專題11.3 三角形三條重要線段（知識梳理與考點分類講解）-2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

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專題11.3 三角形三條重要線段（知識梳理與考點分類講解） 第一部分【知識點歸納】 【知識點一】三角形的高 （1）定義：從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線作的垂線段叫做三角形邊的高. （2）三角形高的畫法：一靠：使三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上；二移：移動三角尺使另一條直角邊通過 這條邊所對的頂點；三畫：畫垂線段。 （3）三角形三條高的位置：①三角形三條高交于一個點，這個點稱作三角形的垂心；②銳角三角形垂心在三角形內部；直角三角形垂心是直角頂點；③鈍角三角形垂心在三角形外部. 【例1】（23-24七年級下·廣東深圳·期中）下列四個圖形中，線段是的高是（??） A． B． C． D． 【知識點二】三角形的中線 定義：連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形這邊上的中線； 三角形的重心：三角形三邊上的中線交點叫做三角形的重心。 【例2】（23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習）如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差為（????） A．5 B．3 C．4 D．2 【知識點三】三角形的角平分線 （1）定義：在三角形中；一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與對邊交點之間的線段叫做三角形的角平分線。 （2）三角形的內心：三角形角平分線的交點叫做三角形的內心。 【例3】（23-24八年級上·遼寧盤錦·階段練習）如圖，，下列結論中錯誤的是（????） A．是的角平分線 B．是的角平分線 C． D．是的角平分線 第二部分【典例展示與方法歸納】 【題型1】三角形高線（等面積求高模型） 【例1】（23-24七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，是的中線，是的高，，，，． （1）求高的長； （2）求的面積． 【舉一反三】 【變式1】（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，點D是中點，點P是線段上一個動點，若 則的最小值是（????） A．1 B． C．2 D． 【變式2】 （22-23七年級下·福建福州·期末）如圖，直線經(jīng)過原點，若、、，為線段上一動點．當取最小值時， ． ?? 【題型2】三角形中線（中線等分面積模型+周長差問題） 【例2】（23-24七年級下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習）如圖，已知、分別是的中線和高，的周長比的周長大，且． （1）求的長； （2）求與的面積關系． 【舉一反三】 【變式1】（23-24八年級上·廣東江門·階段練習）如圖，已知是的中線，，則和的周長的差是 ． ?? 【變式2】（23-24七年級下·陜西·期中）如圖，在中，延長至點，使得，延長至點，使得，延長至點，使得，連接、、，若，則為 ． 【題型3】三角形角平分線（角平分線+平行線模型） 【例3】（23-24八年級下·江西撫州·階段練習）如圖，在中，平分平分，且，，，求的周長． 【舉一反三】 【變式1】（23-24九年級下·湖北襄陽·階段練習）如圖，在中，，和的平分線相交于點D，過點D作的平行線交于點E，交于點F，則的周長為（????） A．9 B．11 C．12 D．13 【變式2】（22-23八年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，，以點為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于，兩點，再分別以，為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點，作射線，交于點．若，則 ． ?? 第三部分【中考鏈接與拓展延伸】 一、直通中考 【例1】（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，是銳角的高，則．當，時， ． ?? 【例2】（2021·山東聊城·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD與CE交于點O，連接BO并延長交AC于點F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為 ． 二、拓展延伸 【例1】（23-24七年級下·廣東惠州·期中）如圖，已知平分，，且． （1）求證：； （2）若，求的度數(shù)； （3）當，，時，求點到直線的距離． 【例2】（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】 如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請說明理由， 【應用】 如圖2，點A、B、C分別是、、的中點，且，則圖2中陰影部分的面積為 ； 【拓展】 （1）如圖3，中，延長至點F，使得，延長至點D，使得，延長至點E，使得，連接、、，如果，那么為 ． （2）如圖4，中，，，點D、E是、邊上的中點，、交于點F．若的面積為S，則四邊形面積為 （用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個值為 ．