第11章 三角形（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

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第11章 三角形（單元測(cè)試·培優(yōu)卷） 一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分） 1．如圖，自行車的主要結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成三角形，其依據(jù)是（????） ?? A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．三角形的內(nèi)角和是180° C．節(jié)省材料 D．三角形的穩(wěn)定性 2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（????） A．3、3、7 B．4、5、9 C．7、12、17 D．5、8、15 3．如圖，的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為24，是邊上的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大3，則長(zhǎng)的可能值有（????）個(gè)． ?? A．7 B．5 C．6 D．4 4．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).下面說法錯(cuò)誤的是（????） ?? A．是的角平分線 B．是的邊上的高線 C．是的角平分線和高線 D．是的邊上的中線 5．如圖，在中，的三等分線、與的三等分線、分別交于點(diǎn)D、E，若，則的度數(shù)為（　　） A． B． C． D． 6．如圖，在中，，，，，連接，，則的度數(shù)是（????） ?? A． B． C． D． 7．如圖，長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，分別將，對(duì)折，使、分別落在直線上的點(diǎn)和處，折痕分別為、，若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 8．兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中，，．若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 9．如圖，在中，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 10．如圖1，2，3．，，，則的度數(shù)為（????） A． B． C． D． 二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分） 11．如果一個(gè)正n多邊形的內(nèi)角和是它外角和的兩倍，則n的值為． 12．已知，，為的三邊長(zhǎng)，，滿足，且為方程的解，則的周長(zhǎng)為． 13．如圖，，平分，平分，則°. 14．如圖，在三角形中，點(diǎn)D，H，E分別是邊，，上的點(diǎn)，連接，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，若，，．則的度數(shù)為． 15．如圖，已知，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)在上，連接、、，平分，平分，若，，則的度數(shù)為． 16．如圖，在中，為中線，E為上一點(diǎn)，，連接與交于點(diǎn)O，若的面積為18，則的面積為． 17．如圖，中，，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，將沿直線翻折得到，連接，當(dāng)時(shí)，則． 18．如圖，在中，為的外角，與的平分線交于點(diǎn)與的平分線交于點(diǎn)與的平分線相交于點(diǎn)，當(dāng)兩條角平分線無交點(diǎn)時(shí)，則的值為． 三、解答題（本大題共6小題，共58分） 19．（8分）已知如圖，，． （1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若于點(diǎn)，若平分，，求的度數(shù)． 20．（8分）如圖，在中，、分別為的中線和高，為的角平分線． （1）若的面積是24，則的長(zhǎng)是； （2）若，，求的度數(shù)． 21．（10分）在中，，D為直線上任意一點(diǎn)，連結(jié)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F． 【畫圖】（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，請(qǐng)畫出中邊上的高； 【探究】（2）如圖①，通過觀察、測(cè)量，你猜想之間的數(shù)量關(guān)系為__________；為了說明之間的數(shù)關(guān)系，小明是這樣做的： 證明：∵_(dá)_________， ∴__________． ∵，∴__________． 【運(yùn)用】（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【拓展】（4）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系． 22．（10分）如圖，在四邊形中，，． （1）如圖1，若，則________度； （2）如圖2，若的平分線交于點(diǎn)，且，試求出的度數(shù)； （3）①如圖3．若和的平分線交于點(diǎn)，試求出的度數(shù)； ②如圖4，為五邊形內(nèi)一點(diǎn)：，分別平分，，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系． 23．（10分）如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，然后以的速度沿運(yùn)動(dòng)．若設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒，那么當(dāng)取何值時(shí)，的面積等于10？ 24．（12分）綜合與探究 【問題發(fā)現(xiàn)】 在延時(shí)服務(wù)課上，數(shù)學(xué)張老師引導(dǎo)大家探究角平分線的夾角問題． （1）數(shù)學(xué)課代表發(fā)現(xiàn)在圖1中，若與的平分線交于點(diǎn)P，則與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是不完整的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整． 【問題探究】 （2）如圖2，在（1）的條件下，作的外角，的平分線交于點(diǎn)Q，試說明． 【問題拓展】 （3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)線段，交于點(diǎn)E，在中． ①請(qǐng)說明與之間的數(shù)量關(guān)系． ②當(dāng)與兩銳角存在2倍的數(shù)量關(guān)系時(shí)，直接寫出的度數(shù)． ，分別是和的平分線， ，． ， ， ……參考答案： 1．D 【分析】本題考查生活中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，熟記三角形的穩(wěn)定性是解決問題的關(guān)鍵． 【詳解】解：自行車的主要結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成三角形，其依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性， 故選：D． 2．C 【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，判斷即可． 【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊的基本關(guān)系，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、，不滿足三角形的三邊的基本關(guān)系，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、，滿足三角形的三邊的基本關(guān)系，故該選項(xiàng)正確； D、，不滿足三角形的三邊的基本關(guān)系，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 【點(diǎn)撥】本題考查對(duì)三角形的三邊的基本關(guān)系的理解和運(yùn)用，熟記知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵． 3．D 【分析】依據(jù)的周長(zhǎng)為24，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大3，可得，再根據(jù)的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，即可得到整數(shù)值． 【詳解】解：是邊上的中線， ， 的周長(zhǎng)為24，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大3， ， 解得， 又的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大3， 為整數(shù)， 邊長(zhǎng)為奇數(shù)， ，7，9，11， 即的長(zhǎng)可能值有4個(gè)， 故選：D． 【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊． 4．D 【分析】根據(jù)三角形的中線、角平分線、高的定義進(jìn)行判斷即可． 【詳解】解：A．，則是的角平分線，故選項(xiàng)正確，不符合題意； B．于點(diǎn)，則是的邊上的高線，故選項(xiàng)正確，不符合題意； C．，于點(diǎn)，則是的角平分線和高線，故選項(xiàng)正確，不符合題意； D．無法判斷是的邊上的中線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意． 故選：D． 【點(diǎn)撥】此題考查了三角形的中線、角平分線、高，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的定義是解題的關(guān)鍵． 5．B 【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義； 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三等分線求出可解答． 【詳解】解：∵， 的三等分線、與的三等分線、分別交于點(diǎn)D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故選：B． 6．A 【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)，利用三角形和為，求得，再根據(jù)，可得出，再根據(jù)求得． 【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)， ?? ，， ， ， ， ， ， 故選：A． 【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵． 7．C 【分析】此題主要考查了圖形的折疊變換及性質(zhì)，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得：，，則，，再由平角的定義得，則，由此解出即可得出的度數(shù)． 【詳解】解：設(shè)， 由折疊的性質(zhì)得：，， ，， ， ， 解得：， ． 故選：C． 8．B 【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形中兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握其內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．由，可得，根據(jù)，可得，而，由此可求出． 【詳解】解：，， ， ， ， ， ． 故選：B． 9．C 【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得出，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)果． 【詳解】解：， ， ， ， ， 平分， ， 故選：C 10．C 【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)， 圖1：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，繼而得出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；圖2：利用三角形的外角性質(zhì)并結(jié)合，，得出及，即可求出的度數(shù)；圖3：利用三角形外角的性質(zhì)并結(jié)合，，得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，即可求出結(jié)論．利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)求出，，的度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：圖1： ∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 圖2： ∵是的外角，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 圖3： ∵是的外角，是的外角，， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故選：C． 11．6 【分析】此題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為，可列方程，再解方程即可． 【詳解】解：依題意，， 解得：， 故答案為：6． 12．9 【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出、的值，再解絕對(duì)值方程可得或，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而求出的周長(zhǎng)． 【詳解】解：∵， ∴且， ∴、， ∵a為方程的解， ∴或， 又， ∴， 則的周長(zhǎng)為， 故答案為：9． 【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵． 13．90 【分析】先根據(jù)平行線性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線定義進(jìn)行求解即可. 【詳解】∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 故填：90. 【點(diǎn)撥】本題考查平行線性質(zhì)和角平分線定義，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵. 14． 【分析】由，，得到，根據(jù)平行線的判定，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，即可求解， 本題考查了，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理． 【詳解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案為：． 15．/81度 【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．先過點(diǎn)B作，根據(jù)角平分線的定義，得出，再設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，最后解方程組即可得到，，進(jìn)而得出結(jié)論． 【詳解】解：過點(diǎn)B作，如圖： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 設(shè)， 則， ∴， ∵， ∴， 中，由， 可得①， 由， 可得②， 由①②聯(lián)立方程組， 解得， ∴． 故答案為：． 16． 【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，面積與等積變換，等底等高的三角形面積相等，正確分析三角形各部分之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 首先根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和得到，，設(shè)，然后表示出，，然后根據(jù)列方程求解即可． 【詳解】連接 ∵在中，為中線，的面積為18， ∴ ∵ ∴， 設(shè)，則，， ∴， ∵為中線， ∴ ∴ 解得 ∴． 故答案為：． 17．或 【分析】本題主要考查了圖形的翻折，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是分情況討論． 如圖1，由，，得，，得，即可得；如圖2，同理得． 【詳解】解：如圖1，由，， 得，， 得， 得； 如圖2，同理，， 得， 得； 故答案為：或． 18．3 【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，三角形內(nèi)角和定理及整體思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.利用整體思想結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可依次求出的度數(shù)，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題. 【詳解】， ， ， 又 和 分別平分和, ,, ， ， 和 分別平分 和 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴無法組成三角形，即兩條角平分線無交點(diǎn)， 故的值為. 故答案為: . 19．(1)，理由見解析 (2) 【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的概念，直角三角形兩銳角互余， （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定求解即可； （2）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后由角平分線的概念得到，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可． 【詳解】（1），理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴． 20．(1)12 (2) 【分析】此題主要考查了三角形的中線、高和角平分線，三角形的內(nèi)角定理和外角定理，理解三角形的中線、高和角平分線，熟練掌握三角形的內(nèi)角定理和外角定理是解決問題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)的面積是24得，進(jìn)而得，再根據(jù)為的中線可得的長(zhǎng)； （1）先根據(jù)三角形外角定理得，進(jìn)而根據(jù)角平分線定義得，然后在中可求出，繼而可得的度數(shù)． 【詳解】（1）為的高，的面積是24，， ， 即， ， 為的中線， ， 故答案為：12． （2）是的外角， ， ，， ， 為的角平分線， ， 在中，， ， ． 21．（1）見詳解；（2），，，；（3）與的數(shù)量關(guān)系為，理由見解析；（4） 【分析】本題考查了中線平分三角形的面積，割補(bǔ)法求三角形的面積． （1）過點(diǎn)B作交于一點(diǎn)E，即可作答． （2），根據(jù)已有的過程結(jié)合面積之間的關(guān)系列式化簡(jiǎn)，即可作答． （3）同理得，因?yàn)辄c(diǎn)D為中點(diǎn)，所以，結(jié)合，化簡(jiǎn)得，即可作答． （4）同理結(jié)合面積之間的關(guān)系列式化簡(jiǎn)，，即可作答． 【詳解】解：（1）依題意，邊上的高如圖所示： （2）； 證明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）過點(diǎn)B作交于一點(diǎn)G， ∵， ∴， ∵點(diǎn)D為中點(diǎn)， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）過點(diǎn)B作交于一點(diǎn)， ∵， ∴， ∵， ∴， 則， 22．(1)65 (2) (3)①，②，理由見解析 【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵． （1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，結(jié)合已知條件求解即可； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到的度數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案； （3）①先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出，由角平分線的定義得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；②由五邊形的內(nèi)角和定理得出，由角平分線的定義得出，即可得出答案． 【詳解】（1）解：，，， ， 故答案為：； （2）解：， ， ∴， ∵的平分線交于點(diǎn)， ∴， ∴； （3）解：四邊形中， ∴， ∵和的平分線交于點(diǎn)， ∴，， ∴， ∴； ②∵五邊形的內(nèi)角和為， ∴， ∵和的平分線交于點(diǎn)， ∴，， ∴， ∴． 23．或或 【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．分為兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可． 【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上， 中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， ，． 的面積等于10， ， ， 即， ． 如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上， 是的中點(diǎn)， ． ， ， 當(dāng)點(diǎn)Ｐ在點(diǎn)Ｅ的左邊時(shí)，， 當(dāng)點(diǎn)Ｐ在點(diǎn)Ｅ的右邊時(shí)，． 綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，的面積會(huì)等于10， 故答案為或或． 24．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）①，②或 【分析】本題考查了角平分線的定義．三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵． （1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，在有三角形內(nèi)角和定理得出，利用等量代換即可得出結(jié)論； （2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （3）①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，， ，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出根據(jù)，即可得出結(jié)論；②延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的定理得出，然后分、和兩種情況討論即可得出結(jié)論； 【詳解】[問題發(fā)現(xiàn)] （1），分別是和的平分線， ，， ， ， ， ， ； [問題探究] （2），分別是，的平分線， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [問題拓展] （3）①是的平分線，是的平分線， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延長(zhǎng)至點(diǎn)F， 是的外角的平分線， 是的外角的平分線， ， 是的平分線， ， 即， ， 即，， ， 在中，與都是銳角， 當(dāng)時(shí)， ， ， ， ， 當(dāng)時(shí) ， ， ， ， 綜上所述，的度數(shù)為 或 ．