高考數(shù)學二輪復習專題專題10二項式定理與楊輝三角問題試題含解析答案

這是一份高考數(shù)學二輪復習專題專題10二項式定理與楊輝三角問題試題含解析答案，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題等內容，歡迎下載使用。

一、單選題
1．已知，則下列描述正確的是（ ）
A．
B．除以5所得的余數(shù)是1
C．
D．
2．已知，則被3除的余數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．在的展開式中含項的系數(shù)為15，則展開式中二項式系數(shù)最大項是第（ ）
A．4項B．5項C．6項D．3項
4．的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．24B．25C．48D．49
5．在的展開式中，下面關于各項的描述不正確的是（ ）
A．常數(shù)項為240B．含的項的二項式系數(shù)為15
C．各項的二項式系數(shù)和為64D．第四項為60
6．已知，則（ ）
A．
B．此二項展開式系數(shù)最大的項為第4項
C．此二項展開式的二項式系數(shù)和為32
D．
7．令，則當時，a除以15所得余數(shù)為（ ）
A．4B．1C．2D．0
8．在的展開式中，下列說法錯誤的是（ ）
A．二項式系數(shù)之和為64B．各項系數(shù)之和為
C．二項式系數(shù)最大的項為D．常數(shù)項為
9．已知，則（ ）
A．B．14C．D．7
10．的展開式中項的系數(shù)為（ ）
A．112B．136C．184D．256
11．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011個數(shù)最大
C．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)
D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2：3
12．已知為滿足能被整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中，系數(shù)最大的項為（ ）
A．第6項B．第7項C．第11項D．第6項和第7項
二、多選題
13．在的展開式中，各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32，則（ ）
A．常數(shù)項為B．
C．項的系數(shù)為40D．項的系數(shù)為
14．已知(，a為正常數(shù))的展開式中各項系數(shù)的和為729，二項式系數(shù)的和為64，則（ ）
A．B．展開式中無理項有3項
C．展開式中系數(shù)最大的項是第4項D．展開式中常數(shù)項為第5項
15．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲早393年發(fā)現(xiàn)．如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．則下列命題中正確的是（ ）
A．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和”猜想
B．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：
C．第20行中，第10個數(shù)最大
D．第15行中，第7個數(shù)與第8個數(shù)的比為7：8
16．已知的展開式中共有7項，則下列選項正確的有（ ）
A．所有項的二項式系數(shù)和為64B．所有項的系數(shù)和為1
C．系數(shù)最大的項為第4項D．有理項共4項
17．在二項式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為64B．第6項和第7項二項式系數(shù)相等
C．第4項系數(shù)為280D．系數(shù)最大的是第6項
18．若,則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
19．若，則（ ）．
A．
B．
C．
D．
20．對于式子，以下判斷正確的有（ ）
A．存在，使得展開式中沒有常數(shù)項B．對任意，展開式中有常數(shù)項
C．存在，使得展開式中有的一次項D．對任意，展開式中沒有的一次項
21．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．精確到0.01的近似值為0.85
D．除以15的余數(shù)為3
22．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如的前項和記為，則下列說法正確的有（ ）

A．在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數(shù)字是84
B．在“楊輝三角”中，從第1行起到第12行，每一行從左到右的第2個數(shù)字之和為78
C．
D．的前項和為
三、填空題
23．已知的展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等，且常數(shù)項與展開式中的常數(shù)項相等，則 ， .
24．在的展開式中常數(shù)項等于 .
25．組合數(shù)被9除的余數(shù)是 ．
26．楊輝三角是中國古代數(shù)學家楊輝杰出的研究成果之一. 如圖，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，則在第11條斜線上，最大的數(shù)是 .
27．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，以下結論，正確結論的序號為
①展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256
②展開式中第6項的系數(shù)最大
③展開式中存在常數(shù)項
④展開式中含項的系數(shù)為45
參考答案：
1．B
【分析】利用賦值法即可判斷ACD，根據二項式展開式的通項即可求解B.
【詳解】，
令，可得，再令，可得，
,故A錯誤．
由于，即展開式各項系數(shù)和系數(shù)和，
故，，故C錯誤．
由題意，，
顯然，除了最后一項外，其余各項均能被5整除，除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．
因為，
所以，
所以，故D錯誤．
故選：B．
2．D
【分析】先對二項展開式中的進行賦值，得出，再將看作進行展開，再利用二項展開式特點分析即得.
【詳解】令，得，令，得，
兩式相減，，
因為，
其中被3整除，所以被3除的余數(shù)為1，
綜上，能被3整除．
故選：D.
3．A
【分析】分與討論，都可求得，再根據二項式定理即可求解.
【詳解】由可得，
當，,則，
其展開式的通項為，
令,得,解得；
當,,則，
其展開式的通項為，
令，得，解得.
綜上所述：，
所以展開式共有7項，所以展開式中二項式系數(shù)最大項是第4項.
故選:A.
4．D
【分析】利用二項式定理連續(xù)展開兩次，然后令，從而滿足題意的數(shù)組可以是：，將這些數(shù)組回代入通項公式即可運算求解.
【詳解】的展開式通項為
，
令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，
規(guī)定，
故所求為.
故選：D.
5．D
【分析】根據二項展開式的通項公式逐個選項分析即可.
【詳解】由題可知二項展開式的通項為.
對A，當，即時取得常數(shù)項，故A正確；
對B，當，即時取得的項，其二項式系數(shù)為，故B正確；
對C，二項式系數(shù)和為，故C正確；
對D，第四項為，故D錯誤.
故選：D
6．D
【分析】對A：借助二項式的展開式的通項公式計算即可得；對B：計算出第4項的系數(shù)可得其小于0，再計算出第1項的系數(shù)可得其大于0，可得其錯誤；對C：借助二項式系數(shù)和為計算即可得；對D：借助賦值法，令代入計算后結合即可得.
【詳解】對A：，則，故A錯誤；
對B：，即第4項的系數(shù)為，
令，有，故B錯誤；
對C：，故此二項展開式的二項式系數(shù)和為，故C錯誤；
對D：令，則，又，
故，故D正確.
故選：D.
7．D
【分析】當，利用二項式定理化簡得，結合二項式的展開式公式即可求解.
【詳解】，
當時，
故a除以15所得余數(shù)為0.
故選：D.
8．C
【分析】對于A：根據二項式系數(shù)之和為運算求解；對于B：令即可得各項系數(shù)之和；對于C：根據二項式系數(shù)的性質結合二項展開式的通項公式分析求解；對于D：根據，令運算求解即可.
【詳解】對于選項A：因為，所以二項式系數(shù)之和為，故A正確；
對于選項B：令，可得各項系數(shù)之和為，故B正確；
因為的展開式為，
對于選項C：因為，可知二項式系數(shù)最大的項為第4項，故C錯誤；
對于選項D：令，解得，
所以常數(shù)項為，故D正確；
故選：C.
9．A
【分析】根據所求式子中的各項系數(shù)與題干中展開式中指數(shù)相同，聯(lián)想到冪函數(shù)求導公式，因此對題干中展開式兩邊同時求導，再結合二項式定理中求各項系數(shù)和的方法，取值求解.
【詳解】等式兩邊同時求導可得，令，得，
故選：A.
10．B
【分析】先求出的展開式的通項，則要得到項，必有，得到r=0，或，然后分別求出r=0時展開式中項和時展開式中常數(shù)項即可得答案.
【詳解】的展開式的通項為，
要得到項，必有，所以，
所以r=0，或.
當r=0時，，而展開式中的項為，
故中項的系數(shù)為；
當時，，而中的常數(shù)項為1，
故中項的系數(shù)為，
所以所求項的系數(shù)為.
故選：B.
11．C
【分析】A選項由及即可判斷；B選項由二項式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項由及即可判斷；D選項直接計算比值即可判斷.
【詳解】由可得
，故A錯誤；
第2022行中第1011個數(shù)為，故B錯誤；
，故C正確；
第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為
，故D錯誤.
故選：C.
12．B
【分析】根據二項式系數(shù)和的特征得到，寫出的展開式，即可得到能被整除，從而求出的取值，即可確定的值，再根據二項式系數(shù)的特征及展開式的通項分析可得.
【詳解】因為，
所以，
所以，
則
，
顯然為正整數(shù)，
所以能被整除，
又n≥3且能被整除，所以能被整除，
所以，則，
所以，
所以，
所以在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為第項和第項，
又的展開式的通項公式為，
因為第項的系數(shù)為負數(shù)，第項的系數(shù)為正數(shù)，
所以第項的系數(shù)最小，第項的系數(shù)最大.
故選：B．
13．BD
【分析】利用二項式系數(shù)的性質求出，利用二項式定理逐項判斷得解.
【詳解】由展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32，得，解得，B正確；
的展開式的常數(shù)項為，A錯誤；
展開式項的項的系數(shù)為，C錯誤，D正確.
故選：BD
14．BD
【分析】根據題意得，求出，再由各項系數(shù)的和為729，利用賦值法可求出，然后結合二項式的性質逐個分析判斷即可.
【詳解】依題意得，所以，
因為展開式中各項系數(shù)的和為729，令，得，
所以（負值舍去），
對于A，，故A錯誤;
對于B，展開式的通項，當時，展開式的對應項為無理項，故B正確;
對于C，展開式中每一項的系數(shù)，由，得，
所以，即展開式中第5項的系數(shù)最大，故C錯誤;
對于D，令6?3r2=0，得，所以展開式中常數(shù)項為第5項，故D正確．
故選：BD
15．AB
【分析】對于A選項，根據“楊輝三角”的規(guī)律進行判斷即可；對于B選項，根據二項式系數(shù)之和的性質進行計算即可；對于C選項，第20行的數(shù)為，進而求解其最大項即可；對于D選項，根據規(guī)律找到第7、8個數(shù)，直接計算即可.
【詳解】對于A選項，由“楊輝三角”的規(guī)律可得A正確；
對于B選項，由二項式系數(shù)的性質知，故B正確；
第20行的數(shù)是，最大的是第11個數(shù)，故C錯誤；
第15行中，第7個數(shù)與第8個數(shù)分別是和，，故D錯誤.
故選：AB.
16．AD
【分析】由展開式有7項，可知，再由二項式定理的應用依次求解即可.
【詳解】解：由展開式有7項，可知，
則所有項的二項式系數(shù)和為，故A項正確；
令，則所有項的系數(shù)和為，故B項錯誤；
展開式第項為，
則第4項為負值，故系數(shù)最大的項為第4項是錯誤的；
當時為有理項，則D項正確.
故選：AD
17．ACD
【分析】利用二項式定理展開式的性質判斷AB，根據二項展開式的通項公式求解可判斷C；列不等式求最大項的系數(shù)，判斷D.
【詳解】
對于A：由二項式的展開式可得展開式奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為，故A正確；
對于B：由二項式系數(shù)的性質，第6項和第7項二項式系數(shù)分別為,不相等，故B錯誤；
對于C：第4項為，所以第4項的系數(shù)為，故C正確；
對于D：二項展開式的通項為，
由，解得，所以，即第6項系數(shù)最大，故D正確.
.故選：ACD.
18．ABD
【分析】根據二項式定理,通項公式寫出來,后結合賦值得解.
【詳解】,令,得,A正確.
令,得,即得.B正確.
令,得,
令,得,
兩式相加得,得,C錯誤.
,兩邊求導, ,
令,得,D正確.
故選:ABD.
19．BD
【分析】寫出展開式的通項，即可得到，從而判斷A，令即可判斷B，令，求出導函數(shù)，再利用賦值判斷C、D.
【詳解】因為展開式的通項為（且），
又，
所以，故A錯誤；
令，得，
所以，故B正確；
令，
則，
又，
則，
所以，故C錯誤；
，故D正確.
故選：BD
20．BD
【分析】利用二項式的展開式逐項判斷即可求解.
【詳解】的展開式通項為
，
其中，
A、B：當時，存在常數(shù)項，故A錯誤，故B正確，
C、D：為偶數(shù)，不存在一次項，故C錯誤，D正確．
故選：BD.
21．AC
【分析】賦值法可判斷A；由求出，由二項式系數(shù)和可判斷B；，由二項式定理展開，取展開式前3項可判斷C；，由二項式定理展開可判斷D.
【詳解】在中，
令，則，故A正確；
因為，所以，
所以，故B錯誤；
，
取展開式前3項，則精確到0.01的近似值為．故C正確；
，其中，
所以能被15整除，
所以除以15的余數(shù)為1，故D錯誤．
故選：AC．
22．ABD
【分析】對于A：根據題意結合組合數(shù)運算求解；對于B：根據題意結合等差數(shù)列求和分析判斷；對于CD：根據題意結合等比數(shù)列以及裂項相消法分析判斷.
【詳解】對于選項A：在“楊輝三角”第9行中，從左到右第7個數(shù)字是，故A正確；
對于選項B：從第1行起到第12行，每一行從左到右的第2個數(shù)字之和為
，故B正確；
對于選項CD：由題意可知：，
則，，可知數(shù)列an是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
可得，則，故C錯誤；
因為，
所以的前項和為
，故D正確；
故選：ABD.
23． 4 3
【分析】首先利用第二項與第四項二項式系數(shù)相等得；利用通項公式計算出中常數(shù)項的值為24. 在中根據多項式乘法的規(guī)律，從組合的角度出發(fā)得到常數(shù)項為，解得.
【詳解】中第二項和第四項的二項式系數(shù)分別為和，所以，根據組合數(shù)的性質可得.
對于，易得通項公式為，其中令得，所以常數(shù)項為.
在中，取得常數(shù)的項情況有兩種：選2個，1個，0個；或者選0個，0個，3個.
所以常數(shù)項為，解得.
故答案為：4；3.
24．16
【分析】根據二項式展開式結合其常數(shù)項組成形式即可得到答案.
【詳解】因為展開式的通項為，，
的展開式中常數(shù)項由兩項構成，
即與，
所以的展開式中常數(shù)項為.
故答案為：16.
25．8
【分析】先求出，再利用二項式定理得到，求出組合數(shù)被除的余數(shù)是.
【詳解】∵，
∴
，其中k∈N；
∴該組合數(shù)被除的余數(shù)是8．
故答案為：8．
26．35
【分析】根據楊輝三角的規(guī)律再向下寫出3行，找出第11條斜線上的數(shù)，比較大小可得答案.
【詳解】楊輝三角第8行的數(shù)據為：1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行的數(shù)據為：1 8 28 56 70 56 28 8 1，
第10行的數(shù)據為：1 9 36 84 126 126 84 36 9 1，
第11條斜線上的數(shù)為：1 9 28 35 15 1，所以最大的數(shù)是35.
故答案為：35
27．②③④
【分析】由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知，由展開式的各項系數(shù)之和為1024可得，則二項式為，易得該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同，利用二項式系數(shù)的對稱性判斷①②；根據通項判斷③④即可.
【詳解】對①，由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知，
又展開式的各項系數(shù)之和為1024，即當時，，又a>0，所以，
所以二項式為，
則二項式系數(shù)和為，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故①錯誤；
對②，由可知展開式共有11項，中間項的二項式系數(shù)最大，
即第6項的二項式系數(shù)最大，因為與的系數(shù)均為1，
則該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同，所以第6項的系數(shù)最大，故②正確；
對③，若展開式中存在常數(shù)項，由通項可得，解得，故③正確；
對④，由通項可得，解得，所以系數(shù)為，故④正確.
故答案為：②③④.