專題13.4 等邊三角形的性質(zhì)與判定（6考點+過關(guān)檢測）-【學(xué)霸滿分】2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）

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目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21416" 【典型例題】 PAGEREF _Tc21416 \h 1
\l "_Tc11599" 【考點一 利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc11599 \h 1
\l "_Tc16486" 【考點二 利用等邊三角形的性質(zhì)求線段】 PAGEREF _Tc16486 \h 4
\l "_Tc2220" 【考點三 等邊三角形的判定】 PAGEREF _Tc2220 \h 8
\l "_Tc17963" 【考點四 等邊三角形的判定和性質(zhì)】 PAGEREF _Tc17963 \h 11
\l "_Tc14825" 【考點五 含30°的直角三角形】 PAGEREF _Tc14825 \h 16
\l "_Tc19570" 【考點六 斜邊的中線等于斜邊的一半】 PAGEREF _Tc19570 \h 18
\l "_Tc13376" 【過關(guān)檢測】 PAGEREF _Tc13376 \h 21
【典型例題】
【考點一 利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】
例題：（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）若為等邊三角形，且，則的度數(shù)= ．
【答案】60°/
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識．利用等邊三角形的性質(zhì)得到，又由已知即可證明，則，利用三角形外角的性質(zhì)和等量代換即可求出答案．
【詳解】解：∵為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：
【變式訓(xùn)練】
1．（24-25八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，是等邊三角形，點、、分別在、、上，若，，則 度．
【答案】
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，先由等邊三角形的性質(zhì)得到，再由三角形外角的性質(zhì)證明，據(jù)此利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：．
2．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，已知點，是上的三等分點，是等邊三角形，那么的度數(shù)為 ．
【答案】120度/
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進而利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出的度數(shù)．
【詳解】解：是的三等分點，且是等邊三角形，
，，
，，
又∵，，
，
．
故答案為：．
3．（22-23八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在等邊中，平分，，則的度數(shù)是 度．

【答案】15
【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對等角、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，先由三線合一定理得到，再由等邊對等角得到，則．
【詳解】解：∵在等邊中，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：15．
【考點二 利用等邊三角形的性質(zhì)求線段】
例題：（2024·廣西桂林·一模）如圖，在等邊中，，平分，點在的延長線上，且，則的長為 ．
【答案】3
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角的定義及性質(zhì)
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，根據(jù)題意易得，，然后可得，進而問題可求解．
【詳解】解：∵是等邊三角形，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（24-25八年級上·江西吉安·開學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，高，P為上一動點，E為的中點，則的最小值為 ．
【答案】6
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱—最短路線問題，由等邊三角形的性質(zhì)可得、兩點關(guān)于直線對稱，連接，則與的交點即為使是最小值的點，即的最小值為，求出即可得解．
【詳解】解：∵是等邊三角形，為高，
∴、兩點關(guān)于直線對稱，
連接，則與的交點即為使是最小值的點，即的最小值為，

∵E為的中點，
∴，即為的高，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
2．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，已知等邊三角形的邊長為3，過邊上一點P作于點為延長線上一點，取，連接，交于點M，則的長為 ．
【答案】32
【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作P作交于點F，證是等邊三角形，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】過P作交于點F．
∵是等邊三角形，
∴．
又∵，
∴．
∴是等邊三角形．
∴．
又∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
3．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，等邊三角形的邊長為4，D是邊的中點，E在邊上，，點F在邊的延長線上，且，則的長為 ．
【答案】1
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練運用各個定理是解題的關(guān)鍵．
解法一：過點D分別作于點M，作于點N，連接，證明及可證明，在中，利用即可求出，再求出，即可求出結(jié)果；
解法二：過點D作，交于點G，證明即可證明，再根據(jù)中位線定理，求得，即可求得結(jié)果．
【詳解】解法一：如解圖①，過點D分別作于點M，作于點N，連接，
∵D是的中點，
∴是的平分線，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，同理，，
，
，．
多解法
解法二：如解圖②，過點D作，交于點G，
則，，．
，
，
∵，
∴是等邊三角形，
又∵D是邊的中點
∴，
，
．
∵D是的中點，∴G是的中點，
，
，，
故答案為：1．
【考點三 等邊三角形的判定】
例題：如圖，在中，，點在邊上，連接．若，求證：是等邊三角形．
【答案】詳見解析
【分析】本題考查了等邊三角形的判定，根據(jù)有一角是的等腰三角形是等邊三角形即可求證．
【詳解】證明：，
為等腰三角形，
又，
，
是等邊三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．如圖，點在的外部，點在邊上，交于點，若，，．

(1)求證：；
(2)若，判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)是等邊三角形．理由見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等邊三角形的判定等知識．
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)，判定，即可得到．
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，可得，進而得出，可得是等邊三角形．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）是等邊三角形．理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
2．如圖，中，D為邊上一點，的延長線交的延長線于F，且，．

(1)求證：是等腰三角形；
(2)當?shù)扔诙嗌俣葧r，是等邊三角形？請證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析
(2)當時，是等邊三角形，證明見解析
【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證明，再由對頂角相等得到，由垂線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可證明是等腰三角形；
（2）根據(jù)（1）所求，只需要滿足即可，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)，據(jù)此可得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：當時，是等邊三角形，證明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，證明是解題的關(guān)鍵．
【考點四 等邊三角形的判定和性質(zhì)】
例題：如圖，已知和均是等邊三角形，點B，C，D在同一條直線上，與交于點．
(1)求證：；
(2)若與交于點N，與交于點，連接，求證：為等邊三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)：
（1）根據(jù)已知條件證明即可得證；
（2）證明，再證明可得，進而證明為等邊三角形；
【詳解】（1）證明：和均是等邊三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）證明：由（1）得，
，
由（1）得，
，即，
在和中，
，
，
，
又，
為等邊三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．如圖，在等邊中，點在內(nèi)，，且，．
(1)試判定的形狀，并說明理由；
(2)判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析；
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到是等邊三角形；
（2）證明，即可．
【詳解】（1）解：是等邊三角形．
理由：是等邊三角形，
．
又，，
，
，
是等邊三角形．
（2）解：．
理由：由（1）知是等邊三角形，
，
．
，
．
在和中，
，
．
2．如圖，在中，，點D在內(nèi)部，，，點E在外部，．
(1)求的度數(shù)；
(2)判斷的形狀并加以證明；
(3)連接，若，求的長．
【答案】(1)
(2)是等邊三角形，證明見解析
(3)
【分析】（1）首先證明是等邊三角形，推出，再證明，推出即可解決問題．
（2）只要證明得到即可證明是等邊三角形；
（3）首先證明是含有30度角的直角三角形，求出的長，進而利用勾股定理求出的長，則由等邊三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：，，
是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：是等邊三角形，證明如下：
，
，
在和中，
，
，
，
，
是等邊三角形．
（3）解：如圖所示，連接，
∵是等邊三角形，
∴，，
，
，
∵，即，，
，
，
∴ ，
∴．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
【考點五 含30°的直角三角形】
例題：（23-24八年級下·貴州貴陽·期末）如圖，在中，垂直平分，交于點E，，則的值為 cm．
【答案】3
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形
【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性質(zhì)求出的值
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴
∴
∵，
∴
故答案為3
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在中，，，平分，交于點D，若，則 ．
【答案】12
【知識點】根據(jù)等角對等邊求邊長、含30度角的直角三角形、角平分線的有關(guān)計算、直角三角形的兩個銳角互余
【分析】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等角對等邊，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可得，根據(jù)三角形角平分線定義可得，可得，即可求解．
【詳解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案為：12．
2．（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，，，的長是 ．
【答案】
【知識點】等邊對等角、含30度角的直角三角形
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得，再根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求得BD，進而得到線段的長度．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案為：．
3．（23-24八年級上·廣東韶關(guān)·期中）如圖，在中，，，垂足為點，，，則AB的長為 ．
【答案】4
【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、含30度角的直角三角形
【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．先由直角三角形的性質(zhì)得到，，再求出，得到，則，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴
∵，
，，
∵
，
，
，
，
．
故答案為：．
【考點六 斜邊的中線等于斜邊的一半】
例題：（24-25九年級上·山西太原·階段練習）在中，，為邊上的中線， 則的長等于 ．
【答案】4
【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．
【詳解】解：∵在中，，為邊上的中線，
∴，
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，在中，是邊的中點，若，則 ．
【答案】3
【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．在中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出的長．
【詳解】解：在中，是邊的中點，，
．
故答案為3．
2．（23-24八年級下·北京·期中）如圖，在中，，于點D，，E是斜邊的中點，連接，則的度數(shù)為 ．
【答案】45
【知識點】等邊對等角、斜邊的中線等于斜邊的一半、同(等)角的余(補)角相等的應(yīng)用
【分析】本題主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．根據(jù)同角的余角相等得到，，根據(jù)互余和求得，進而得到，再利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)來求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵E是斜邊的中點，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
3．（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，，平分，點P是的中點，若，則的長為 ．
【答案】8
【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)等角對等邊求邊長
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定．根據(jù)題意可得，從而得到，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵點P是的中點，，
∴．
故答案為：8
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（24-25八年級上·江蘇鹽城·階段練習）在等邊中，，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)三邊相等，即可求解．
【詳解】解：在等邊中，，
∴，
故選：A．
2．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，，等邊的頂點B在直線b上，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，過C作直線l，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，即可求出答案．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，
過C作直線l，
∵直線直線m，
∴直線直線，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
3．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，交于點，則的長為（ ）
A．18B．10C．11D．12
【答案】A
【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、含30度角的直角三角形、等邊對等角
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，然后利用角的和差關(guān)系求出，從而可得，再利用等角對等邊可得，最后進行計算即可解答．
【詳解】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故選：A．
4．（24-25八年級上·重慶九龍坡·階段練習）如圖，在中，，，為等邊三角形，過點作的延長線于點，若，則的長為（ ）
A．6.5B．6.8C．7D．7.2
【答案】C
【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，作于，則，證明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，作于，則，
∵，
∴，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
5．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習） 如圖，中，，，于點，，點在邊上，點在邊上，連接EF．若，，則線段的長為（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．取的中點，連接，證明是等邊三角形，推出，即可求得．
【詳解】證明：取的中點，連接，如圖，
∵中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
二、填空題
6．（24-25八年級上·湖南岳陽·階段練習）如圖，是等邊三角形的中線，且，延長至點E，使，連接，則的長是 ．
【答案】3
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．
先求出，再求出，證出，得出．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
，
∵為中線，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：3．
7．（23-24八年級下·河南鄭州·期中）如圖，已知是平分線上一點，，交于點，，垂足為，且，則等于 ．
【答案】3
【知識點】角平分線的性質(zhì)定理、含30度角的直角三角形
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，角平分線的性質(zhì)，過作于，由角平分線的定義得到，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的性質(zhì)推出．
【詳解】解：過作于，
平分，，
，
，
，
，
，
，，平分，
．
故答案為：3．
8．（24-25八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，中，，，與相交于點，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)， 全等三角形的判定和性質(zhì)． 本題中求證是解題的關(guān)鍵 ．證明，可得，根據(jù)，即可求得，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
．
故答案為：
9．（24-25八年級上·湖北恩施·階段練習）如圖，中，，點D是邊上的動點，連接，以為邊在的左下方作等邊，連接，則點D在運動過程中，線段長度的最小值是 ．
【答案】
【知識點】垂線段最短、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、含30度角的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，垂線段最短等知識．解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
如圖，取的中點Q，連接，證明，推出，推出當時，最小，此時的值最小．
【詳解】解：如圖， 取的中點Q，連接．
則．
∵，
∴，．
∴．
∵是等邊三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴當時，最小．
∵，
∴．
∴的最小值為．
故答案為：．
10．（24-25八年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點N在x軸正半軸上，點，，…在射線上，點，，…在射線上，，，，…均為等邊三角形，以此類推，若，則的橫坐標為 ．
【答案】
【知識點】坐標與圖形、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，等邊三角形的性質(zhì)等等．過點作軸于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得的長，即可得點的橫坐標，同樣的方法分別求出點的橫坐標，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，即點的橫坐標為，
同理可得：點的橫坐標為，
點的橫坐標為，
點的橫坐標為，
歸納類推得：點的橫坐標為（為正整數(shù)），
則點的橫坐標為，
故答案為：．
三、解答題
11．（24-25八年級上·全國·期中）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點E，使．
(1)求證：；
(2)若F是的中點，連接，且，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)24
【知識點】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到.進一步證明，，即可得到結(jié)論；
（2）求出，得到，則.即可得到，由是等邊三角形即可得答案．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴.
又∵是中線，
∴平分，
∴.
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中點，
∴.
∵，
∴.
又∵為直角三角形，
∴，
∴.
∵是中線，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
∴的周長為
12．（24-25八年級上·重慶秀山·階段練習）已知a，b，c是的三邊長．
(1)若a，b，c滿足，，試判斷的形狀；
(2)化簡：．
【答案】(1)為等邊三角形
(2)
【知識點】化簡絕對值、絕對值非負性、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等邊三角形的判定
【分析】此題考查三角形的三邊關(guān)系和三角形分類，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．
（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，可得出，進而得出結(jié)論；
（2）利用三角形的三邊關(guān)系得到，，，然后去絕對值符號后化簡即可．
【詳解】（1）解：，
且，
，
∴為等邊三角形；
（2）解：，，是的三邊長，
，，，
原式．
13．（24-25八年級上·重慶·階段練習）如圖，與均為等邊三角形并且B，C，D三點共線．
(1)求證：平分；
(2)試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、角平分線的判定定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定定理，全等三角形的性質(zhì)與判定：
（1）作、，由，可知，，由全等三角形性質(zhì)知，據(jù)此得出平分；
（2）在上截取，連接，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，推理得出為等邊三角形，進而得到，最后根據(jù)，得到．
【詳解】（1）證明：如圖①，作，垂足為點，作，垂足為點，
和都是等邊三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
；
，且，
，，
，
，
又，，
點在的平分線上，即平分；
（2）解：，證明如下：
如圖，在上截取，連接，
，
，
又，
，
，且，
又，
，即，
為等邊三角形，
，
又，
．
14．（23-24八年級上·北京海淀·期中）如圖，為等邊三角形，點D與點C關(guān)于直線對稱，E，F(xiàn)分別是邊和上的點，，與交于點G，交于點H．

(1)求的度數(shù)，并證明．
(2)求證．
(3)連接，判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)，證明見解析
(2)證明見解析
(3)是等邊三角形，理由見解析
【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】本題考查全等三角形和等邊三角形的判定性質(zhì)及應(yīng)用，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，
（1）根據(jù)題意可證得，延長至，使，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再由對頂角相等可得；
（2）由于，可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，進而證得，即可得到答案；
（3）連接，根據(jù)全等三角形的判定方法及性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三邊形的判定可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，
∴，，
又∵
在和中
∴，
延長至，使，連接，
∵，
∴，
∴.
∴；
（2）解：由（1）得：∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵點D與點C關(guān)于直線對稱，
∴，，
∴，
∴也是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
在和中
∴，
∴，
而，
∴
（3）解：連接，

在中，，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
15．（24-25八年級上·河南信陽·期中）如圖，點是等邊內(nèi)一點，是外的一點，，，，，連接．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；
(3)探究：當為多少度時，是等腰三角形．（直接寫出答案）
【答案】(1)見解析
(2)是直角三角形，理由見解析
(3)或或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的定義
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合，即可得證；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出，從而得解；
（3）根據(jù)題意以及全等三角形的性質(zhì)，分別計算出、、，再分三種情況討論即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵是等邊三角形，
∴，
當時，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
當時，，
解得：；
當時，，
解得：；
當時，，
解得：；
綜上所述，當或或時，是等腰三角形．
16．（24-25八年級上·山東日照·階段練習）已知是等邊三角形，點分別為邊上的動點（點與線段，的端點不重合），運動過程中始終保持，連接相交于點．
(1)如圖①，求證：；
(2)如圖①，當點分別在邊上運動時，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的大?。?br>(3)如圖②，當點D，E分別在的延長線上運動時，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的大?。?br>【答案】(1)見解析；
(2)的大小不變，
(3)的大小不變，
【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問題、等邊三角形的性質(zhì)
【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，利用定理證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案；
（3）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可．
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：的大小不變，
理由如下：∵，
∴，
∴；
（3）解：的大小不變，
理由如下：在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．
(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．
①求證：；
②求的度數(shù)．
(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．
【答案】(1)①證明見解析；②
(2)猜想，證明見解析
(3)的最大值與最小值的差為
【知識點】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)
【分析】（1）①先由等邊三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)“邊角邊”，證明三角形全等即可．②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；
（2）在上取一點，使得，證明，得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可證明；
（3）以為邊向外作等邊，連接，根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求出的取值范圍，進而得出的取值范圍，即可得出的最大值和最小值，然后相減即可得出答案．
【詳解】（1）①證明：∵是等邊三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②解：∵，
∴，
∴；
（2）解：猜想，證明如下：
如圖2中，在上取一點，使得，連接，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為，最大值為，
∵，
∴的最大值與最小值的差為．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系和三角形外角的性質(zhì)等知識，解本題的關(guān)鍵在正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．（24-25八年級上·浙江紹興·階段練習）已知在中，，，點是平面內(nèi)一點，連接、、，．
(1)如圖1，點在的內(nèi)部．
①當，求的度數(shù)；
②當平分，判斷的形狀，并說明理由；
(2)如果直線與直線相交于點，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)（直接寫出答案）．
【答案】(1)①；②為等邊三角形，見解析
(2)的度數(shù)為或．
【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定
【分析】（1）①根據(jù)，得，則，進而得，再根據(jù)，得，進而得，然后根據(jù)，得，由此可得的度數(shù)；
②根據(jù)平分，設(shè)，則，根據(jù)得，根據(jù)得，則，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，進而得，，，由此可判定的形狀；
（2）分兩種情況討論如下：①當直線與線段交于點時，設(shè)，則，，再根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，②當直線與的延長線交于點時，設(shè)，則，再求出，得，根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，綜上所述即可得出的度數(shù)．
【詳解】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設(shè)，則，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
為等邊三角形；
（2）解：的度數(shù)為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設(shè)，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設(shè)，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數(shù)為或．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點．