
DC=(2,0,0)，PD=(0,2,?2)，AD=(0,2,0)．
設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z)，
平面PAB與平面PCD夾角為θ，
則有n?DC=0n?PD=0，即x=0y?z=0，
令y=1，則得z=1，此時n=(0,1,1)．
又因為AD⊥平面PAB，
所以AD=(0,2,0)為平面PAB的法向量，
所以csθ=|cs|=|n?AD||n||AD|= 22，
所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為 22．
(Ⅲ)解：因為平面PDC的法向量n=(0,1,1)，PB=(2,0,?2)，
又因為|n?PBn|= 2，
所以點B到平面PDC的距離為 2．
20.(1)因所求問題包括線面角大小，需要求出AB邊長，故①必選，
選②缺垂直條件，因為BC1⊥A1C，又四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，所以AC1⊥A1C，AC1∩BC1=C1，AC1?平面ABC1,BC1?平面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1,又AB?平面ABC1,所以A1C⊥AB，選①②無法證明AB⊥平面AA1C1C；
故只能選擇①③，理由如下：
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，所以AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC，
又因為AB?平面ABC，所以AA1⊥AB，BC=BA1=2 5，所以AB=2，
又因為AB2+AA 12=BC2，所以AB⊥AC，AC?平面ABC，AA1∩AC=A，
所以AB⊥平面AA1C1C；
(2)由(1)知AB,AA1,AC兩兩垂直，故以AB方向為x軸，AA1方向為y軸，AC方向為z軸，建立空間直角坐標系，則B2,0,0,A10,4,0,C0,0,4,C10,4,4，故BC1=?2,4,4，BA1=?2,4,0,BC=?2,0,4，設(shè)平面A1BC的方向量為n=x,y,z，則n?BA1=0n?BC=0，即x?2y=0x?2z=0，令x=2，得y=z=1，故n=2,1,1，設(shè)直線BC1與平面A1BC所成角為θ，則sinθ=csBC1,n=46 6= 69，故直線BC1與平面A1BC所成角的正弦值為 69；
(3)假設(shè)存在設(shè)點G，使得MG//平面A1BC，則G2,m,0,m∈0,2，因為MG//平面A1BC，所以MG⊥n，M0,4,2，所以MG=2,m?4,?2，MG?n=4+m?4?2=0，解得m=2，故G2,2,0，BG=2，
所以存在點G，G為BB1中點，使得MG//平面A1BC，此時BG=2．

21.解：(Ⅰ)由題意，ca= 22b2=1a2=b2+c2，解得a2=2．
∴橢圓C的方程為x22+y2=1；
(Ⅱ)由已知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為y=k(x?1)，
直線l與橢圓C的交點A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立y=k(x?1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2=0．
由已知，△>0恒成立，且x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2?22k2+1，①
直線F1A的方程為y=y1x1+1(x+1)，令x=0，得M(0,y1x1+1)，
同理可得N(0,y2x2+1).
∴F1M?F1N=1+y1y2(x1+1)(x2+1)=1+k2(x1?1)(x2?1)(x1+1)(x2+1)
=(1+k2)x1x2+(1?k2)(x1+x2)+1+k2x1x2+x1+x2+1，
將①代入并化簡得：F1M?F1N=7k2?18k2?1，
依題意，∠MF1N為銳角，則F1M?F1N=7k2?18k2?1>0，
解得：k2>17或k2