專題39 重要的幾何模型之中點模型（二）-【幾何模型】最新中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 常見幾何模型全歸納與精練（全國通用）

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1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。將專項復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題39 重要的幾何模型之中點模型（二）
中點模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。
常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型；⑥中點四邊形模型。本專題就中點模型的后三類模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜邊中線模型
定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：
（1）；（2），為等腰三角形；（3），．

圖1 圖2
拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．
模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）
例1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt中，為斜邊上的中線，若，則 ．
例2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則 ．
例3．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，點O為菱形的對角線的交點，過點C作于點E，連接，若，則菱形的面積為 ．

例4．（2023上·四川成都·九年級校考期中）如圖，四邊形中，，，連接．是的中點，連接．若，則的面積為 ．

例5．（2023·江蘇常州·中考真題）如圖，是的弦，點C是優(yōu)弧上的動點（C不與A、B重合），，垂足為H，點M是的中點．若的半徑是3，則長的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例6．（2023·遼寧鞍山·?？既＃┤鐖D，在中，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，B的對應(yīng)點分別是D，E，點F是邊的中點，連接，，，則下列說法不正確的是（ ）

A． B． C． D．四邊形是平行四邊形
模型2：中位線模型
三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC。
中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。
模型運用條件：構(gòu)造中位線（出現(xiàn)多個中點時）。
例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點分別是的中點．若，則該工件內(nèi)槽寬的長為 ．

例2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對角線，相交于點，的平分線與邊相交于點，是中點，若，，則的長為（ ）

A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形；第二次，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形的面積是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，分別為，，的中點．若的長為10，則的長為 ．
例5．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為 ．

例6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)至四邊形的位置；
（4）延長，交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．
【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．
【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．
模型3：中點四邊形模型
中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。
中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用。中點四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。
結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．
如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形。

圖1 圖2
結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）
如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形。
結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）
如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形。

圖3 圖4
結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．
如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形。
推廣與應(yīng)用
1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。
2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的。
例1．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考二模）若順次連接四邊形各邊的中點所得的四邊形是菱形，則四邊形的兩條對角線，一定是（ ）
A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等
例2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC
例3．（2023·遼寧撫順·中考模擬）如圖，，是四邊形的對角線，點，分別是，的中點，點，分別是，的中點，連接，，，，要使四邊形為正方形，則需添加的條件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在任意四邊形中，，，，分別是，，，上的點，對于四邊形的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是（ ）
A．當(dāng)，，，是各邊中點，且時，四邊形為菱形
B．當(dāng)，，，是各邊中點，且時，四邊形為矩形
C．當(dāng)，，，不是各邊中點時，四邊形可以為平行四邊形
D．當(dāng)，，，不是各邊中點時，四邊形不可能為菱形
例5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，順次連接菱形各邊中點、、、，則四邊形的周長為（ ）

A．B．C．D．
例6．（2023上·廣東佛山·九年級校考階段練習(xí)）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性質(zhì)探究】：（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形的對角線，的關(guān)系；
【問題解決】：（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；
【拓展應(yīng)用】：如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點．
（4）試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（5）若，求的最小值．

課后專項訓(xùn)練
1．（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，是邊上的中線，若，，則的值為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在中，點D、E分別是邊、的中點，點F在邊上運動（不與B、C重合），交于點G，則下列等式錯誤的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，點是的延長線上一動點，連接交于點，若，，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在邊長為 的正方形中，，連接，，， 分別是，的中點，連接，則的長為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點，且∠BFC＝90°．連接AF并延長，交CD于點G．若EF∥AB，則DG的長為（ ）

A．B．C．3D．2
6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，對角線與交于點O，若，，點E是邊的中點，則的長為（ ）
A．5B．4C．6D．8
7．（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點，，，分別是，，，邊上的中點，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．四邊形是矩形
B．四邊形的內(nèi)角和小于四邊形的內(nèi)角和
C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和
D．四邊形的面積等于四邊形面積的
8．（2023下·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，且，下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③若，則；④；其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）四邊形的對角線，交點，點，，，分別為邊， ，，的中點．有下列四個推斷，
①對于任意四邊形，四邊形可能不是平行四邊形；
②若，則四邊形一定是菱形；③若，則四邊形一定是矩形；
④若四邊形是菱形，則四邊形也是菱形．所有正確推斷的序號是 ．
10．（2023下·江蘇南京·八年級?？计谥校cA，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點．點D為平面內(nèi)一個動點（不與A，B，C重合）．線段．，，，的中點分別為M，N，P，Q．在點D的運動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個中點四邊形是平行四邊形；②存在無數(shù)個中點四邊形是菱形；③存在無數(shù)個中點四邊形是矩形；④存在一個中點四邊形是正方形．所有正確結(jié)論的序號是 ．
11．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，為邊上一動點，為中點，為上一點，，則的最小值為 ．

12．（2023·江西上饒·校聯(lián)考二模）在中，，，，是的中點，是上的動點，若點到的一邊的距離為2，則的長為 ．
13．（2023·廣東廣州·?？既＃┤鐖D，中，，，，是的中線，是邊上一動點，將沿折疊，點落在點處，交線段于點，當(dāng)是直角三角形時，則 ．

14．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在四邊形中，對角線平分，、、分別為、、中點，連接交于，交于，若，，且，則= ．

15．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形中，點E為的中點，將繞點D旋轉(zhuǎn)得到，連接，G為的中點，連接，若，， ，當(dāng)時，的長為 ．
16．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，，延長到點D，，點E是的中點，交于點F，則的面積為 ．

17．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，是四邊形的對角線，，點在邊上，連接交于，取的中點若，，，則的最小值為 ．

18．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點P、Q．當(dāng)為等腰三角形時，AP的長為 ．

19．（2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）綜合與探究：如圖1，四邊形中，、、、分別是、、、的中點，順次連接、、、．
(1)猜想四邊形的形狀是________（直接回答，不必說明理由）．
(2)如圖2，在四邊形內(nèi)一點，使，，，其他條件不變，試探究四邊形的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，，，，，求四邊形的面積．
20．（2023下·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．
（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：
①當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；
②當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．
（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．
21．（2023·廣東深圳·深圳市海灣中學(xué)?？既＃╊惐忍骄?br>【問題背景】已知D、E分別是的邊和邊上的點，且，則把繞著A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接和．

①如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形_________②若，，，則__________．
【遷移應(yīng)用】在中，，，D、E、M分別是、、中點，連接和．①如圖3，寫出和的數(shù)量關(guān)系__________；②如圖4，把繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)D落在上時，連接和，取中點N，連接，若，求的長．
【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖5：，，是直角三角形，，，將繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接，F(xiàn)是上一點，且，連接，請直接寫出的取值范圍．

22．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐：數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的樂趣．
如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°時，請解決下列問題：
(1)圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則 ；(3)當(dāng)AB=m , BC=n時． ．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿 MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為 ．
23．（2023·河南新鄉(xiāng)·聯(lián)考二模）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．
【定理證明】請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖1，寫出證明過程．
【定理應(yīng)用】如圖2，在矩形中，，點O為的中點，點M為邊上一動點，點N為的中點，連接、、．

（1）當(dāng)時，與的數(shù)量關(guān)系是__________，的值為__________；
（2）如圖3，在平行四邊形中，點E為邊上一點，連接，點P在上，，點G是的中點，連接交于點F，若點F為的中點，，連接．
①求的度數(shù)；②直接寫出的值．
如圖23.4.2，在中，點D、E分別是與的中點．根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

，且，對此，我們可以用演繹推理給出證明．