長沙市長郡中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)小題精練1

這是一份長沙市長郡中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)小題精練1，共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
姓名：___________班級：___________學(xué)號：___________
一、單選題
1．設(shè)集合，．則（ ）
A．B．
C．D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則的模為（ ）
A．3B．1C．D．4
3．已知，那么的值為（ ）
A．1B．C．D．
4．已知點(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，則的值是（ ）
A．B．1C．D．
5．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)積.設(shè)命題，命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．《九章算術(shù)》中關(guān)于“芻童”（上、下底面均為矩形的棱臺）體積近似計算的注釋：將上底面的長乘以二與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘以二與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一，現(xiàn)有“芻童”，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則按《九章算術(shù)》的注釋，該“芻童”的體積為（ ）
A．8B．24C．D．112
7．已知點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，=0，tan∠PF1F2=，則雙曲線的離心率為
A．B．2C．D．
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對于任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且 ，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．
二、多選題
9．2023年10月31日，神舟十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對航天的熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績分為四組，分別為，得到頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）
A．
B．這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為88
C．若從這100名學(xué)生成績不低于80分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，則此3人的分?jǐn)?shù)都不低于90分的概率為
D．若用樣本的頻率估計總體，從該校高中學(xué)生中隨機(jī)抽199人，記“抽取199人中成績不低于90的人數(shù)為”的事件為，則最大時，.
10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)，在曲線上，若，則（ ）
A．B．
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．在上單調(diào)遞減
11．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，滿足與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．面積的最大值為1
三、填空題
12．等比數(shù)列中，每項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .
13．已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在線段AB上（不包括端點(diǎn)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，則的最大值為 ．
14．在直三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分.若四點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為 .
參考答案
1．B
【分析】化簡M，N，由交集運(yùn)算即可求解．
【詳解】集合，，
則．
故選：B
2．C
【分析】由題意可得，然后代入化簡，可求出其模
【詳解】由題意可得，所以，
故其實(shí)部為3，虛部為1，
所以模長為,
故選：C．
3．A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化成關(guān)于的方程，結(jié)合余弦函數(shù)值的范圍進(jìn)行計算.
【詳解】由，，
即，則，
根據(jù)余弦值的范圍，且分母可知不符題意，
為所求.
故選：A
4．A
【分析】化簡得，再利用三點(diǎn)共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.
【詳解】，即，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，
則，解得.
故選：A.
5．B
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與充分條件與必要條件定義計算即可得.
【詳解】若，則，即，即或，
故不是的充分條件，
若，則有，
故是的必要條件，即是的必要不充分條件.
故選：B.
6．C
【分析】先畫出圖形，連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過作，如圖，根據(jù)題意結(jié)合圖形得到是“芻童”其中一條側(cè)棱與與底面所成角的平面角，從而求得該芻童的高，進(jìn)而根據(jù)芻童的體積公式即可求得結(jié)果．
【詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過作，如圖，
.
因?yàn)椤捌c童”上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，
所以是“芻童”其中一條側(cè)棱與底面所成角的平面角，則，
因?yàn)?，所以?br>易知四邊形是等腰梯形，則，
所以在中，，則，即“芻童”的高為，
則該芻童的體積.
故選:C.
7．C
【詳解】試題分析：根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a，進(jìn)而根據(jù)tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，分別求得|PF2|和|PF1|，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立等式求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
解：∵=0，
∴PF1⊥PF2，
∵tan∠PF1F2=，
∴|PF1|=2|PF2|
∵|PF1|﹣|PF2|=2a，
∴|PF2|=2a，|PF1|=4a；
在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
∴4c2=4a2+16a2，解得e=．
故選C．
考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．
8．C
【分析】由條件等式通過取特殊值求，由此判斷A，D，再取特殊值確定，的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷選項(xiàng)B，C.
【詳解】因?yàn)?，?br>取，可得，又，所以；A對；
取，可得，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，C錯，B對；
取，可得，又， ；
所以，D對；
故選：C.
9．AB
【分析】對于A，由頻率之和為1結(jié)合頻率分布直方圖數(shù)據(jù)即可求解；對于B，先求出成績在和內(nèi)的頻率，進(jìn)而判斷分位數(shù)的范圍即可根據(jù)百分位數(shù)的定義直接進(jìn)行求解；對于C，分別求出成績不低于80分和不低于90分的人數(shù)，即可求解概率；對于D，先由頻率分布直方圖得成績不低于90分的概率，接著由二項(xiàng)分布概率公式求出，再令即可求解.
【詳解】對于A，由頻率分布直方圖得，故A對；
對于B，由頻率分布直方圖結(jié)合選項(xiàng)A可知：
成績在內(nèi)的頻率為，
成績在內(nèi)的頻率為，
所以分位數(shù)在80到90分之間，故分位數(shù)為，故B對；
對于C，成績不低于80分的共有人，不低于90分的共有人，
則隨機(jī)抽取3人，則此3人的分?jǐn)?shù)都不低于90分的概率，故C錯；
對于D，由頻率分布直方圖可知，成績不低于90分的概率，
由題意，由題意，
令即，
所以即，
解得，故為29或30，故D錯.
故選：AB.
10．AC
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性逐一判斷即可.
【詳解】由圖可知，
由，解得（負(fù)值舍去），
所以，解得，A正確；
則，將點(diǎn)代入得，，即，
由于在的增區(qū)間上，且，所以，B錯誤；
因?yàn)?，令，，解得，，取，則關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；
令，，解得，，取，則在上單調(diào)遞減，D錯誤.
故選：AC
11．ABD
【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合向量關(guān)系求選項(xiàng)；進(jìn)而根據(jù)四邊形為平行四邊形求選項(xiàng)；當(dāng)軸時，根據(jù)對稱性求選項(xiàng)；最后設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，則，則，求選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，則平分線段，又，則平分線段，
則四邊形為平行四邊形，故A對；
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>對于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：
若斜率存在，設(shè)：，，
與方程聯(lián)立，得：，
由直線過焦點(diǎn)，成立，
，，
，
若斜率不存在，則：，易求得，
，
故，故B對；
當(dāng)軸時，根據(jù)對稱性，在軸上，此時，故錯；
對于拋物線可證其有性質(zhì)，證明如下：
設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，
設(shè)：，
與方程聯(lián)立，得：
，
則，則
，
則，又，則，
即為等腰三角形，且軸為的垂直平分線，故必在軸上，
此外，，則，則，
當(dāng)與拋物線相切時，取得最大值1，即的最大值為1，故D對，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若線段是拋物線的一條過焦點(diǎn)F的弦，則 ，.
12．4
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意得.
故答案為：4.
13．
【分析】將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，根據(jù)，，再根據(jù)，即可求得答案.
【詳解】
設(shè)
直線的斜率為，則直線的方程為：，
聯(lián)立方程得，
則，所以，
因?yàn)闄E圓C：的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，
所以，則直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上，直線OP與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以，，，則
所以，，
，
由，整理得，，
當(dāng)時，
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法：
（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；
（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．
常從以下方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
14．
【分析】由平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分，確定點(diǎn)為的中點(diǎn)，再確定的外心以及三棱錐的高，最后求三棱錐的外接圓半徑即可.
【詳解】如圖，連接.
因?yàn)椋?br>且
所以，
所以，
所以，
因此，即為的中點(diǎn).
取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，
則，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>且平面平面,
所以平面，
則平面.
因?yàn)槭堑耐庑模?br>且的外接圓半徑，
三棱錐的高.
設(shè)球的半徑為，則，
則5，
所以球的體積.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.
（1）通過平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分可確定點(diǎn)的位置；
（2）求三棱錐的外接球半徑，先確定底面三角形的外接圓半徑及高，再通過即可求解.