高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章專題六幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題課件

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章專題六幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題課件，共54頁(yè)。PPT課件主要包含了3πB2，C2π，D3π，圖6-1，答案C，答案A，內(nèi)切球半徑r＝，V棱錐S表，圖D33，圖D34等內(nèi)容，歡迎下載使用。
簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力.此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心 O 的位置問(wèn)題，其中球心的確定是關(guān)鍵.
定義法一般用于解決旋轉(zhuǎn)體、正棱錐以及正棱柱的切、接問(wèn)題.球心一般在旋轉(zhuǎn)體的軸或正棱錐的高所在的直線上，解題的關(guān)鍵是先作軸截面并大致作出球心，再用待定系數(shù)法把關(guān)鍵長(zhǎng)度設(shè)為未知數(shù)，根據(jù)外接球的球心到球面上各點(diǎn)距離相同、內(nèi)切球的球心到各切點(diǎn)距離相同，最后用勾股定理等幾何方法求出球的半徑.
[例 1]已知一個(gè)圓錐底面半徑為 1，母線長(zhǎng)為 3，則該圓錐內(nèi)
解析：依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖6-1 所示.設(shè)球的半徑為 r，易知軸截面三角形邊 AB
[例 2]棱長(zhǎng)為 1 的正四面體 ABCD 內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球 O，M 為CD 中點(diǎn)，N 為 BM 中點(diǎn)，連接 AN 交球 O 于 P，Q 兩點(diǎn)，則 PQ
解析：如圖6-2所示，設(shè)△BCD的中心為E，則AE⊥平面BCD.圖 6-2因?yàn)檎拿骟w ABCD 的棱長(zhǎng)為 1，
作出正四面體 ABCD 過(guò) A，B，M 三點(diǎn)的截面，如圖 6-3 所示.圖 6-3
【題后反思】三棱錐的內(nèi)切球半徑可通過(guò)等體積法求得，即
.注意四棱錐不一定有內(nèi)切球.
1.某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為 1 和 2，若該圓臺(tái)的外接球
的表面積為 16π，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)_________.
解析：因?yàn)閳A臺(tái)上、下底面的圓心與球心在同一直線上，所以設(shè)球心到上底面的距離為 d1，到下底面的距離為 d2，圓臺(tái)的軸截面如圖 D33 所示.
因此球的半徑 R 滿足 R2＝r2＋d2＝12＋3＝15.所以外接球的表面積 S＝4πR2＝4π×15＝60π.答案：60π
若幾何體可通過(guò)補(bǔ)形的方法變成常見(jiàn)的易求外接球的幾何體(如長(zhǎng)方體、圓柱、直棱柱等)，可通過(guò)求補(bǔ)形后的幾何體的外接球半徑來(lái)確定原幾何體的外接球半徑.
∴PA2＋PB2＋PC2＝8.
以 PA ，PB，PC 為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作
長(zhǎng)方體，如圖 6-4 所示.
[例 5]在三棱錐 A-BCD 中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝
BD＝3，則三棱錐 A-BCD 的外接球的表面積為(
解析：如圖6-5，把三棱錐 A-BCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體AHDG-EBFC.
長(zhǎng)方體的外接球?yàn)槿忮F A-BCD 的外接球.
外接球，所得截面的面積是
[例 6](多選題)在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的四面體被稱為鱉臑.如圖 6-6，在四面體 S-ABC 中，△ABC 是直角三角形，AB⊥BC，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 SB，BC 的中點(diǎn)，且 AE⊥SC，
SA＝AB＝2，SC＝2
　，BC＝4，則下列說(shuō)法正確的是(
A.BC⊥平面 SABB.四面體 S-ABC 是鱉臑C.點(diǎn) E 是四面體 S-ABC 外接球的球心D.過(guò) A，E，F(xiàn) 三點(diǎn)的平面截四面體 S-ABC 的
解析：∵SA＝AB，SE＝EB，∴AE⊥SB.又 AE⊥SC，SB∩SC＝S，
∴AE⊥平面 SBC，則 AE⊥BC.又 AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB，故 A 正確.
由 BC⊥平面 SAB，得 BC⊥SA，∵AB＝2，BC＝4，
又 SA＝2，SC＝2
∴SA2＋AC2＝SC2，可得SA⊥AC.而 AC∩BC＝C，∴SA⊥平面 ABC.綜上所述，四面體 S-ABC 的四個(gè)面都是直角三角形，四面體S-ABC 是鱉臑，故 B 正確.∵△SAC，△SBC 都是以 SC 為斜邊的直角三角形，則 SC 的中點(diǎn) G 為四面體 S-ABC 外接球球心，故 C 錯(cuò)誤.
如圖 6-7 所示，把四面體 S-ABC 補(bǔ)全為長(zhǎng)方體 ABCD-SPMN，其中 SA，AB，BC 為長(zhǎng)方體中首尾相連且兩兩相互垂直的三條棱，點(diǎn) H 為 PM 中點(diǎn).
解析：如圖 D35 所示，把正四面體 P-ABC 補(bǔ)全為正方體
AMPN-HBGC，其中正四面體的楞均為正方體表面的對(duì)角線.正四面體 P-ABC 外接球的球心為正方體的中心 O，F(xiàn) 為 AC 中點(diǎn)，連接 OF.
∵點(diǎn) Q 是球面上任意一點(diǎn)，
4.(多選題)如圖 6-8，在多面體 ABCDEF 中，底面 ABCD 為正方形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，點(diǎn) G 為線
段 AF 上的動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是(
A.DF⊥平面 AECB.多面體 ABCDEF 的外接球的表面積為 3π
解析：如圖 D36 所示建立空間直角坐標(biāo)系.
D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
E(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，1).
又 AC∩AE＝A，∴DF⊥平面 AEC，故 A 正確.
∵底面 ABCD 為正方形，BF⊥底面 ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，∴幾何體 ABCDEF 可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，如圖 D37 所示.
取 DF 的中點(diǎn) O，可得 O 為正方體外接球的球心，即 O 為幾何體 ABCDEF 外接球的球心.
∴幾何體 ABCDEF 的外接球的半徑為 R＝
其表面積為S＝4πR2＝3π，故B正確.
如圖 D38 所示，把△ADF 沿AF折成與△BAF共面，連接BD.
【題后反思】補(bǔ)形法的注意事項(xiàng)
(1)若幾何體存在三條兩兩互相垂直的棱，可通過(guò)構(gòu)造墻角模型把幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(如圖 6-9)，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2 求出外接球的半徑 R.
(2)若三棱錐的對(duì)棱兩兩等長(zhǎng)，則可把六條棱看作是長(zhǎng)方體六個(gè)面的對(duì)角線(如圖 6-10)，通過(guò)列方程組的方式求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，外接球的半徑 R 為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的一半.特別地，正四面體可補(bǔ)形成正方體，這也是正四面體常用的
(3)需要注意的是，原幾何體的頂點(diǎn)必須是補(bǔ)形后幾何體的頂點(diǎn)，否則不能通過(guò)補(bǔ)形法來(lái)求外接球.
題型三 利用三角形的外心探索外接球BD⊥CD.將其沿對(duì)角線 BD 折成四面體 A′BCD，使平面 A′BD⊥平面 BCD.若四面體 A′BCD 的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為
解析：如圖 6-11，設(shè) BD，BC 的中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn)，連接 A′E，EF.∵點(diǎn) F 為底面 Rt△BCD 的外心，∴四面體 A′BCD 的外接球的球心必在過(guò)點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上.又點(diǎn)E為Rt△A′BD
∴外接球的球心必在過(guò)點(diǎn) E 且與平面 A′BD 垂直的直線 l2 上.∴球心為 l1 與 l2 的交點(diǎn).又 FE∥CD，CD⊥BD，
∴FE⊥平面 A′BD.∴球心為點(diǎn) F.又 A′B＝A′D＝CD＝1，
【題后反思】(1)三棱錐外接球的球心在三棱錐各個(gè)面上的正投影為各個(gè)面三角形的外心.(2)若三棱錐中有一條側(cè)棱與底面垂直，則三棱錐外接球的半
，其中 r 是底面三角形外接圓的半徑，h 是三棱
【互動(dòng)探究】5.在邊長(zhǎng)為 3 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，將△ABD 繞直線 BD 旋轉(zhuǎn)到△A′BD，使得四面體 A′BCD 外接球的表面積為 18π，
則此時(shí)二面角 A′-BD-C 的余弦值為(
解析：如圖 D39 所示，取 BD 的中點(diǎn) E，連接 A′E，CE，則BD⊥A′E，BD⊥CE.由題意可知△A′BD 和△BCD 都是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形，設(shè) M，N 分別是△A′BD和△BCD的外心，過(guò) M，N 分別作兩平面的垂線，則垂線的交點(diǎn)就是四面體外接球的球心 O.
∴∠A′EC 為二面角 A′-BD-C 的平面角.設(shè)∠A′EO＝θ，則∠A′EC＝2θ.
∵四面體 A′BCD 外接球的表面積為 18π，
∴外接球的半徑 R 滿足 4πR2＝18π.