專題38 重要的幾何模型之中點(diǎn)模型-【幾何模型】最新中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 常見幾何模型全歸納與精練（全國通用）

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1、以專題復(fù)習(xí)為主。如選擇題、填空題的專項(xiàng)練習(xí)，要把握準(zhǔn)確度和時(shí)間的安排。
2、重視方法思維的訓(xùn)練。對(duì)初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法，要通過典型試題的訓(xùn)練。
3、拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問題的習(xí)慣。將專項(xiàng)復(fù)習(xí)中的共性習(xí)題串連起來，通過一題多解，積極地探求解決問題的最優(yōu)解法。
專題38 重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（一）
中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對(duì)初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。
常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑤中位線模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型。本專題就中點(diǎn)模型的后三類模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1：垂直平分線
定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
如圖，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D為BC中點(diǎn)，則BE=EC。
模型運(yùn)用條件：當(dāng)遇到三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)。
例1．（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，已知在菱形中，連接對(duì)角線，作邊的垂直平分線，分別交、、于點(diǎn)、、，若，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如圖，連接，證明，，設(shè)，證明，，，可得，再建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，由菱形的對(duì)稱性可得：，

由作圖可得：是的垂直平分線，∴，，而，
∴，，∴設(shè)，
∵菱形，∴，，，
∴，∴，解得：，∴；故選B
【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用方程思想解題是關(guān)鍵．
例2．（2023上·江西南昌·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，以A，B兩點(diǎn)為圓心的長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，則的周長為（ ）
A．8B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了作垂線，垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握作垂線，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由作圖可知，垂直平分，則，根據(jù)的周長為，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由作圖可知，垂直平分，∴，
∴的周長為．故選：A．
例3．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于、兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，若，則的面積為（ ）

A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】連接，由作法得垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，由三角形外角的性質(zhì)得到，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．
【詳解】解：連接，由作法得垂直平分線，，
，，
在中，，，，
，，
的面積．故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟悉基基本作圖和線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
例4．（2023上·遼寧營口·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)可得，則欲求的最小值即為的最小值，即的最小值，則當(dāng)時(shí)，即的值最小，最小值為的長．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，
是、的對(duì)稱軸，即是線段的垂直平分線，，
的最小值即為的最小值，即的最小值，
當(dāng)時(shí)，即的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長，
在中，，，，
，的最小值是．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、垂線段最短及含角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出點(diǎn)、的位置．
例5．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)D在邊上，連接，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，，若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，延長至點(diǎn)，使，連接，，先證明，得，設(shè)，，再在中，根據(jù)勾股定理即可．
【詳解】解：點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，
中，， 交于點(diǎn)F，
，
設(shè)，，延長至點(diǎn)，使，連接，，
點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，
，，
，，，
，，
設(shè)，，中，，
勾股定理得：，，解得：，故的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵．
例6．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，為鈍角，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．
(1)若，求的大??；(2)若的平分線和邊的垂直平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作垂直于的延長線于點(diǎn)G，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）如圖1，連接，由垂直平分線的性質(zhì)可知，由，可得，則為直角三角形，且，由三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)可求，根據(jù)，計(jì)算求解即可；
（2）如圖2，在上截取，使，連接，，作于，則，，證明，由等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，證明，則，，進(jìn)而結(jié)論得證．
【詳解】（1）解：如圖1，連接，
∵為邊的垂直平分線，
∴，∴，
∵，∴，
∴為直角三角形，且，∴，
∴，
∴，即，∴；
（2）證明：如圖2，在上截取，使，連接，，作于，
∵是的平分線，，，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
模型2：等腰三角形的“三線合一”
定理：等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”。
如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC邊上的中點(diǎn)，則∠BAD =∠CAD，AD⊥BC， BD=CD。
模型運(yùn)用條件：等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線。
例1．（2023·河南駐馬店·?？既＃┤鐖D，在中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】由作圖可知，垂直平分線段，∴，，，
∴，（等腰三角形“三線合一”）故選項(xiàng)B，C，D正確，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
例2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，中，，平分，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．若，，則的長是（ ）

A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】先由三線合一定理得到，再由勾股定理求出，最后證明是的中位線，即可得到．
【詳解】解：∵，平分，
∴，∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)，
在，由勾股定理得，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的三線合一，勾股定理，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·廣東梅州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則 ．

【答案】5
【分析】過作，交于點(diǎn)，先說明，再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得的長；由，利用等腰三角形三線合一可得為中點(diǎn)，再根據(jù)求出的長，最后根據(jù)即可解答．
【詳解】解：如圖：過作交于點(diǎn)，

在中， ∴，∵，，
，，，，
．故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
例4．（2023上·重慶渝中·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，延長至點(diǎn)，使得．，過點(diǎn)作，垂足為，延長至點(diǎn)，連接，若，則 ．
【答案】24
【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，的度數(shù)，于是求出的度數(shù)，根據(jù)即可求出的度數(shù)，根據(jù)周角的定義求出，于是可求出的度數(shù)，從而得出是等腰三角形，再證和全等得出，根據(jù)的面積求出的長，于是得出的長，再根據(jù)等腰三角形三線合一即可求出的長．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，
∵，∴，設(shè)，
∵，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴
∵，∴
∴，
在中，，
∴，∴，即是等腰三角形，
由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得
∵，，，∴，
在和中，，，，
∴，∴，
∵，，∴∴，∴，
∵是等腰三角形，，∴，故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023上·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．連接，由中，，，為中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證得，再利用勾股定理，求得的長，那么在直角中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后根據(jù)同角的余角相等得出，于是．
【詳解】解：連接，
中，，，為中點(diǎn)，
，，，．
，，，，
，．故選：C．
例6．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形中，，，作于點(diǎn)E，，連接，，則的長為（ ）

A．10B．8C．6D．4
【答案】C
【分析】過點(diǎn)F作交與點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)同角的余角相等易證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，從而得出，再將建立方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：過點(diǎn)F作交與點(diǎn)F，

，，
，
在和中 ，
設(shè)，則
，
；；
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、無理方程，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
模型3：“平行線+中點(diǎn)+對(duì)頂角”構(gòu)造全等或相似模型
我們把這種情況叫做平行線間夾中點(diǎn).處理這種情況的一般方法是：延長過中點(diǎn)的線段和平行線相交，即“延長中線交平行”
如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可延長DE交AB于點(diǎn)F。
模型運(yùn)用條件：構(gòu)造8字型全等（平行線夾中點(diǎn)）。
例1．（2023上·天津西青·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊，過邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為延長線上一點(diǎn)，取，連接，交于M，已知的長為2，則等邊三角形的邊長為 ．
【答案】4
【詳解】過P作交于F，如圖所示：
∵，是等邊三角形，∴，，
∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∵，∴，故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
例2．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，∠BAD=110°，則∠FPC的度數(shù)是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【答案】D
【分析】延長PF、EB交于點(diǎn)G；連接EF，根據(jù)菱形的性質(zhì)易證△BGF≌△CPF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PF=GF，即可得點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，又因∠GEP=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FP=FG=FE，所以∠FPC=∠FGB=∠GEF；連接AC，即可得∠GEF=∠BAC=∠BAD=55°，所以∠FPC的度數(shù)是55°．
【詳解】延長PF、EB交于點(diǎn)G；連接EF，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AG∥DC，∴∠GBF=∠PCF，
∵F是BC中點(diǎn)，∴BF=CF，在△BGF和△CPF中， ，
∴△BGF≌△CPF，∴PF=GF，∴點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，
∵∠GEP=90°，∴FP=FG=FE，∴∠FPC=∠FGB=∠GEF，
連接AC，則∠GEF=∠BAC=∠BAD=55°，∴∠FPC的度數(shù)是55°．故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用，靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
例3．（2023·天津·中考真題）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】延長DC交EF于點(diǎn)M（圖見詳解），根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM是等邊三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可得出CG=，代入數(shù)值即可得出答案．
【詳解】解：如下圖所示，延長DC交EF于點(diǎn)M，，，
平行四邊形的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，
，是等邊三角形，．
在平行四邊形中，，，
又是等邊三角形， ，．
G為的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，且是的中位線，
．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識(shí)點(diǎn)，延長DC交EF于點(diǎn)M，利用平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長，證出是的中位線是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023下·重慶黔江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形與矩形，如圖放置，點(diǎn)，，共線，點(diǎn)，，共線，連接，取的中點(diǎn)，連接．若，，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延長GH交AD于M點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，，推出DG=CG-CD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA證得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，則MD=AD-AM=2，在Rt△MDG中，根據(jù)勾股定理可得GM，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，延長GH交AD于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=2，，
∴DG=CG-CD=2-1=1，∠HAM=∠HFG，∵點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，∴AH=FH，
在△AMH和△FGH中，∵，∴△AMH≌△FGH（ASA），∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=2-1=1，在Rt△MDG中，，∴．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形D中，CD＝2AD，BE垂直AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連接EF，BF，下列結(jié)論（1）；（2）；（3）四邊形DEBC三角形EFB；（4）， 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（ ）
A．個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，CD＝2AD，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，可證明，則EF=FG，BE⊥BG，又由H是AB的中點(diǎn)，得FH=AD=CD=CF=BC，所以四邊形BCFH是菱形，通過這些條件，即可解決問題．
【詳解】如圖，延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H，連接FH，則AH=BH，
（1）∵CD＝2AD，DF=FC，∴CF=CB∴
∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴
∴∴，故（1）正確；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴
∵F為DC的中點(diǎn)，∴DF=CF在和中，
∵，∴∴ ∵∴
∵∴∴∴
∵∴，故（2）正確；
（3），∴，故（3）正確；
（4）∵，，∴ ∵∴四邊形BCFH是菱形∴
∵，，∴∴
∴，故（4）正確；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）【感知】如圖①，正方形中，點(diǎn)在邊上，平分．若我們分別延長與，交于點(diǎn)，則易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形中，點(diǎn)在邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，平分．求證：．【應(yīng)用】在【探究】的條件下，若，，直接寫出的長．
【答案】【感知】見解析；【探究】見解析；【應(yīng)用】
【分析】感知：如圖①，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出結(jié)論；
探究：如題②，作輔助線，證明△AED≌△GEC，得到AD=CG=BC，再由感知中得到AF=FG，可得出結(jié)論；
應(yīng)用：設(shè)FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得結(jié)論．
【詳解】感知：證明：如圖①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠G，
∵AE平分∠DAF，∴∠DAE=∠FAG，∴∠FAG=∠G，∴AF=FG．
探究：解：如圖，分別延長與，交于點(diǎn)．
∵點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE=EC.矩形，，，
又，(ASA)，，，
是的平分線，，．即．
應(yīng)用：解：如圖②，設(shè)FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，DE=2，∴DC=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2，
（6+x）2=42+（6-x）2解得：，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，掌握正方形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023上·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列判斷正確的是( )
結(jié)論Ⅰ：； 結(jié)論Ⅱ：．

A．Ⅰ，Ⅱ都對(duì)B．Ⅰ對(duì)，Ⅱ錯(cuò)C．Ⅰ錯(cuò)，Ⅱ?qū)．Ⅰ，Ⅱ都錯(cuò)
【答案】A
【分析】本題考查角平分線和垂線段的畫法，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知，為的角平分線，為的垂線，可得，可判斷結(jié)論Ⅱ，再由，，可得結(jié)論Ⅰ正確．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，為的角平分線，為的垂線，
∴，為直角三角形，∴，，
在和中，∴∴，
∵∴故結(jié)論Ⅱ正確；
∵，∴故結(jié)論Ⅰ正確，故選：A．
2．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，是半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，，過O作交于點(diǎn)E，則的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，由是半圓O的直徑得到，則，由題意可知垂直平分，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得到，即，求出x的值即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是半圓O的直徑，∴，∴，
∵過O作交于點(diǎn)E，是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，
設(shè)，則，在中，，即，
解得，即的長為，故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·安徽·合肥?？寄M預(yù)測）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且，分別與，交于點(diǎn)，，若，，則等于（ ）

A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】連接，由矩形的性質(zhì)可得，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
，
四邊形是矩形，，，，
，，是的垂直平分線，，
在中，，則，解得：，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·重慶九龍坡·校考三模）如圖，正方形的邊長為12，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連接，當(dāng)時(shí)，則的長為（ ）

A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】通過作輔助線，以及等腰三角形三線合一、梯形中位線定理得出，的長，再經(jīng)過勾股定理及兩個(gè)三角形相似計(jì)算出長，最終得到答案．
【詳解】解：作，

，，,,
，且，，
．根據(jù)勾股定理得：．
,，
，解得，．故答案選 D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理、相似三角形的判定及應(yīng)用等知識(shí)，其中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，在等腰中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦的定義即可求解．
【詳解】解：連接，如圖所示，
∵，，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正弦值，等腰三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，作AE⊥CD于點(diǎn)E，連接EF、AF，下列結(jié)論：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF△ECF，利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：①∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝FC，
在?ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，
∵，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠FAD，∴2∠BAF＝∠BAD，故①正確；
②延長EF，交AB延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，
∴∠MBF＝∠C，∵F為BC中點(diǎn)，∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，，∴△MBF△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正確；
③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM，∵E與C不重合，∴S△ABF＜S△AEF，故③錯(cuò)誤；
④設(shè)∠FEA＝x，則∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正確，故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得出△AEF≌△DME．
7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，已知于點(diǎn)B，于點(diǎn)A，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，若，，則的長是 ．

【答案】6.5
【分析】延長交于點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn)G，先證明，求出的長，再由“”可證，可得，，由勾股定理可求的長，即可求的長．
【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn)G，

，，，
，，，，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
且，
， ∴，
在中， 故答案為：6.5
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
8．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，的頂點(diǎn)在等邊的邊上，點(diǎn)在的延長線上，為的中點(diǎn)，連接，若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到和的長，然后可以證明和全等，然后即可得到的長．
【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，，，，
，，，，，
是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，
，，在和中，
，，，，
，，，，，，
是等邊三角形，，，故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
9．（2023上·山西大同·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，邊的垂直平分線與的平分線交于點(diǎn)．交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．則的長是 ．
【答案】7
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，由角平分線的性質(zhì)得出，證明得出，證明得出，再計(jì)算出，由此即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
，
垂直平分，，平分，，，，
在和中，，，，
在和中，，，，，
，，，，故答案為：．
10．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）在中，，，將沿翻折到，的垂直平分線與相交于點(diǎn)E．若，則的長為 ．

【答案】
【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，設(shè)，在中，利用勾股定理可求，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，利用勾股定理可得，由可構(gòu)建關(guān)于x的方程，然后解方程即可求解．
【詳解】解：連接，

∵的垂直平分線與相交于點(diǎn)E，∴，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，即，∴，
由折疊可知，，，，∴，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，即，
解得，（不符合題意，舍去），∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造合適的直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在中，，D為中點(diǎn)，，，，則

【答案】4
【分析】連接，分別證明，得到，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：在中，， ∴，連接，

∵D為中點(diǎn)，∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，同法可證：，
∴，在中，，故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．
12．（2023·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測）如圖，是等邊三角形，，是邊上的高，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長為 ．
【答案】，或
【分析】根據(jù)是等腰三角形，則可分三種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形，解直角三角形即可求解．
【詳解】是等邊三角形，，，，，．
∵是等腰三角形，則可分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)時(shí)，如圖（1），

則，，為等邊三角形，
，為的中點(diǎn)，．，．
②當(dāng)時(shí)，如圖（2），則．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，
．，，
，．
③當(dāng)時(shí)，如圖（3），則，，
．過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
則，，．
，，，．
綜上，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長為，或．
故答案為：，或．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，分類討論是解題的關(guān)鍵．
13．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊CD，AD的中點(diǎn)，CF與EA、EB分別交于點(diǎn)M，N．已知AB＝8，BC＝12，則MN的長為 ．
【答案】/
【分析】延長，交于點(diǎn)Q，已知，根據(jù)勾股定理得，然后根據(jù)AAS證明出，然后得到，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得的長；延長CF和BA，交于W，根據(jù)求出的長度，即可求出MN的長．
【詳解】解：如圖所示，延長，交于點(diǎn)Q，
∵四邊形ABCD是矩形，，，
∵F為AD的中點(diǎn)，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，∵E為CD的中點(diǎn)，，∴，
在和中，，
∴，即，∵，，，
∵，∴，如圖所示，延長CF和BA，交于W，
∵，∴，在和中，
∴，∴，，
∵，，，，解得：，
∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造8字形全等三角形及相似三角形．
14．（2023上·浙江紹興·八年級(jí)?？计谥校﹥蓚€(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長．(2)求的長．
【答案】(1)1(2)
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接，首先利用勾股定理解得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，然后證明為等腰直角三角形，即可求得的長；（2）由題意可知，然后在中，利用勾股定理解得，根據(jù)即可求得答案．
【詳解】（1）解：連接，如下圖，
根據(jù)題意，，，
∴，∴，
∵為中點(diǎn)，∴，且，
∴，∴，∴；
（2）根據(jù)題意，，又∵，，
∴在中，，∴．
15．（2023上·浙江麗水·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，以邊為直徑作半圓，分別交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析(2)40°
【分析】本題考查的是圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理可知，故，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，
是直徑，，，，；
（2）解：，，，，．
16．（2023·江蘇無錫·?？级＃┤鐖D，中，，點(diǎn)、分別在、邊上，．
(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長．

【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）先證，再根據(jù)全等三角形的證明方法證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，由三角形的面積得，最后根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：，，
，即，
在與中，，，；
（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，如下圖，

，，，，
，，即，
解得：，，由（1）得：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．
17．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┲校?，垂直平分，交線段于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：線段；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)若，，，求線段的長．
【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)或
【分析】（1）如圖1，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接，先求，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，然后證，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）過作于，由等腰三角形的在得，則，分兩種情況，①當(dāng)在上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)；證，得，分別求解即可．
【詳解】（1）（1）連接，

∵垂直平分，∴，∴， ∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴；
（2），理由如下：如圖，連接，
∴，∴，∵垂直平分，∴，
∴，∴， ，
∵，∴，
∵，∴,∴，，
在中，，，，；
（3）過作于，∵，，，
，，
①當(dāng)在上時(shí)， 如圖， 連接，
∵垂直平分，，，
，，，
，在的左側(cè)，，
∵ ,∴,∴,∵,∴，
∵，∴，∴，
，即 ，解得: ；
②當(dāng)點(diǎn)在上，如圖，連接，
同①可得，，，
，，解得：；綜上所述，的長為或．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
18．（2022上·遼寧沈陽·八年級(jí)?？计谀締栴}】：如圖1，等腰直角三角形中，，，是的角平分線，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)F，連接，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】：小明在思考這道題時(shí)，先通過測量猜想出，然后他想到了老師講過的“手拉手”模型，便嘗試著過點(diǎn)E作的垂線與相交于點(diǎn)G（如圖2），通過證明，最終探究出，，之間的數(shù)量關(guān)系．（1）請根據(jù)小明的思路，補(bǔ)全的證明過程；
（2）請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；
【應(yīng)用】（3）當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長為 ；
【拓展】（4）若的中點(diǎn)為點(diǎn)M，當(dāng)B，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出的長為 ．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）（4）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和可以證得，又由，，可證得，再證明，即可證得答案；
（2）由（1）知是等腰直角三角形，可得，同時(shí)由（1）證得的可知，即可得到答案；（3）將，代入即可求得答案；
（4）由（1）證得的可知，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，是的垂直平分線，從而得到，，最后代入（2）的結(jié)論中即可求得答案．
【詳解】（1）過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，則，
在等腰直角三角形中，，是的角平分線，
，，，
，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)H，
，，，
，，
，，，，
，，
， ；
（2）解：，
理由：由（1）知，，，根據(jù)勾股定理得，，
由（1）知，，，；
（3）解：由（2）知，，
，，，，故答案為：．
（4）解：如圖，在中，，，由（1）知，，，
是的中點(diǎn)， ，，即是的垂直平分線，
∵點(diǎn)B，E，M三點(diǎn)共線，∴是的垂直平分線， ，
，由（2）知，，
，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上定理是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）【問題初探】
（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，，垂足為B，且．求證：．

①如圖2，小鵬同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取，連接，將線段與，之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的數(shù)量關(guān)系．
②如圖3，小亮同學(xué)從這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：作的垂直平分線，分別與，交于F，E兩點(diǎn)，連接，將轉(zhuǎn)化為與之間的數(shù)量關(guān)系．
請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．
【類此分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換并提出了下面問題，請你解答．
如圖4，在中，，過點(diǎn)A作（點(diǎn)D與點(diǎn)C在同側(cè)），若．求證：．
【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，求四邊形的面積．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【分析】（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路，利用垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可證；選擇小亮同學(xué)的解題思路，先證，，推出，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”證明，進(jìn)而可證；
（2）過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E，證明四邊形是平行四邊形，推出，，，在上截取，同（1）可證；
（3）延長交的延長線于點(diǎn)E，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，先通過導(dǎo)角證明，，同（1）可得．再利用勾股定理、銳角三角函數(shù)解直角三角形，求出，的底和高，根據(jù)四邊形的面積即可求解．
【詳解】解：（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路，證明如下：如圖，

，，是線段的垂直平分線，，，
，，又，
，，，；
選擇小亮同學(xué)的解題思路，證明如下：如圖，
是線段的垂直平分線，，，，
又，，，．
，，，；
（2）證明如下：如圖，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E，在上截取，連接，

，，四邊形是平行四邊形，，，，
，，，，
又， 是線段的垂直平分線，，，
，，又，，
，，；
（3）如圖，延長交的延長線于點(diǎn)E，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，
，，，，
，，
，，，，
又，同（1）可證．，，，
，，
，，又，，，
，，設(shè)，則，
，，
，
，，，，
，解得，（舍），，
四邊形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等，第3問難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，注意應(yīng)用前兩問的結(jié)論．
20．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在菱形和正三角形中，，是的中點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，寫出與的數(shù)量關(guān)系 ．（不必證明）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，線段、有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，線段、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．
【答案】(1)(2)，證明見解析(3)
【分析】（1）延長交于點(diǎn)，利用，得出，，得到，是的中垂線，在中，，利用正切函數(shù)即可求解；
（2）延長交于點(diǎn)，連接，，先證明，再證明，利用在中，，即可求解；
（3）延長到，使，連接，，，作FE∥DC，先證，再證，利用在中，，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，延長交于點(diǎn)，
∵是的中點(diǎn)，∴PD=PF，∵是正三角形，∴，BG=FG，
∵，∴，∴，
∵四邊形是菱形，∴，CD=CB，∴，∴，
在和中，，∴，∴，，∴DE=BG，
又CD=CB，，是的中垂線，
∵AB//CD，∠ABC=60°，∴∠BCD=180°-∠ABC=120°，∴∠PCG=60°，
在中，， ．
（2）解：，理由如下：如圖2，延長交于點(diǎn)，連接，，

∵是正三角形，∴，BG=FG，
∵，∴，∠CBG=180°-∠ABC-∠GBF=60°，∴，
∵四邊形是菱形，∴，CD=CB，∠CDA=∠ABC=60°，
∴，∠DCB=180°-60°=120°，，
在和中，，，
，，在和中，
，，，
，， ．
（3）解：猜想： ．
證明：如圖3，延長到，使，連接，，，作FEDC，∴∠PFE=∠PDC，
是線段的中點(diǎn)，，，，，，
∵△FBG是等邊三角形，∴∠BGF=60°，F(xiàn)G=BG，∴HD=BG，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB//CD，∴AB//EF，∴∠EFG=180°-60°=120°，
，，，
四邊形是菱形，，，點(diǎn)、、又在一條直線上，
，∴∠GBC=∠HDC，，
，，，即
，，，， ．