2023-2024學(xué)年廣東省梅州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份2023-2024學(xué)年廣東省梅州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.復(fù)數(shù)z=(2?i)2(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第( )象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
2.某校舉行演講比賽，9位評(píng)委對(duì)參賽選手李明的評(píng)分分別為87，85，91，95，90，92，96，88，83則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是( )
A. 92B. 91.5C. 91D. 90
3.如圖，水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′恰為腰長為2的等腰直角三角形，則△ABC中最長邊的長為( )
A. 2 2
B. 4
C. 4 2
D. 6
4.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是( )
A. 若m//α，n//α，則m//nB. 若α//β，m?α，n?β，則m//n
C. 若m//α，m⊥β，則α⊥βD. 若m⊥n，n?α，則m⊥α
5.已知 3sinθ?csθ=23,θ∈(0,π2)，則cs(θ+π3)=( )
A. ?2 23B. ?13C. 13D. 2 23
6.有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球，乙盒裝有編號(hào)為1，2，3的3個(gè)球，每個(gè)球大小相同、材質(zhì)均勻，各盒中每個(gè)球被抽取的概率相同，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，設(shè)事件A=“從甲盒中所抽取的球的編號(hào)小于3”，B=“兩個(gè)球編號(hào)之和為偶數(shù)”，則P(AB)=( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
7.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若滿足條件a=3，A=60°的三角形有兩個(gè)，則b的取值范圍是( )
A. (2,3)B. (3,3 3)C. (3,2 3)D. (2 2,2 3)
8.如圖，在扇形AOB中，扇形的半徑為1，∠AOB=2π3，點(diǎn)P在弧AB上移動(dòng)，OP=aOA+bOB.當(dāng)∠AOP=π2時(shí)，a+b=( )
A. 32
B. 3
C. 2
D. 3 32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.某中學(xué)三個(gè)年級(jí)學(xué)生共2000人，且各年級(jí)人數(shù)比例如以下扇形圖.現(xiàn)因舉辦校慶活動(dòng)，以分層抽樣的方式從中隨機(jī)選出志愿服務(wù)小組，已知選出的志愿服務(wù)小組中高一學(xué)生有32人，則下列說法正確的有( )
A. 該學(xué)校高一學(xué)生共800人
B. 志愿服務(wù)小組共有學(xué)生96人
C. 志愿服務(wù)小組中高三學(xué)生共有20人
D. 某高三學(xué)生被選入志愿服務(wù)小組的概率為125
10.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)，則下列說法正確的有( )
A. 函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸為x=π12
B. f(x)在區(qū)間[?π6,π6]上單調(diào)遞增
C. f(x)的圖象可由g(x)=2sin2x的圖象向右平移5π6個(gè)單位得到
D. 方程f(x)?1=0在區(qū)間(0,2π]上恰有三個(gè)不等的實(shí)根
11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M為棱C1D1的中點(diǎn)，N為棱CC1上(含端點(diǎn))的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中，不正確的是( )
A. 當(dāng)N為棱CC1上的中點(diǎn)時(shí)，平面A1MN經(jīng)過頂點(diǎn)B
B. 當(dāng)N為棱CC1上的中點(diǎn)時(shí)，則AN/?/平面A1DM
C. 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，三棱錐A?A1MN的體積最大
D. 棱CC1上存在點(diǎn)N，使得|BN|+|MN|=2 3
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，則OA與OB夾角的余弦值cs= ______．
13.若復(fù)數(shù)z=a+bi(其中i為虛數(shù)單位，a，b∈R，b≠0)滿足z+4z為實(shí)數(shù)，則z?z?= ______．
14.如圖，已知AD⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為棱BD，AC上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，則線段EF長度的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
(1)已知復(fù)數(shù)z=3+bi(其中i為虛數(shù)單位)滿足|z?2i|=5，求實(shí)數(shù)b的值；
(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程：5x2?2x+1=0．
16.(本小題15分)
為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，督促學(xué)生加強(qiáng)鍛煉，甲、乙兩個(gè)班的班主任分別對(duì)所在班學(xué)生進(jìn)行體育鍛煉時(shí)長調(diào)查.將甲班50名學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長(單位：小時(shí))數(shù)據(jù)分成4組：[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求a的值，并估計(jì)甲班學(xué)生周平均體育鍛煉時(shí)長的平均數(shù)；
(2)乙班48名學(xué)生中周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的有16人，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從甲乙兩個(gè)班中各隨機(jī)抽查一位學(xué)生，求其中至少有一位學(xué)生的周平均體育鍛煉時(shí)長在8小時(shí)以上的概率．
17.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D．
(1)求證：ADCD=ca；
(2)若 3csinB+bcsC=a+c．
(ⅰ)求B；
(ⅱ)若a=2c，BD=1，求△ABC的面積．
18.(本小題17分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面是等腰梯形，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB=BC=CD=1，PA=AD=2．
(1)求證：BD⊥平面PAB；
(2)點(diǎn)Q為PA上一點(diǎn)，PQPA=13，求證：PC//平面BDQ；
(3)點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，求AM與平面PBD所成角的正弦值．
19.(本小題17分)
歐拉是偉大的數(shù)學(xué)家，也是最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、復(fù)變函數(shù)、變分法、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、力學(xué)等等領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn).1765年，歐拉在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直線上(這條直線被稱為三角形的歐拉線)，此外，外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半.為證明以上結(jié)論，我們作以下探究：
如圖，點(diǎn)O、G、H分別為△ABC的外心、重心、垂心．
(1)求證：GA+GB+GC=0；
(2)求證：OG=13(OA+OB+OC)；
(3)求證：OH=OA+OB+OC．
注：①重心：三邊中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1；
②垂心：三條高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；
③外心：三條中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．
參考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ACD
10.AC
11.BCD
12.45
13.4
14.2 55
15.解：(1)∵z=3+bi，∴|z?2i|=|3+(b?2)i|= 9+(b?2)2=5，
∴b=6或b=?2；
(2)∵Δ=(?2)2?4×5×1=?16