中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練專題13 二次函數(shù)與幾何綜合（2份，原卷版+解析版）

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熱點(diǎn)題型歸納 \l "_Tc206" PAGEREF _Tc206 \h 1
\l "_Tc6883" 題型01 二次函數(shù)與相似三角形綜合 PAGEREF _Tc6883 \h 1
\l "_Tc1222" 題型02 特殊幾何圖形存在性問(wèn)題 PAGEREF _Tc1222 \h 5
\l "_Tc17368" 題型03 最值問(wèn)題 PAGEREF _Tc17368 \h 55
中考練場(chǎng) \l "_Tc24449" PAGEREF _Tc24449 \h 64
題型01 二次函數(shù)與相似綜合
【解題策略】
【典例分析】
例.（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：
(2)或或
(3)，或，或，
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；
（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長(zhǎng)度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入上式，得，
．
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入上式，得，解得．
直線的表達(dá)式為．
（2）解：點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，
或．
①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
則，，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
則，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去），
，
，即，解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，．
，即，解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式演練】
1．（2023·廣西梧州·一模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的解析式；
(2)如圖1，若點(diǎn)為拋物線在第三象限圖象上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)；
(3)或．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)的定義求得答案；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，構(gòu)造直角，設(shè)，則．并由題意知點(diǎn)位于第四象限．由于是公共角，所以當(dāng)與相似時(shí)，有二種情況：
①．則．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
②．則．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）
設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)，，分別代入得：
，解得，
故拋物線解析式為：；
（2）
如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
點(diǎn)，點(diǎn)，
，
設(shè)，
，解得或3（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
（3）
如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)，則．并由題意知點(diǎn)位于第四象限．
，．
是公共角，
當(dāng)與相似時(shí)，有二種情況：
①時(shí)，，
．
，解得，（舍去），
，；
②時(shí)，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
，，
，．
，．
．
在直角中，，．
．
．
，，
．
，解得，（舍去）
，．
綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東泰安·二模）拋物線過(guò)，，三點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖①，拋物線上一點(diǎn)在線段的上方，交于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②，為拋物線頂點(diǎn)，過(guò)作直線，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)、，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線于點(diǎn)，設(shè)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，用含的代數(shù)式表示出，，再利用已知條件得到關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）利用點(diǎn)的坐標(biāo)和等腰直角三角形的判定定理得到：為等腰直角三角形，則為等腰直角三角形，利用分類討論的方法分5種情形討論解答：利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)求得線段的長(zhǎng)度，則結(jié)論可求．
【詳解】（1）解： 拋物線過(guò)，，三點(diǎn)，
，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為；
（2），，
軸，
過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線于點(diǎn)，如圖，
設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，
．
，
直線的解析式為，
，
．
，，
，，
，
，
，
（不合題意，舍去）或．
．
；
（3）存在這樣的點(diǎn)、，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．理由：
，
，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，
，
為等腰直角三角形．
以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，
為等腰直角三角形．
①當(dāng)，時(shí)，如圖，
設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
②當(dāng)，時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，四邊形為矩形，四邊形為矩形，
，，．
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
；
③當(dāng)，時(shí)，如圖，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
④當(dāng)，時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，，
，；
⑤當(dāng)，時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，顯然，，，
此種情形不存在．
綜上，存在這樣的點(diǎn)、，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東汕尾·二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A的左邊），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如圖，若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，交于點(diǎn)E，連接，是否存在點(diǎn)P，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)(2)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)．
（1）設(shè)出頂點(diǎn)式，待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的解析式，設(shè)，則，易得是等腰直角三角形，根據(jù)相似，得到也是等腰直角三角形，分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．
利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)，
將點(diǎn)代入，得，
∴，
∴；
（2）存在點(diǎn)P，使得與相似，理由如下：
令，則，
∴或，
∴，
設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，
設(shè)，則，
∵，∴，∴，
∵軸，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
∵與相似，
∴也是等腰直角三角形，
①當(dāng)時(shí)，，∴，∴或，
∵，∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∴，∴或，
∵，∴此種情況不存在；
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為．
題型02 特殊幾何圖形存在性問(wèn)題
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為直線，將點(diǎn)代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．
（3）先得出直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸為直線，
∴①，
將點(diǎn)代入得，
∴②，
聯(lián)立①②得，，
∴解析式為；
（2）設(shè)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∴，，
則，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，

，
∵，
∴，
由對(duì)稱性可知，，
∴，
∴
解得：
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或
如圖3，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，，

由對(duì)稱性可知，，∴，
∴，解得：或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；
（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．
【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，
∴，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，
∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
設(shè)，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為： ，或，或，或或
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式，設(shè)，則，，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求得拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，分當(dāng)點(diǎn)在軸上和點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，證明，求得，再證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在拋物線上，列式計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，

設(shè)，
∵軸，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
答：的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：，
則拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，
情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，

∵四邊形為矩形，
∴與縱坐標(biāo)相同，
∴；
情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形為矩形，
過(guò)作軸的垂線，垂足為，過(guò)作軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
綜上所述：符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．
例4．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對(duì)稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點(diǎn)M在直線上，列式計(jì)算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵點(diǎn)和，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，且，則，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
依題意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，
同理，直線的解析式為，
∵四邊形是正方形，
∴，，分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，
∴，
∴，，
設(shè)，
∴，，
則，
∵點(diǎn)M在直線上，
∴，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形是正方形，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
點(diǎn)O向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)M，
則點(diǎn)E向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N，
∴，即；
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
當(dāng)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到時(shí)，如圖，
∵點(diǎn)E在的圖象上，
∴，∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)E在的圖象上，
∴，解得：或0，
∴，，
當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)O逆時(shí)針得到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)，，
∵點(diǎn)E在的圖象上，
∴，解得：，
∴點(diǎn)，，，，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．
【變式演練】
1．（2023·遼寧阜新·二模）如圖，拋物線（、是常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸交于、兩點(diǎn)，其中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，過(guò)作交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
(3)點(diǎn)出發(fā)的同一時(shí)刻，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使為等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)當(dāng)時(shí)，面積的最大，最大值為；
(3)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為：．
【分析】（1）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解；
（2）依題得，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線、直線、直線解析式，聯(lián)立直線與直線解析式求得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)：平行線間的距離相等得到，配方后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理的知識(shí)分別表示出、、，再分情況進(jìn)行求值，即可求出的值，最后再求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：如圖，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
，，
直線的解析式為，
同理可得直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
即直線與直線間距離相等，
,
，
當(dāng)時(shí)，面積的最大值為
（3）解：存在，使為等腰三角形，理由如下：
如圖，由可知，，，，
過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
,
，
由題意可得：，則，
①當(dāng)時(shí)，則或，不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，則，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，則，不符合題意，舍去．
綜上所述當(dāng)時(shí)為等腰三角形．
點(diǎn)坐標(biāo)為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合、平行線性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)和勾股定理表示、、．
2．（2023·遼寧阜新·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若P是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），求面積的最大值；
(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得是以為直角邊的等腰直角三角形；若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)面積的最大值是
(3)點(diǎn)N坐標(biāo)為或或或．
【分析】
（1）先求得點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法可得；
（2）過(guò)作軸交于，求出的對(duì)稱軸直線，，設(shè)，則，利用三角形面積公式可得關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)，分，和，，兩種情況列方程可解得答案．
【詳解】（1）
解：對(duì)于直線，令，則；令，則；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）
解：過(guò)作軸交于，如圖：
在中，對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)，則，
，
∴
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值為5；
∴面積的最大值為5；
（3）解：∵，對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
當(dāng)，，過(guò)點(diǎn)N作軸的平行線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸的平行線交于點(diǎn)，如圖，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為或；
當(dāng)，，過(guò)點(diǎn)N作軸的垂線交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸直線交軸于點(diǎn)，如圖，
同理，則，即，
整理得，
解得，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為或；
綜上，點(diǎn)N坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
3．（2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)S最大為12.5，
(3)存在，，
【分析】
（1）首先求出點(diǎn)，點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）先求出點(diǎn)，再作軸于E，連接，依題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，則，，，分別求出，，，然后根據(jù)列出S與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)S有最大值求出m，進(jìn)而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作軸，與交于點(diǎn)K，先由勾股定理求出，，再根據(jù)可求出t，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)K為的中點(diǎn)求出k的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)K為的中點(diǎn)可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）
解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
對(duì)稱軸是直線：，
有：，解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）
解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)，點(diǎn)，
，，
作軸于E，
點(diǎn)D在第二象限內(nèi)的拋物線上，且橫坐標(biāo)為m
點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，
，，
，
軸，則四邊形為直角梯形，
，
又，，
，
即，
又，
，
當(dāng)時(shí)，S為最大，
此時(shí)
點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（3）
解：存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，理由如下：
點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，
以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，
，與互相垂直平分，
設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作軸，與交于點(diǎn)K，
點(diǎn)，，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為，
點(diǎn)K為的中點(diǎn)，
，，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
點(diǎn)K為的中點(diǎn)，，，解得：，，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】此題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，對(duì)稱軸，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及求二次函數(shù)最值、對(duì)稱軸的方法，理解菱形的四條邊都相等，對(duì)角線互相平分．
4．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)N，過(guò)A點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，已知P點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作軸交直線l于點(diǎn)E，作軸交直線l于點(diǎn)F，求的最大值；
(3)設(shè)M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊且頂點(diǎn)為N，C，M，P的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)18
(3)，
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法，即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，可得，,從而得到，，進(jìn)而得到，即可求解；
（3）根據(jù)以為平行四邊形的一邊，可得，，設(shè)點(diǎn)，則，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵直線過(guò)點(diǎn)A，
∴，
又∵，
將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得：，
解得．
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：如圖，
設(shè)點(diǎn)，
∵軸，軸，
則，，
∵點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上，
∴，
∴，
，
∴．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為18．
（3）由（1）可求，
∵是所求平行四邊形的一邊，
∴，設(shè)點(diǎn)，則，
由題意知：，即．
化簡(jiǎn)得：或，
解得：（舍去），，，．
則符合條件的M點(diǎn)有三個(gè)：，．
5．（2023·廣西梧州·二模）如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線與y軸交于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，直線上方的拋物線上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作垂直于點(diǎn)G，作平行于x軸交直線于點(diǎn)H，求周長(zhǎng)的最大值及F點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的周長(zhǎng)最大值為 ，；
(3)或或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出拋物線對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而求出點(diǎn)D坐標(biāo)，可得直線解析式為：，則，證明，進(jìn)而得到，則是等腰直角三角形，推出；設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)，則點(diǎn)H坐標(biāo)，則，則的周長(zhǎng)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為；
（3）先求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則；設(shè)，則，，由矩形的性質(zhì)可得是直角三角形，故可分當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，三種情況利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：
解得，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵D、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)C坐標(biāo)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴
∴直線解析式為：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)，則點(diǎn)H坐標(biāo)，
∴，
∴的周長(zhǎng)
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∴；
設(shè)，
∴，，
∵以A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
∴是直角三角形，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，則，
∴，解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)矩形的性質(zhì)得到是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理建立方程求解即可．
題型03 最值問(wèn)題
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；
(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；
（3）作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，則，
故拋物線的表達(dá)式為：①；
（2）解：在中，，
，
則，
故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，
聯(lián)立①②得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
（3）解：作，

設(shè)，
，
且相似比為，
則，
故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，
在中，設(shè)邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
即點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．
【變式演練】
1．（2023·遼寧大連·一模）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連結(jié)，交線段于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，最小值為
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出解析式，再將解析式化成頂點(diǎn)式即可；
（2）分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，，可得，所以，設(shè)，則，則，，所以，，則，解得的值即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)作與軸夾角為的直線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交軸于點(diǎn)，則，此時(shí)值最小，即求，根據(jù)，得出，根據(jù)，，求出，，由，則可求，在中，，則．
【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為，
，且點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，
；
（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，，

，
，
，
，，
設(shè)直線的解析式為：
∴，解得
直線的解析式為：，
設(shè)，則，
，，
，，
：，
解得，負(fù)值舍去，
；
（3）存在，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作與軸夾角為的直線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交軸于點(diǎn)，

則，此時(shí)值最小，即求，
∵，
，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·青海西寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，
把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，
∴．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，
∴，
當(dāng)時(shí)，， ∴，
∴的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
1．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；
(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（請(qǐng)?jiān)趫D中探索）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【分析】（1）將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步求解得出結(jié)果；
（2）連接，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰求得的坐標(biāo)，從而求得，，的長(zhǎng)，再根據(jù)求得結(jié)果；
（3）設(shè)，，表示出和，根據(jù)列出方程求得的值，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：由題意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：設(shè)，，
∵，∴，
由得，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)①當(dāng)時(shí)，的面積由最大值，最大值為；
②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為，則，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)，即點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)：，即點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行分類討論．
3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)，的最小值為
(3)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴；
∴點(diǎn)，的最小值為；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；
(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；
（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為AE的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將代入上式得：，
所以拋物線的表達(dá)式為；
（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，
∵，，，
∴，
∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱，
∴四邊形為正方形，
∴，
連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，
此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，
∵的周長(zhǎng)為，
，的最小值為10，
∴的周長(zhǎng)的最小值為；
（3）由已知點(diǎn)，，，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，代入中，，解得，
∴直線的表達(dá)式為，
同理可得：直線的表達(dá)式為，
∵，
∴設(shè)直線表達(dá)式為，
由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式
得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.
．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題及面積問(wèn)題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
(3)時(shí)，有最大值，最大值為．
【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線 解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．
【詳解】（1）將，代入，得
，解得
∴拋物線解析式為：
（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
點(diǎn)Q坐標(biāo)；
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
同理得，
解得，或，
∴
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或
綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
設(shè)直線的解析式為：
則，解得
∴直線：
同理由點(diǎn)，，可求得直線 ：
設(shè)點(diǎn)，，
則，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵∴時(shí)，，有最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．
(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．
(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)為或或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)題意，分別求得，①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，②當(dāng)為邊時(shí)，分，，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
則，，
∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
∵，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，
∴，
∴面積的最大值；
（3）∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，當(dāng)時(shí)，，即，
∵，
∴,
，，
①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴，
②當(dāng)為邊時(shí)，
當(dāng)四邊形為菱形，

∴，解得：或，
∴或，
∴或，
由的中點(diǎn)重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
當(dāng)時(shí)；如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，
∴點(diǎn)為或，
綜上所述，點(diǎn)為或或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問(wèn)題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值為，
(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，設(shè)， 可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，過(guò)作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過(guò)，
直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．
【答案】(1)①；②
(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖2-1，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：①∵，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，
得，
解得．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
即．
②如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

設(shè)直線為，把代入，得，
解得，
∴直線為．
同理，直線為．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
①如圖，當(dāng)時(shí)，存在．
記，則．
∵為的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．

②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．
記．
∵為的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

③如圖2-3，當(dāng)時(shí)，存在．記．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．
∵，
∴．

∴．∴．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：，
∴；
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：
∴
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點(diǎn)
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)．
考查了三角形、四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．
考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜合幾何問(wèn)題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．