新高中數(shù)學壓軸題二輪專題專題27解析幾何中的定直線問題試題含解析答案

這是一份新高中數(shù)學壓軸題二輪專題專題27解析幾何中的定直線問題試題含解析答案，共69頁。試卷主要包含了解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、解答題
1．在平面直角坐標系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標原點，對稱軸是坐標軸，右支與x軸的交點為，其中一條漸近線的傾斜角為.
(1)求C的標準方程；
(2)過點作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，在線段上取一點E滿足，證明：點E在一條定直線上.
2．如圖，在中，，若以所在直線為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標系.設動頂點.
(1)求頂點A的軌跡方程；
(2)記第（1）問中所求軌跡曲線為，設，過點作動直線與曲線交于兩點（點在軸下方）.求證：直線與直線的交點在一條定直線上.
3．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結論并證明.
4．已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
5．已知點，的兩頂點，且點滿足
（1）求動點的軌跡方程；
（2）設，求動點的軌跡方程；
（3）過點的動直線與曲線交于不同兩點，過點作軸垂線，試判斷直線與直線NH的交點是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程，否則，說明理由．
6．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
7．已知曲線上任意一點滿足，且.
(1)求的方程；
(2)設，若過的直線與交于兩點，且直線與交于點.證明：點在定直線上.
8．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點分別為，點坐標為，且.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的動直線與的左?右兩支分別交于兩點，若點在線段上，滿足，證明：在定直線上.
9．已知圓和點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)點在直線上運動，過點的動直線與曲線相交于點.
（?。┤艟€段上一點，滿足，求證：當?shù)淖鴺藶闀r，點在定直線上；
（ⅱ）過點作軸的垂線，垂足為，設直線的斜率分別為，當直線過點1,0時，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
10．已知雙曲線G的中心為坐標原點，離心率為，左、右頂點分別為A?4,0，B4,0.
(1)求的方程；
(2)過右焦點的直線l與G的右支交于M，N兩點，若直線與交于點．
（i）證明：點在定直線上：
（ii）若直線與交于點，求證：PF2⊥QF2．
11．已知拋物線和圓，拋物線的焦點為.
（1）求的圓心到的準線的距離；
（2）若點在拋物線上，且滿足， 過點作圓的兩條切線，記切點為，求四邊形的面積的取值范圍；
（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點，證明:的充要條件是“直線的方程為”
12．在平面直角坐標系中，動點在圓上，動點在直線上，過點作垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點，且，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程.
(2)若直線與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，其中，且同向，直線交于點.
（i）證明：點在一條確定的直線上，并求出該直線的方程；
（ii）當?shù)拿娣e等于時，試把表示成的函數(shù).
13．已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．
(1)求C的方程；
(2)設直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．
14．已知橢圓的兩個頂點分別為、，焦點在軸上，離心率為，直線與橢圓交于、兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)當變化時，是否存在過點的定直線，使直線平分？若存在，求出該定直線的方程；若不存在，請說明理由.
15．已知在平面直角坐標系中，拋物線的焦點與橢圓的一個頂點重合，點是橢圓上任意一點，橢圓的左、右焦點分別為，，且的最大值為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過拋物線上在第一象限內(nèi)的一點作拋物線的切線，交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，過點作垂直于軸的直線，與直線OG交于點，求證：點在定直線上．
16．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．
17．已知拋物線的焦點關于直線的對稱點為．
(1)求的方程；
(2)若為坐標原點，過焦點且斜率為1的直線交于兩點，求AB；
(3)過點的動直線交于不同的兩點，為線段上一點，且滿足，證明：點在某定直線上，并求出該定直線的方程．
18．已知雙曲線的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，在軸上位于右側有一點，滿足.
(1)求的方程；
(2)過點且不與坐標軸垂直的直線與交于兩點，以為圓心作圓與直線交于兩點，證明：直線的交點恒在直線上.
19．已知橢圓：的右焦點為，過點作軸的垂線交橢圓于點．過點作橢圓的切線，交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)過點的直線（非軸）交橢圓于、兩點，過點作軸的垂線與直線交于點，求證：線段的中點在定直線上．
20．已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，是橢圓上一點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于兩點，為線段中點．
（i）求證：點軌跡方程為；
（ii）為坐標原點，射線與橢圓交于點，點為直線上一動點，且，求證：點在定直線上．
21．如圖，已知拋物線，過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標原點）.
(1)證明：動點在定直線上；
(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，證明：為定值，并求此定值.
22．已知雙曲線實軸端點分別為、，右焦點為，離心率為，過點的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．
23．過拋物線內(nèi)部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
24．已知雙曲線．
(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)．
(2)記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．
25．已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．
(1)求的標準方程；
(2)設為直線與的交點，證明：點在定直線上．
26．如圖，已知橢圓的方程為，點、分別是橢圓的左、右頂點，點的坐標是，過點的動直線交橢圓于點、（點的橫坐標小于點的橫坐標）．
(1)求橢圓焦點的坐標；
(2)是否存在常數(shù)，使為定值，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(3)當設直線的斜率不為時，設直線與交于點．請?zhí)岢鲆粋€與點有關的問題，并求解該問題．
（備注：本小題將根據(jù)提出問題的質(zhì)量及其解答情況進行分層計分．）
27．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為y=±3x．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點是雙曲線的右支上異于頂點的任意點，點在直線上，且，為的中點，求證：直線與直線的交點在某定曲線上．
28．已知橢圓的左?右焦點分別為是上一點，且點到點的距離之和為.
(1)求的方程；
(2)斜率為的直線與交于兩點，則的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請說明理由.
29．在平面直角坐標系中，已知點，，點M滿足：．記M的軌跡為C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點的直線l交曲線C于M，N兩點，過點M，N分別作曲線C的切線，兩切線交于點，試探究：動點是否在一條定直線上？若不在，請說明理由；若在，求出該直線的方程．
30．已知點，分別為橢圓：的左頂點和右焦點（橢圓的左頂點M?2,0，右焦點F1,0．），直線過點且交橢圓于P，Q兩點，設直線，的斜率分別為，．
(1)求橢圓的離心率；
(2)是否存在直線，使得k1+k2=?14，若存在，求出直線的方程；不存在，說明理由．
31．已知雙曲線C：實軸的左、右端點分別為，，點在C上，且，的斜率之積為．
(1)求C的方程；
(2)已知直線l與C交于M，N兩點（均與P不重合），與直線交于點Q，且點M，N在直線的兩側，若，線段MN的中點為R，證明：點R在一條定直線上．
32．已知橢圓的短軸長為2，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的上?下頂點分別為點，過點的直線與橢圓交于不同兩點，且，直線與直線交于點，求證：點在一條定直線上.
33．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點，四邊形為矩形，且面積為．
(1)求四邊形的外接圓方程；
(2)設，為的左、右頂點，直線過點與交于，兩點（異于，），直線與交于點，證明：點在定直線上．
34．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知過點的直線交于兩點（異于A，B），直線與直線交于點.求證:點在定直線上.
35．在平面直角坐標系中，已知橢圓E：的離心率為，右焦點F到橢圓E上任意一點的最小距離為1．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設A，B為橢圓E的左，右頂點，過點F作直線l交橢圓E于C，D兩點，C與A，B不重合），連接，交于點Q．
①求證：點Q在定直線上：
②設，，求的最大值．
36．太曲線由曲線和曲線組成，其中點、為曲線所在圓錐曲線的焦點，點、為曲線所在圓錐曲線的焦點.

(1)若，，求曲線的方程；
(2)作曲線第一象限中漸近線的平行線，若與曲線有兩個公共點、，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；
(3)設，，若直線過點交曲線于點，求的面積的最大值.
37．已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于，
（ⅰ）設點在第一象限，且直線與交于.若，求的值；
（ⅱ）連接交圓于點，射線上存在一點，且為定值，已知點在定直線上，求所在定直線方程.
參考答案：
1．(1)x2?y23=1
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得雙曲線焦點在軸上，且，，即可求得雙曲線方程；
（2）根據(jù)雙曲線對稱性以及交點特征，設出直線方程并與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理根據(jù)題目中的表達式代入整理可知點E在定直線上.
【詳解】（1）根據(jù)題意，設雙曲線的方程為，
由題知，，可得；
所以雙曲線方程為x2?y23=1.
（2）易知為雙曲線的右焦點，如下圖所示：

由題知直線l斜率存在，
根據(jù)對稱性，不妨設斜率為，故直線的方程為，
代入雙曲線方程得，
設，，
由韋達定理有，，
且，，
設，點E在線段上，所以
由可得
化簡得，
代入和并化簡可得，
即存在點E滿足條件，并且在定直線上.
2．(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，求得橢圓的的值，可得答案；
（2）根據(jù)聯(lián)立直線與橢圓寫出的韋達定理，表示出直線的直線方程，聯(lián)立整理方程，可得答案.
【詳解】（1）由，則A的軌跡為以為焦點的橢圓，且，；
由，則，，即，
故A的軌跡方程為.
（2）直線方程可設為，
聯(lián)立可得，消去可得：，
顯然成立，
設，則，即，
設，，
聯(lián)立上述兩方程，消去可得，
，，
，，
由，則，
，解得；
綜上所述，動點的軌跡方程為直線.
【點睛】方法點睛：過定點問題的兩大類型及解法
（1）動直線l過定點問題．解法：設動直線方程(斜率存在)為，由題設條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；
（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€ C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．
3．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，且焦距為，從而可求出曲線的方程；
（2）由條件可設：，代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關系，當時，可求得，則的平分線為定直線，從而可得結論.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，
因為，所以，又因為，
所以，
所以，
所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，
設雙曲線的方程為，
則，.
所以，，
又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上.
證明如下：由條件可設：.代入，
得，
設，，則
，得m2≠2，
所以
所以，
取，
則
又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，
所以在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在定直線上.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線方程的求解，第（2）問解題的關鍵是取，通過計算，可得定直線為，考查數(shù)學計算能力，屬于較難題.
4．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）設，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到，代入的表達式，即可得出為定值；
（3）根據(jù)（1）中的結論，設，則，求出直線AP、BQ的方程，聯(lián)立即可求出點M的坐標，從而可知其在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設，，因為直線過點且斜率不為，
所以可設的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，
所以，．
從而．
（3）由（1）知，設，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立可得，
所以直線與直線的交點的坐標為，
所以點在定直線上.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
5．（1）；（2）；（3）兩直線，NH的交點恒落在直線上．
【分析】（1）設出點的坐標，代入，化簡后求得動點的軌跡方程.（2）設出點的坐標，利用向量相等列方程，轉(zhuǎn)化為的坐標，代入（1）中的方程可求得的方程.（3）設出直線的方程，代入的方程，化簡后寫出韋達定理，寫出直線和直線NH的方程并求出它們的交點坐標，化簡后可知兩直線，的交點恒落在直線上.
【詳解】（1）設動點，其中.由得：
（2）設點，由得代入（1）中的方程得：，
即曲線的軌跡方程為.
（3）顯然過點的直線不垂直軸，設，同時設，.
由消整理得：.
由韋達定理得：，.
直線.
直線.
聯(lián)立①②求解交點，消得：.
.
把韋達定理中的及變形式代入上式得：
（與無關）.
故兩直線，的交點恒落在直線上.
【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查兩條直線的交點，綜合性較強，屬于難題.對于求動點的軌跡方程，有多種方法，本題中第一問采用的是直接法，也就是給定動點滿足的一個等式，將動點的坐標直接代入這個等式，化簡后可得到軌跡方程.第二問采用的是代入法，也即是將要求的動點的坐標，轉(zhuǎn)化為已知點的坐標，代入已知的曲線方程，化簡后可求得動點的軌跡方程.
6．(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
7．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義進行求解；
（2）設出經(jīng)過的直線方程，且P(x1,y1),Q(x2,y2)，利用的坐標表示出的橫坐標，然后結合韋達定理求解.
【詳解】（1）由于，符合雙曲線的定義，
于是，即，
故，注意到，且焦點在軸上，
故曲線的方程為
（2）若過的直線與交于兩點，則斜率不會是，否則和右支只有一個交點，

設該直線為，和雙曲線聯(lián)立可得，
則，故，
設P(x1,y1),Q(x2,y2)，則方程可寫作：，的方程可寫作：，
聯(lián)立的方程可得，，整理可得，，
則，
利用在直線上，
于是，
于是，故，
即，故交點一定落在上.
8．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率設，代入得到，得到答案.
（2）設，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關系，根據(jù)得到，代入數(shù)據(jù)整理得到，得到答案.
【詳解】（1）設，因為雙曲線的離心率為，
設，
所以，
所以，解得或（舍），
所以雙曲線的方程為，
（2）設，當直線斜率不存在時不成立，設，
即，
由，可得，
由于點在雙曲線內(nèi)部，易得，所以.
設Mx0,y0，根據(jù)題意，，又，可得，
整理得：，
即，化簡得
又，消去，得，
所以點在定直線上.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了求雙曲線方程，定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
9．(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）λ=12
【分析】（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，由橢圓的定義可知動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，從而求出軌跡方程；
（2）（ⅰ）設直線的方程為，設，與橢圓聯(lián)立韋達定理，把線段長度比轉(zhuǎn)化為坐標比，代入韋達定理化簡即可得點在定直線上；
（ⅱ）利用坐標表示兩個斜率，然后作商，將韋達定理代入即可判斷.
【詳解】（1）由題意知圓心，半徑為4，且，，則，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓，
設曲線的方程為，則，解得，
所以，
所以曲線的方程為；

（2）（ⅰ）因為直線的斜率一定存在，設直線的方程為，
因為在上，所以，
由得，
，設，
則，由得，
化簡得，則，
化簡得，又因為，所以，
所以點在定直線上.
（ⅱ）因為直線過1,0，所以，直線方程為，
從而得，，
由（ⅰ）知，，，
所以
，
所以存在實數(shù)λ=12，使得.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
10．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由點，的坐標可知，結合離心率可得，即可得，即可得雙曲線方程；
（2）設出Mx1,y1，Nx2,y2，可表示出直線與的方程，借助聯(lián)立直線l與G所得韋達定理計算即可得證點在定直線上；由雙曲線的對稱性可得點亦在該直線上，借助韋達定理，通過計算F2P?F2Q的值從而得證.
【詳解】（1）由點，的坐標可知，
離心率為e=ca=54，故，所以b=c2?a2=3，
所以雙曲線方程為；
（2）（?。┰O直線為：x=my+5，聯(lián)立雙曲線得x=my?5x216?y29=1，
消去得：9m2?16y2+90my+81=0，
根據(jù)題意得：9m2?16≠0，Δ=8100m2?4×819m2?16=64×811+m2>0
設Mx1,y1，Nx2,y2，則y1+y2=?90m9m2?16，y1y2=819m2?16，
x1+x2=?1609m2?16>0，x1x2=?400+144m29m2?16>0，故m2