滬科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)21.5 反比例函數(shù)練習(xí)

這是一份滬科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)21.5 反比例函數(shù)練習(xí)，共66頁(yè)。
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)中k的幾何意義與面積之間關(guān)系探究六大題型的理解！
【題型1 根據(jù)k的幾何意義求三角形的面積】
1．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)y＝6x在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則△OAC與△BAD的面積之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
A．3B．6C．4D．9
2．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C為反比例函數(shù)y=kx(k>0)上不同的三點(diǎn)，連接，OA、OB、OC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B、C分別作BE，CF垂直y軸于點(diǎn)E、F，OB與CF相交于點(diǎn)G，記四邊形BEFG、△COG、△AOD的面積分別為S1、S2、S3，則( )
A．S1>S2>S3B．S30)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，AC交反比例函數(shù)y=2x的圖象于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△PAB的面積為 ．
5．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=12x(x>0)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別為A，C．反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)OB的中點(diǎn)M，與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E．連接DE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，則△BDF的面積是 ．
6．（2023春·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E,F在函數(shù)y=2x的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為83，則ΔEOF的面積是 ．
7．（2023春·江西新余·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖曲線C2是雙曲線C1：y＝8x（x＞0）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：y＝x上，且PA＝PO，則△POA的面積等于 ．
【題型2 已知三角形的面積求k】
1．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，放置含30°的直角三角板，使點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在雙曲線y=kx上，且AB⊥y軸，BC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)D，若S△ACD=3．則k=（ ）
A．3B．33C．6D．9
2．（2023春·重慶巴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kx（k0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)AE上的兩點(diǎn)A，F(xiàn)，且AF=EF,△ABE的面積為18，則k的值為 ．
【題型3 根據(jù)k的幾何意義求四邊形的面積】
1．（2023春·四川巴中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=?8xx0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線OB的中點(diǎn)P，與AB、BC交于E、F兩點(diǎn)，則四邊形OEBF的面積是 ．

5．（2023春·山西大同·九年級(jí)大同一中校考期末）如圖所示，矩形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象x經(jīng)過(guò)BC邊上的點(diǎn)D和AB邊上的點(diǎn)E，若D好是BC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為(2,3)，連接OD、OE，則四邊形ODBE的面積為 ．

6．（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為3，1，反比例函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，則菱形ABCD的面積為 ．
7．（2023春·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像與一次函數(shù)y=mx+bm0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y2=k2x（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON． 若四邊形OMBN的面積為3，則k2?k1=( )
A．3B．-3C．32D．6
5．（2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形ABOC中，對(duì)角線交于點(diǎn)E，雙曲線y＝kx(k0，x>0）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線BD∥x軸．若菱形ABCD的面積為452，則k的值為（ ）
A．54B．154C．4D．5
7．（2023春·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，其面積為8，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AD//x軸交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象關(guān)系式為y=kx，則k的值是 ．
【題型5 根據(jù)k的幾何意義求坐標(biāo)】
1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D2,1在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
2．（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形OABC的頂點(diǎn)B（-8，6）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，且橫坐標(biāo)為a（a0)的圖象分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E，EM⊥x軸交x軸于點(diǎn)M，交OD于點(diǎn)F．已知：S四邊形COME=6,OA=5,OC=2．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)求點(diǎn)D、F的坐標(biāo)；
(3)求△OED的面積．
4．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)Am，1和點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kxk>0，x>0的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸交直線AC于點(diǎn)D，CD=3AC．

(1)若AD=BD，求k的值．
(2)連結(jié)OB，若四邊形OBDC的面積為6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
5．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(2,4)是正比例函數(shù)函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象的交點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
(2)B為雙曲線上點(diǎn)A右側(cè)一點(diǎn)，連接OB,AB．若△OAB的面積為15，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
6．（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y=12x?2的圖象分別交x軸、y軸于A、B，P為AB上一點(diǎn)且PC為△AOB的中位線，PC的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象于Q，S△OQC=32，則k的值和Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ．
7．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點(diǎn)與x軸交于B，D兩點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【題型6 根據(jù)k的幾何意義判斷面積的變化情況】
1．（2023春·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰三角形△ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)固定，且始終有AC=BC，當(dāng)頂點(diǎn)C在函數(shù)y=kxx>0的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，則△ABC的面積大小變化情況是（ ）
A．先減小后增大B．先增大后減小C．一直不變D．先增大后不變
2．（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ba,b是反比例函數(shù)y≤4x在第三象限圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)，原點(diǎn)對(duì)稱中心作矩形ABCD，AB⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O的直線MQ分別交AD、BC邊于點(diǎn)M、Q，以MQ為一邊作矩形MNPQ，且直線PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，如果點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)中橫坐標(biāo)逐漸變小，那么矩形MNPQ的面積的大小變化情況是（ ）

A．先減小后增大B．先增大后減小C．一直不變D．一直減小
3．（2023春·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=5x(x>0)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交反比例函數(shù)y=?5xx0)在第一象限圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1, 0)．
(1)當(dāng)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P1OA1的面積將如何變化？
(2)若△P1OA1與△P2A1A2均為直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60°，求此反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)A2的坐標(biāo)．
專題21.13 反比例函數(shù)中k的幾何意義與面積之間關(guān)系探究六大題型
【滬科版】
考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)中k的幾何意義與面積之間關(guān)系探究六大題型的理解！
【題型1 根據(jù)k的幾何意義求三角形的面積】
1．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函數(shù)y＝6x在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則△OAC與△BAD的面積之差即S△OAC－ S△BAD等于( )
A．3B．6C．4D．9
【答案】A
【分析】設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，則S△OAC－ S△BAD＝12(a2﹣b2)，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)及圖象可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a+b，a﹣b)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及點(diǎn)B的坐標(biāo)可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長(zhǎng)分別為a、b，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a+b，a﹣b)．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝6x的第一象限圖象上，
∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC﹣S△BAD＝12a2﹣12b2＝12(a2﹣b2)＝12×6＝3．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式，解題的關(guān)鍵是得出a2?b2的值．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出等腰直角三角形的直角邊，用其表示出反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．
2．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C為反比例函數(shù)y=kx(k>0)上不同的三點(diǎn)，連接，OA、OB、OC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B、C分別作BE，CF垂直y軸于點(diǎn)E、F，OB與CF相交于點(diǎn)G，記四邊形BEFG、△COG、△AOD的面積分別為S1、S2、S3，則( )
A．S1>S2>S3B．S30)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別為A，C．反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)OB的中點(diǎn)M，與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E．連接DE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，則△BDF的面積是 ．
【答案】92
【分析】先求出k=3，再由S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD，即可求解．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B(s,t)，則st=12，
∵M(jìn)是OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M(12s,12t)，
則k=12s· 12t=14st=3，
連結(jié)OD，如圖所示：
∵BA⊥y軸，
∴BA∥OF，
∴S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD=12×12-12×3=92．
故答案為92．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E,F在函數(shù)y=2x的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為83，則ΔEOF的面積是 ．
【答案】83
【分析】作EC⊥x軸于C，EP⊥y軸于P，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，由題意可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(4，0)，B(0，83)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再聯(lián)立反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)，F(xiàn)的坐標(biāo)．由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根據(jù)梯形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，作EP⊥y軸于P，EC⊥x軸于C，F(xiàn)D⊥x軸于D，F(xiàn)H⊥y軸于H，
由題意可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(4，0)，B(0，83)，
由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，83)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+83，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得，0=4k+83，解得k=-23．
∴直線AB的解析式為y=-23x+83．
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式得，
y=?23x+83y=2x，解得x=1y=2或x=3y=23，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，23）．
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=12×2=1，
∴S△OEF=S梯形ECDF=12×（AF+CE）×CD=12×（23+2）×(3-1)=83．
故答案為：83．
【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、一次函數(shù)解析式的求法，兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化法求面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2023春·江西新余·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖曲線C2是雙曲線C1：y＝8x（x＞0）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：y＝x上，且PA＝PO，則△POA的面積等于 ．
【答案】8
【分析】將雙曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得l與y軸重合，等腰三角形△PAO的底邊在y軸上，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的性質(zhì)解答問(wèn)題.
【詳解】解：如圖，將C2及直線y＝x繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則得到雙曲線C3，直線l與y軸重合．
雙曲線C3，的解析式為y＝?8x過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B
∵PA＝PO
∴B為OA中點(diǎn)．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的性質(zhì)，S△POB＝4
∴△POA的面積是8
故答案為8．
【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：
①在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值k．
②在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是12k,且保持不變．
【題型2 已知三角形的面積求k】
1．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，放置含30°的直角三角板，使點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在雙曲線y=kx上，且AB⊥y軸，BC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)D，若S△ACD=3．則k=（ ）
A．3B．33C．6D．9
【答案】C
【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,ka)．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BC=2AB=2a，AC=BC2?AB2=3a，那么A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．根據(jù)SΔACD=SΔABD?SΔABC，列出方程12a(ka+3a)?12a?3a=3，即可求出k．
【詳解】解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,ka)．
∵AB⊥y軸，∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=a，BC=2AB=2a，
∴AC=BC2?AB2=3a，
∴A(a,ka+3a)，B(0,ka+3a)．
∵SΔABD=12AB?OB=12a(ka+3a)，
SΔABC=12AB?AC=12a?3a，
SΔACD=SΔABD?SΔABC，
∴ 12a(ka+3a)?12a?3a=3，
∴ 12k=3，
∴k=6．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,ka)，用含a的代數(shù)式表示出A點(diǎn)坐標(biāo)．
2．（2023春·重慶巴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kx（k0)的圖象經(jīng)過(guò)AE上的兩點(diǎn)A，F(xiàn)，且AF=EF,△ABE的面積為18，則k的值為 ．
【答案】12
【分析】如圖，連接BD，OF，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OE于N，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OE于M．證明BD∥AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，連接BD，OF，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OE于N，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵A，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴S△AON=S△FOM=k2，
∴12?ON?AN=12?OM?FM，
∴ON=12OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
∴S△EOF=12S△AOE=9，
∴S△FME=13S△EOF=3，
∴S△FOM=S△FOE-S△FME=9-3=6=k2，
∴k=12．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的判斷和性質(zhì)，等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明BD∥AE，利用等高模型解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
【題型3 根據(jù)k的幾何意義求四邊形的面積】
1．（2023春·四川巴中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=?8xx0的圖像與一次函數(shù)y=mx+bm0時(shí)，PQ?DQ的值先增大后減小，
∴SP＜SA．
故答案為：8，＜，先增大后減?。?br>（2）∵m=?1，b=4．
∴直線的解析式為y=?x+4，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為s,t，
∴s+t=4，
∴CA=CB=8，
過(guò)P點(diǎn)作PE∥x軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥x軸交于點(diǎn)F，
∴CP=8?2PE，
設(shè)Ex,y，則Pky,y，
∴PE=x?ky，
∴2PE=2x?2ky=24?y?2ky=8?2y+ky，
∴CP=2y+ky
∵y＞0，k＞0，
∴y＞0時(shí)，y+ky先減小后增大，
∴CP先減小后增大，
∴CA＞CP．
故答案為：8，＞，先減小后增大．
探究二：
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為x,y，則xy=k．
由題意得點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為2x,2y、2x,k2x、k2y,2y．
∵△QAB的面積=12×2y?k2x×2x?k2y
=12×4k?k?k+k24k
=98k=9，
∴k=8．

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)、反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
【題型4 已知四邊形的面積求k】
1．（2023春·廣東茂名·九年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A，D在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B，E在反比例函數(shù)y＝kx（x＞0，k＞0）的圖象上，若正方形ADEF的面積為4，且BF＝AF，則k的值（ ）
A．3B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】先由正方形ADEF的面積為4，得出邊長(zhǎng)為2，求得AB．再設(shè)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，則E點(diǎn)坐標(biāo)(t+2，2)，根據(jù)點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，列出t的方程，即可求出k．
【詳解】∵正方形ADEF的面積為4，
∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，
∴BF=AF=2，AB=AF+BF=2+2=4．
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(t，4)，則E點(diǎn)坐標(biāo)(t+2，2)，
∵點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴k=4t=2t+2，
解得：t=2，k=8．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．
2．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上，且滿足BD∥x軸，反比例函數(shù)y＝kx（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)正方形的中心E，若正方形的面積為8，則該反比例函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝8xD．y＝－8x
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得S△CDE=12|k|=2，解得即可．
【詳解】解：∵正方形的面積為8，
∴S△CDE=2，
∵正方形ABCD的相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上，BD∥x軸，
∴S△CDE=12|k|，
∴|k|=4，
∵k＜0，
∴k=-4，
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-4x，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，得到關(guān)于k的方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)C在y軸正半軸，對(duì)角線OB，CA交于點(diǎn)D．雙曲線y=kx(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D與邊BC，AB分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接DE，DF，若四邊形BEDF的面積為5，則k的值為（ ）
A．5B．52C．53D．103
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為a,ka，則B2a,2ka，Ea2,2ka，F(xiàn)2a,k2a，根據(jù)四邊形BEDF的面積為：S△DBF+S△BED，列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為a,ka，
∵點(diǎn)D為矩形對(duì)角線OB，CA的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，
∴B2a,2ka，
∵四邊形OABC為矩形，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2a，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2ka，
∴Ea2,2ka，F(xiàn)2a,k2a，
∵四邊形BEDF的面積為：S△DBF+S△BED，
∴122a?a22ka?ka+122a?a2ka?k2a=5，
解得：k=103，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)表示出點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，利用四邊形BEDF的面積列方程．
4．（2023春·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y2=k2x（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON． 若四邊形OMBN的面積為3，則k2?k1=( )
A．3B．-3C．32D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵y1、y2的圖象均在第一象限，
∴k1>0，k2>0，
∵點(diǎn)M、N均在反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y2=k2x（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四邊形OMBN=S矩形OABC?S△OAM?S△OCN=3，
∴k2?k1=3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=kx圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值k．
5．（2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形ABOC中，對(duì)角線交于點(diǎn)E，雙曲線y＝kx(k0）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線BD∥x軸．若菱形ABCD的面積為452，則k的值為（ ）
A．54B．154C．4D．5
【答案】D
【分析】設(shè)A(1，m)，B(4，n)，連接AC交BD于點(diǎn)M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面積可推得m-n=154，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的特性可知m=4n，從而可求出n的值，即可得到k的值.
【詳解】設(shè)A(1，m)，B(4，n)，連接AC交BD于點(diǎn)M，
則有BM=4-1=3，AM=m-n，
∴S菱形ABCD=4×12BM?AM，
∵S菱形ABCD=452，
∴4×12×3（m-n）=452，
∴m-n=154，
又∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx，
∴k=m=4n，
∴n=54，
∴k=4n=5，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、菱形的性質(zhì)、菱形的面積等，熟記菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵.
7．（2023春·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，其面積為8，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AD//x軸交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)圖象關(guān)系式為y=kx，則k的值是 ．
【答案】-5.
【分析】連接OD，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，從而得到SΔAOD=12S平行四邊形ABCO=12×8=4，即可得到3+|k|2=4，解得k=?5．
【詳解】解：連接OD，
由題意可知，SΔAOE=12×3=32，SΔDOE=12|k|，
∴SΔAOD=3+|k|2，
∵SΔAOD=12S平行四邊形ABCO=12×8=4，
∴ 3+|k|2=4，
解得|k|=5，
∵在第二象限，
∴k=?5．
故答案為：?5．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，明確ΔAOD的面積是平行四邊形ABCO面積的一半是解題的關(guān)鍵．
【題型5 根據(jù)k的幾何意義求坐標(biāo)】
1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)D2,1在對(duì)角線OB上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．已知平行四邊形OABC的面積是6，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【答案】B
【分析】利用點(diǎn)D坐標(biāo)求出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，再設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)和正比例函數(shù)解析式表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可得BC，再用BC與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)表示出平行四邊形的面積，求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)D（2，1）在反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=2x，
設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為y=mx，
∵點(diǎn)D（2，1）在對(duì)角線OB上，
∴2m=1，即m=12，
∴OB的解析式為：y=12x,
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，2a），
∵四邊形OABC為平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2a，
將y=2a代入y=12x，
解得：x=4a，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4a，2a），
∴BC=4a?a，
∵平行四邊形OABC的面積是6，
∴（4a?a）×2a=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴4a=4，2a=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為：4,2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)將點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)統(tǒng)一表示出來(lái)．
2．（2023春·江西上饒·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形OABC的頂點(diǎn)B（-8，6）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，且橫坐標(biāo)為a（a0，x>0的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸交直線AC于點(diǎn)D，CD=3AC．

(1)若AD=BD，求k的值．
(2)連結(jié)OB，若四邊形OBDC的面積為6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】(1)3
(2)B45,3
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得AC=1進(jìn)而得出CD=3，由AD=BD可得點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差，進(jìn)而求出m的值，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；
（2）表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用含有m的代數(shù)式表示四邊形OBCD的面積求出m即可．
【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，

∵點(diǎn)Am，1，
∴OC=m，AC=1，
又∵CD=3AC．
∴CD=3，
∴AD=BD=3?1=2=EC，
∴點(diǎn)Bm3,3，
∴m?m3=2，
解得m=3，
∴點(diǎn)A3，1，
∵點(diǎn)A3，1在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴k=3，
（2）由（1）可知點(diǎn)Am，1，點(diǎn)Bm3,3，即OC=m，OE=m3，則BD=EC=m?m3=2m3，
由于四邊形OBDC的面積為6，
∴122m3+m×3=6，
解得m=125，
∴點(diǎn)B45,3．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是正確解答的前提．
5．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(2,4)是正比例函數(shù)函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象的交點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
(2)B為雙曲線上點(diǎn)A右側(cè)一點(diǎn)，連接OB,AB．若△OAB的面積為15，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】(1)y=2x，
(2)（8，1）
【分析】（1）將點(diǎn)A分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式即可；
（2）連接OB，過(guò)A作AM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥x軸于N，根據(jù)題意得S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB?S△ONB=S梯形AMNB，設(shè)B（8n，n），得到12(AM+BN)?MN=12(4+n)×(8n?2)=15，解方程即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（1）
解：將點(diǎn)A（2，4）代入y=kx，得2k=4，
解得k=2，
∴正比例函數(shù)解析式為y=2x；
將將點(diǎn)A（2，4）代入y=mx，得k=2×4=8，
∴反比例函數(shù)解析式為y=8x；
（2）
連接OB，過(guò)A作AM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥x軸于N，
∴S△OAM=S△ONB=12×8=4，
∴S△OAB=S△OAM+S梯形AMNB?S△ONB=S梯形AMNB，
設(shè)B（8n，n），
∴12(AM+BN)?MN=12(4+n)×(8n?2)=15，
整理得n2+15n?16=0，
解得n1=1，n2=-16（舍去），
∴B（8，1）．
【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，由函數(shù)圖象求幾何圖形的面積，正確理解反比例函數(shù)k值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y=12x?2的圖象分別交x軸、y軸于A、B，P為AB上一點(diǎn)且PC為△AOB的中位線，PC的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象于Q，S△OQC=32，則k的值和Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ．
【答案】k=3，Q2,32
【分析】根據(jù)三角形△OQC的面積是Q點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積的一半，且等于32，可求出k的值；根據(jù)一次函數(shù)y=12x?2的圖象分別交x軸，y軸于A，B，所以當(dāng)y=0時(shí)，可求出A的橫坐標(biāo)，根據(jù)PC為中位線，可求出C的橫坐標(biāo)，也是Q的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)可求出縱坐標(biāo)．
【詳解】解：∵Q在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，
∴2S△OQC=k，
∴k=2×32=3；
∴反比例函數(shù)解析式為y=3x，
把y=0代入y=12x?2得：0=12x?2，
解得：x=4，
∴A4,0；
∵PC是△AOB的中位線，
∴PC⊥x軸，即QC⊥OC，
∴C2,0，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∵Q在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，
∴y=32，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,32．
故答案為：k=3，Q2,32．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握并應(yīng)用反比例函數(shù)y=kx（k>0）中k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖像交于A，C兩點(diǎn)與x軸交于B，D兩點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD=2，S△AOC=5，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【答案】(6，2)
【分析】首先根據(jù)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐標(biāo)(m3，3)，C的坐標(biāo)(m3+2，3mm+6)，關(guān)鍵是根據(jù)面積列出關(guān)于m的方程，求出m，即可求得C的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵直尺平行于y軸，A、B對(duì)應(yīng)直尺的刻度為5、2，且AB=3，
則B的坐標(biāo)為(m3，0)，則D的坐標(biāo)為(m3+2，0)
∴C(m3+2，3mm+6)，
∵SΔAOC=SΔAOB+S梯形ABDC?SΔOCD=5，
又∵SΔAOB=SΔOCD，
∴S梯形ABDC=5，
∴(3+3mm+6)×2×12=5，
∴m=12，
∴C的坐標(biāo)為(6,2)
故答案為：(6,2)．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義；熟練運(yùn)用幾何圖形的面積的和差計(jì)算不規(guī)則的圖形的面積．
【題型6 根據(jù)k的幾何意義判斷面積的變化情況】
1．（2023春·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰三角形△ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)固定，且始終有AC=BC，當(dāng)頂點(diǎn)C在函數(shù)y=kxx>0的圖象上從上到下運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，則△ABC的面積大小變化情況是（ ）
A．先減小后增大B．先增大后減小C．一直不變D．先增大后不變
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形ABC的面積是點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積除以2，和點(diǎn)C在函數(shù)y=kxx>0的圖象上，可以解答本題．
【詳解】解：∵等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在函數(shù)y=kxx>0的圖象上運(yùn)動(dòng)，且AC=BC，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為x，kx，
∴S△ABC=12×2x×kx=k，
即△ABC的面積不變，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將反比例的系數(shù)k與三角形的面積聯(lián)系在一起．
2．（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Ba,b是反比例函數(shù)y≤4x在第三象限圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)，原點(diǎn)對(duì)稱中心作矩形ABCD，AB⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O的直線MQ分別交AD、BC邊于點(diǎn)M、Q，以MQ為一邊作矩形MNPQ，且直線PN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，如果點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)中橫坐標(biāo)逐漸變小，那么矩形MNPQ的面積的大小變化情況是（ ）

A．先減小后增大B．先增大后減小C．一直不變D．一直減小
【答案】C
【分析】連接EM、EH．先證四邊形AEOG是矩形，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得S矩形BHOE=4，進(jìn)而得S△OQE=12S矩形BHOE=2，矩形MNPQ的面積為2S△EHM=8，即可推出矩形MNPQ的面積是定值．
【詳解】解：連接EM、EH．

∵四邊形ABCD是以原點(diǎn)對(duì)稱中心作矩形，
∴OM=OQ，AB∥CD，AD∥BC ，∠A=∠ABC=∠C=90°，OG=OH，OF=OE
∵AB⊥x軸，x軸?y軸，
∴∠OEA=∠OEB=∠GOE=90°，
∴∠OEA+∠A=180°，∠AEO+∠GOE=180°，
∴AB∥y軸，AD∥x軸，
∴四邊形AEOG是矩形，
同理可證：四邊形BHOE，四邊形HCFO，四邊形FDGO都是矩形，
∵點(diǎn)Ba,b在反比例函數(shù)y=4x上，
∴S矩形BHOE=4，
∴S△OQE=12S矩形BHOE=2，
∵OM=OQ，
∴S△EHM=2S△OQE=4，
∵四邊形MNPQ是矩形，
∴矩形MNPQ的面積為2S△EHM=2×4=8，
∴矩形MNPQ的面積的大小不變，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考選擇題中的壓軸題．
3．（2023春·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=5x(x>0)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交反比例函數(shù)y=?5xx0，
∴a=?1+2．∴A1A2=?2+22，
∴OA2=OA1+A1A2=22，
所以點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(22, 0)．
【點(diǎn)睛】本題考查了有已知點(diǎn)求解析式和反比例的性質(zhì)，熟悉掌握概念是解決本題的關(guān)鍵.