人教版2024-2025學年八年級數學專題11.1與三角形有關線段的綜合(壓軸題專項講練)專題特訓(學生版+解析)

這是一份人教版2024-2025學年八年級數學專題11.1與三角形有關線段的綜合(壓軸題專項講練)專題特訓(學生版+解析)，共42頁。
專題11.1 與三角形有關線段的綜合 思維方法 正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。 逆向思維：是指在剖析、破解數學難題進程中，可以靈活轉換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采用間接證明。 知識點總結 一、三角形的三邊關系 三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊. 在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形． 二、三角形的角平分線、中線和高 1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高． 2.三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5.銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點． 典例分析 【典例1】【問題情境】 如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數量關系？ 小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S△ACD，于是S△ABC=2S△ABD．據此可得結論：三角形的一條中線平分該三角形的面積． ?? 【深入探究】 （1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上． ①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB=S△APC； ②若BD=3DC，則S△APB:S△APC=______． 【拓展延伸】 （2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH． ①求證：S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD； ②若S四邊形ABCD=3，則S四邊形EFGH=______． 【思路點撥】 （1）①根據中線的性質可得S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點，推得PD是△PBC的中線，S△PDB=S△PDC，即可證明S△APB=S△APC； ②設△ABC邊BC上的高為?，根據三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?，即可推得S△ADB=3S△ADC，同理推得S△PDB=3S△PDC，即可求得S△APB=3S△APC，即可證明S△APB:S△APC=3:1； （2）①連接AG，AC，CE，根據中線的判定和性質可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG，推得S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB，即可求得S四邊形ABCD=12S△GHD+S△EFB，即可證明S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD， ②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD，根據S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD，即可推得S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD，即可求解． 【解題過程】 （1）①證明：∵AD是△ABC的中線， ∴S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點， ∴PD是△PBC的中線， ∴S△PDB=S△PDC， ∴S△ADB?S△PDB=S△ADC?S△PDC， 即S△APB=S△APC； ②S△APB:S△APC=3:1， 解：設△ABC邊BC上的高為?， 則S△ADB=12×BD×?，S△ADC=12×DC×?， ∵BD=3DC， ∴S△ADB=3S△ADC， 同理S△PDB=3S△PDC， 則S△ADB?S△PDB=3S△ADC?3S△PDC， 即S△APB=3S△APC， ∴S△APB:S△APC=3:1． （2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖： ?? ∵點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點， ∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中線， ∴S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△CAE，S△ECF=S△ECB=12S△EFB，S△ADC=S△ADG=12S△ACG， ∴S△ADC=S△ADG=12S△GHD，S△CBA=S△CBE=12S△EFB ∵S四邊形ABCD=S△ADC+S△CBA=12S△GHD+12S△EFB=12S△GHD+S△EFB， 即S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD； ②15， 解：由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形ABCD，同理可證得S△HEA+S△FGC=2S四邊形ABCD， S四邊形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四邊形ABCD， 即S四邊形EFGH=5S四邊形ABCD， ∵S四邊形ABCD=3， ∴S四邊形EFGH=5×3=15． 學霸必刷 1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（　?。? A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校校考階段練習）如圖，在△ABC中，延長CA至點F，使得AF=CA，延長AB至點D，使得BD=2AB，延長BC至點E，使得CE=3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF=36，則S△ABC為（????） ?? A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D是邊BC上的中點，AF=2FB，CE=3AE，連接CF交DE于點P，則DPEP的值為（　　） ?? A．12 B．25 C．13 D．27 4．（2023下·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2BD，BE=EC，AE和CD相交于點M，△ADM比△CEM的面積大2，則△ABC的面積為（????）． A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2023下·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（????） ?? A．60 B．56 C．70 D．48 6．（2023下·七年級課時練習）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數，那么它的長度最大值是 7．（2023下·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）若△ABC中AB＝AC，且面積為定值，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF．當PF＝3，C到AB的距離CH＝7時，P到AB的距離為 ． 8．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，BD,CE都是△ABC的高，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F，BD=6，AB:AC=6:5，若S△ACE=152，S△BCE=10，則EF= ． ?? 9．（2023上·廣東廣州·七年級?？奸_學考試）如圖，在三角形ABC中，D是BC邊上靠近C的三等分點，E是AD的中點，已知三角形ABC的面積為3，那么圖中兩個陰影三角形面積之和是 ． 10．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形BEFD的面積為5時，線段AC長度的最小值為 ． ?? 11．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風華中學校考期中）如圖，在△ABC中，已知BD為△ABC的中線，過點A作AE⊥BD分別交BD、BC于點F、E，連接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，則S△ABC= ． 12．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D是AC邊上一點，CD:AD=1:2，連接BD，點E是線段BD上一點，BE:ED=1:3，連接AE，點F是線段AE的中點，連接CF交線段BD于點G，若△ABC的面積是12，則△EFG的面積是 ． ?? 13．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點，E、F分別是邊AC上的三等分點，連接BE、BF分別交CD于G、H點，若△ABC的面積為90，則四邊形EFHG的面積為 ． ?? 14．（2023下·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習）設△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……，以此類推，若S7=4，則a的值為 ． ?? 15．（2023上·安徽六安·八年級六安市第九中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中AB>BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長． ?? 16．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？奸_學考試）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且BE=13AB，CF=13BC，DG=13DC，AH=13AD． ?? （1）連接BD，BH，若三角形ABD的面積為9平方厘米，則三角形ABH的面積是三角形______，三角形AEH的面積是______． （2）如果陰影部分面積為45平方厘米，則四邊形ABCD的面積是多少? 17．（2023上·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學?？奸_學考試）在△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D． （1）如圖①，已知AE⊥BC于E，求證：CD=2AE （2）如圖②，P是線段AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求證：2PE+PF=CD （3）在圖②中，若P是AC延長線上任意一點，其他條件不變，請畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關系． 18．（2024上·北京西城·七年級北京四中?？茧A段練習）設△ABC的面積為a． （1）如圖1，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，記△A1B1C1的面積為S1，則S1=______．（用含a的式子表示） （2）如圖2，延長△ABC的各邊得到△A1B1C1，且A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，記△A1B1C1的面積為S2，則S2=________．（用含a的式子表示） （3）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，則計算得到△ABC的面積a=________． 19．（2023下·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）【數學經驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點． （1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點　?。?②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡） 【綜合應用】 （2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E． ①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=　??； ②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數量關系　　，并說明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC的面積是m，請直接寫出四邊形CMDN的面積　?。ㄓ煤琺的代數式表示） 20．（2023下·江蘇淮安·七年級校考階段練習）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題： ?? （1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積______△ACD的面積．（填“>”“BC，AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長． ?? 【思路點撥】 先根據AC=2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CD=60，②AC+CD=40，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關系． 【解題過程】 解：設BD=CD=x，則AC=2BC=4x， ∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，AB>BC， ①當AC+CD=60，AB+BD=40時， 4x+x=60， 解得：x=12， ∴AC=4x=4×12=48， BD=CD=12， ∴AB=40?BD=40?12=28， ∴AB=28>BC=24，滿足條件； ∵BC+AB=28+24=52>AC=48，滿足三邊關系， ∴AC=48，AB=28； ②當AC+CD=40，AB+BD=60時， 4x+x=40， 解得：x=8， ∴AC=4x=4×8=32， ∴BD=CD=8， AB=60?BD=60?8=52， ∵AC+BC=32+16=4890°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡） 【綜合應用】 （2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E． ①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=　?。?②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數量關系　　，并說明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC的面積是m，請直接寫出四邊形CMDN的面積　?。ㄓ煤琺的代數式表示） 【思路點撥】 （1）①由直角三角形三條高的定義即可得出結論；②延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高； （2）①由三角形內角和定理和角平分線定義得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性質得∠ABE=55°，即可求解；②由三角形內角和定理和角平分線定義求解即可； （3）連接CD，由中線的性質得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，設S△ADN=S△CDN=a，則S△ABN=S△CBN=12m，再求出S△CDM=23S△DBC=13m?23a，S△ACM=23S△ABC=23m，然后由面積關系求出a=14m，即可解決問題． 【解題過程】 （1）解：①∵直角三角形三條高的交點為直角頂點，∠A=90°， ∴ΔABC的三條高所在直線交于點A， 故答案為：A； ②如圖2，延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高； （2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°， ∴∠BAC=70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=35°， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE=90°?35°=55°， ∴∠EBD=∠ABC?∠ABE=80°?55°=25°， 故答案為：25°； ②∠EBD與∠ABC，∠C之間的數量關系為：2∠EBD=∠ABC?∠ACB，理由如下： ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE=90°?∠BAD， ∴∠EBD=∠ABC?∠ABE=∠ABC+∠BAD?90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC， ∵∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB， ∴∠BAD=90°?12∠ABC?12∠ACB， ∴∠EBD=∠ABC+∠BAD?90°=∠ABC+90°?12∠ABC?12∠C?90°=12∠ABC?12∠ACB， ∴2∠EBD=∠ABC?∠ACB， 故答案為：2∠EBD=∠ABC?∠ACB； （3）解：連接CD，如圖5所示： ∵N是AC的中點， ∴ S△ADNS△CDN=ANCN=1， ∴S△ADN=S△CDN， 同理：S△ABN=S△CBN， 設S△ADN=S△CDN=a， ∵△ABC的面積是m， ∴S△ABN=S△CBN=12m， ∴S△BCD=S△ABD=12m?a， ∵BM=13BC， ∴ BMCM=12， ∴ S△BDMS△CDM=BMCM=12，S△ABMS△ACM=BMCM=12， ∴S△CDM=2S△BDM，S△ACM=2S△ABM， ∴S△CDM=23S△BCD=23×(12m?a)=13m?23a，S△ACM=23S△ABC=23m， ∵S△ACM=S四邊形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN， 即：23m=13m?23a+a+a， 解得：a=14m， ∴S四邊形CMDN=S△CDM+S△CDN=13m?23×14m+14m=512m， 故答案為：512m． 20．（2023下·江蘇淮安·七年級校考階段練習）已知△ABC的面積是60，請完成下列問題： ?? （1）如圖1，若AD是△ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積______△ACD的面積．（填“>”“