



山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)
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這是一份山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(解析版),共22頁(yè)。試卷主要包含了 設(shè),則對(duì)任意實(shí)數(shù),則是的, 設(shè),當(dāng)變化時(shí)的最小值為, 在四面體中,與互相垂直,,且, 設(shè)函數(shù)等內(nèi)容,歡迎下載使用。
1. 已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】由復(fù)數(shù)滿足,可得,則,
則復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.
故選:D.
2. 已知等邊的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),若,則( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中,取為基底,
則,
因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn),,
所以,
所以.
故選:B.
3. 設(shè),則對(duì)任意實(shí)數(shù),則是的( )
A. 必要而不充分條件B. 充分而不必要條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題意,函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且,
所以為奇函數(shù),
函數(shù)與均為遞增函數(shù),所以在單調(diào)遞增,
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以在也為單調(diào)遞增函數(shù),
又因?yàn)?,所以函?shù)在上單調(diào)遞增,
由,可得,所以,所以,
故對(duì)任意實(shí)數(shù),則是的充要條件.故選:C.
4. 如圖所示,已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下,從原點(diǎn)出發(fā),每次向左移動(dòng)的概率為,向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后,該質(zhì)點(diǎn)位于的位置,則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知,當(dāng)時(shí),的可能取值為,且,
所以
.
故選:C
5. 已知a,,若,,則b的可能值為( )
A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 6
【答案】B
【解析】由得,設(shè),則,
又,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
因?yàn)?,所以?br>結(jié)合選項(xiàng)可知B正確,ACD錯(cuò)誤.
故選:B.
6. 設(shè),當(dāng)變化時(shí)的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在,在上,
設(shè)到準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn),軸于.
,
又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的距離,設(shè),
因?yàn)?所以過點(diǎn)的切線的斜率,當(dāng)與切線垂直時(shí),
解得,所以,所以的最小值為.
故選:C.
7. 在四面體中,與互相垂直,,且
,則四面體體積的最大值為( )
A. 4B. 6C. 8D. 4.5
【答案】A
【解析】由題可知,點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上,點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上,
所以焦距為,即,
由橢圓定義可知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,即,
所以到中點(diǎn)距離的最大值為短半軸長(zhǎng),
所以中,,,
所以,又,
所以當(dāng)垂直平面時(shí)四面體體積最大,最大值為,
故選:A.
8. 設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立,則( )
A. B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】函數(shù)
,
依題意,對(duì)任意的恒成立,
即對(duì)恒成立,
因此對(duì)恒成立,
于是,顯然,否則且,矛盾,
則,顯然,否則且,矛盾,
從而,解得,
所以.
故選:B.
二?多項(xiàng)選擇題
9. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,前項(xiàng)和為,若,則下列說法正確的是( )
A. 當(dāng)最大
B. 使得成立的最小自然數(shù)
C.
D. 中最小項(xiàng)為
【答案】BD
【解析】根據(jù)題意:,即,
兩式相加,解得:,當(dāng)時(shí),最大,故A錯(cuò)誤
由,可得到,所以,
,
所以,故C錯(cuò)誤;
由以上可得:,
,而,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以使得成立的最小自然數(shù),故B正確.
當(dāng),或時(shí),;當(dāng)時(shí),;
由,
所以中最小項(xiàng)為,故D正確.
故選:BD.
10. 已知橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn),,以下結(jié)論正確的是( )
A
B.
C.
D. 若,則
【答案】BCD
【解析】根據(jù)題意,設(shè),
對(duì)于A中,因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),可得,所以,
即,所以A錯(cuò)誤;
對(duì)于B中,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,由橢圓和雙曲線的定義,可得,
所以,
又由余弦定理得,
可得,
所以,所以B正確;
對(duì)于C中,由,可得,所以C正確;
對(duì)于D中,因?yàn)?,所以?br>由可得,所以,所以D正確.
故選:BCD.
11. 已知正方體棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論正確的是( )
A. 若點(diǎn)在正方形內(nèi)部,異面直線與所成角為,則的范圍為
B. 平面平面
C. 若,則最小值為
D. 若,則平面截正方體所得截面面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于,如圖:
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
則
則,
因?yàn)?br>所以,
故,則的取值范圍為,故A不正確;
對(duì)于B,在正方體中,平面平面,顯然成立.故B正確;
對(duì)于C:正方體的棱長(zhǎng)為2,為空間中的一動(dòng)點(diǎn),在上取點(diǎn),使,在上取點(diǎn),使,如圖:
由得,即,故為線段上一點(diǎn).
將平面沿展開至與平面共面,如下圖:
易知:,
則
在平面圖中,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,為,故C正確;
對(duì)于D:因?yàn)椋?,又,可知是線段上一點(diǎn),如圖:
連接并與交于點(diǎn).
當(dāng)與重合時(shí),平面與平面重合,此時(shí)截面面積為4.
當(dāng)在線段(不含點(diǎn))上時(shí),平面截正方體所得截面為三角形,且當(dāng)與重合時(shí),截面為,此時(shí)截面面積最大,由三邊長(zhǎng)均為,故此時(shí)截面面積最大值為.
當(dāng)在線段(不含點(diǎn))上時(shí),如圖:
延長(zhǎng)與交于點(diǎn),作平行于并與交于點(diǎn),則截面為等腰梯形,設(shè),則,梯形的高,面積為.
由圖可知:梯形的面積一定小于矩形的面積,且矩形面積為,
所以.
當(dāng)與重合時(shí),截面為矩形,面積為.
故平面截正方體所得截面面積的最大值為,故D正確.
故選:BCD.
三?填空題
12. 在的展開式中,的系數(shù)為___________(用數(shù)字作答)
【答案】15
【解析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式,得,令,則,所以系數(shù)為,
故答案為:15.
13. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),已知,則__________.
【答案】
【解析】設(shè)到直線的距離為,因?yàn)椋傻?,所以,所以,即且?br>設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,
則,
所以,則,
聯(lián)立方程組,解得,
由拋物線的定義,可得.
故答案為:
14. 對(duì)任意閉區(qū)間I,用表示函數(shù) 在I上的最大值,若正實(shí)數(shù) a 滿足 ,則a的值為 ________ .
【答案】或
【解析】當(dāng)時(shí), ,由 可得, 此時(shí);
當(dāng)時(shí),, 或.
若,則由 可得,因,故無(wú)解;
若,則由 可得,
此時(shí),即;
當(dāng)時(shí),,因區(qū)間的長(zhǎng)度至少為,
故,
而顯然不成立,故舍去;
綜上,a的值為或.
故答案為:或.
四?解答題
15. 某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500 家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核,通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家,統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)(單位:分),并制成如下頻率分布直方圖.
(1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01);
(2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì),并從這 50 家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5 家考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)發(fā)言,記抽到的企業(yè)中考核成績(jī)?cè)赱96,100]的企業(yè)數(shù)為 Y,求 Y的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績(jī)X服從正態(tài)分布, 其中μ近似為50 家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計(jì)算得 ,利用該正態(tài)分布,估計(jì)該市500 家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).
附參考數(shù)據(jù)與公式: 則 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
解:(1)這 50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績(jī)的平均數(shù)為:
由頻率分布直方圖得內(nèi),
解得中位數(shù) (分) .
(2)這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績(jī)不低于88分的企業(yè)有
家,
其中考核成績(jī)?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家,
由題意可知,的可能取值為,
,
,
,
∴Y的分布列為:
.
(3)由題意得,
,
∴ (家) ,
∴估計(jì)該市 500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績(jī)高于 95.32分的有11家.
16. 已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意的,使恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:(1)的定義域?yàn)椋?br>令,
又,
,當(dāng),即時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞增
,當(dāng),即時(shí),
令,解得
其中,當(dāng)時(shí),
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,
故在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.
綜上:在上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞增;
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)法一:不妨設(shè),則,同除以得,所以令,
當(dāng)時(shí),恒成立,
,若恒成立,符合題意,
,當(dāng)恒成立,
令則,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以,所以,
,若,同理恒成立,由知,當(dāng)
所以不存在滿足條件的.
綜上所述:.
法二:.
令,則只需在單調(diào)遞增,
即恒成立,
,令,則恒成立;
又,
①當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增成立;
②當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,又,故不恒成立.不滿足題意;
③當(dāng)時(shí),由得在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,因?yàn)楹愠闪?,所以?br>解得,綜上,.
17. 如圖,為圓錐的頂點(diǎn),為圓錐底面的圓心,為底面直徑,為底面圓的內(nèi)接正三角形,且的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)在母線上,且,.
(1)求證:,并求三棱錐的體積;
(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
解:(1)設(shè),連接,
為底面圓的內(nèi)接正三角形,
為中點(diǎn),
又,
;
,
;
平面平面平面平面,
平面平面平面平面,
又平面,
又平面,又平面,
所以,
又平面,
平面平面平面;
為中點(diǎn),,即,
又平面,平面,
平面平面,
,
,
又平面,
.
(2)為中點(diǎn),又,
為中點(diǎn),,
,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
,
設(shè),
;
設(shè)平面的法向量,
則,令,解得:,
設(shè)直線與平面所成角為,
,
令,則,
,
當(dāng),即時(shí),,
,此時(shí),
,
點(diǎn)到平面的距離.
18. 如圖,已知分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若到左焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線,分別與直線和相交于兩點(diǎn),記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn),問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
解:(1)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),由得
則,
且,可得,
由題意可得:,解得,則,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,即,
結(jié)合在圓上一點(diǎn)處的切線方程猜測(cè)橢圓上的一點(diǎn)處的切線方程為,
下面證明這個(gè)猜想:聯(lián)立方程,消去y整理得,
即,整理得,解得,
可知直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn),
即切線的方程為,
令得,令知:得,
因?yàn)?,則直線,①
又因?yàn)?,則直線,②
由①②知:,
點(diǎn)的軌跡方程為,
即存在定點(diǎn),使得為定值6,
即的坐標(biāo)為或.
19. 對(duì)于無(wú)窮數(shù)列,若對(duì)任意,且,存在,使得成立,則稱為“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列,
①若是“數(shù)列”,,且,求所有可能的取值;
②若對(duì)任意,存在,使得成立,求證:數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)解:數(shù)列的通項(xiàng)公式為,
對(duì)任意的,都有,
取,則,所以 是“數(shù)列”.
(2)①解:數(shù)列為等差數(shù)列,若是“數(shù)列”,,且,
則,
對(duì)任意的,
,由題意存在,使得,
即,顯然,
所以,即,
.所以是8的正約數(shù),即,
時(shí),;
時(shí);
時(shí);
時(shí).
綜上,的可能值為.
②證明:若對(duì)任意,存在,使得成立,
所以存在,
設(shè)數(shù)列公差為,則,
可得,
對(duì)任意,
則,取,
可得,所以數(shù)列是“數(shù)列”.
Y
0
1
2
P
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