江蘇省蘇州市部分學校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學試題（原卷版）

這是一份江蘇省蘇州市部分學校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學試題（原卷版），共6頁。
暨普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學科模擬試卷
數(shù)學
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 所在的象限為（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 過原點的圓的圓心為，則原點處與圓相切的直線的傾斜角為（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（ ）
A. B.
C D.
4. 已知正四棱錐的8條棱長均相等，為頂點在底面的射影，則（ ）
A. 側(cè)棱與底面所成角的大小為
B. 設，為正方形邊上的兩點，則二面角的值大于
C. 側(cè)面與底面所成角的大小為
D. 設為正方形上的點，則直線與底面所成角的最大值為
5. 命題為的根，命題若，則，則命題為命題的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 在實際生活中，我們會用鐵片焊接到鋼管上以保證管道正常使用．更極端地，我們可以用有限個鐵片焊接到鋼管上繞整個鋼管側(cè)面一周，其類似下面的數(shù)學概念．稱為緊致的，如果對任意滿足的開集族，都存在有限的，使得．稱一個集合為開集，如果對其中任意一個點，都存在一個，使得以為球心，為半徑的球的內(nèi)部包含于．則以下集合中，緊致的集合的個數(shù)為（ ）
①，②，③.
A 0個B. 1個C. 2個D. 3個
7. 奇函數(shù)于上連續(xù)，滿足當時，，且，若對任意使得直線，垂直正數(shù)，都有：，則的最大可能值為（ ）
A. B. C. D.
8. 考慮從到的所有正整數(shù)．我們作一個的數(shù)表，使得若為的倍數(shù)，則在位置填入，否則填為，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（ ）（已知）
A B. C. D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得6分，漏選得部分分，錯選或不選得0分．
9. 1843年，Hamiltn在愛爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當時他正研究擴展復數(shù)到更高的維次（復數(shù)可視為平面上的點）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在Brughant Bridge．對四元數(shù)，的單位，其運算滿足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為，則以下說法中正確的有（ ）
A. 集合的元素按乘法得到一個八元集合
B. 若非零元，則有：
C. 若，則有：
D. 若非零元，則有：
10. 考慮函數(shù)，記函數(shù)，其中為的整數(shù)部分，定義為在上滿足的根的個數(shù)，則以下說法正確的有（ ）
A. 的值域為B.
C. 為周期函數(shù)當且僅當為有理數(shù)D. 對成立
11. 在現(xiàn)實的經(jīng)濟生活中，投資者在面對不確定性時往往表現(xiàn)出風險厭惡的特征．當投資者的財富發(fā)生變化時，其用于投資風險資產(chǎn)的絕對量和相對量都將會發(fā)生變化．假設一名風險厭惡的投資者的效用函數(shù)（，為一連續(xù)區(qū)間）是可導且其導函數(shù)也可導的．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減絕對風險厭惡的；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱該投資者是遞減相對風險厭惡的．則以下哪些效用函數(shù)對應的投資者是遞減絕對風險厭惡的，但不是遞減相對風險厭惡的？（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的兩個空中，第一個空2分，第二個空3分．
12. 已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：
則流水線2的均值為__________，流水線3的標準差為__________．
13. 數(shù)列滿足，其中，，．當，時，該數(shù)列的通項公式為__________，若該數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)，都有：，當時，符合條件的正整數(shù)對的個數(shù)為__________．其中為的最大公因數(shù)．
14. 已知拋物線的焦點為，滿足若過點的直線交于，則有．在上有三點構(gòu)成等邊三角形，其中心的軌跡記為，則的軌跡方程為___________，試給出一圓，使得對上任意一點，過點作的兩條切線分別交于不同于的點，則必為的切線：___________．
四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 雙曲線，為兩焦點，為的頂點，為上不同于的一點．
（1）證明：，的角平分線的交點的軌跡為一對平行直線的一部分，并求出這對平行線的方程；
（2）若平面上僅有的曲線，沒有坐標軸和坐標原點，請給出確定的兩個焦點的位置的方法并給出作長為的線段的方法．（敘述即可）
16. 在高中課本中，我們研究導數(shù)是在實數(shù)上研究的．實際上，求導（微分）是一個局部性質(zhì)．那么我們能不能在某些范圍內(nèi)推廣導數(shù)這一種局部性質(zhì)．我們在高中課本中講到：若在附近連續(xù)，且若存在，則為點處的導數(shù)．我們能不能將概念推廣到復數(shù)域上呢？顯然，我們是可以做到的．此時考慮函數(shù)，若在附近連續(xù)（實際上可以考慮一個非常非常小的圓），且若存在，則為點處的導數(shù)．
（1）按此定義，驗證導數(shù)除法公式在復函數(shù)求導下仍然成立．
（2）更一般地，若在某個區(qū)域上均可導，我們稱為上解析的函數(shù)．考慮復函數(shù)，其中為一個模長小于的復數(shù)，為一個模長為的復數(shù)．證明：
①該復函數(shù)將上的點映為上的點，且將上的點映為上的點．
②為上的解析函數(shù)．
（3）已知：（?。┤艉瘮?shù)為上的解析函數(shù)，且值域在中，滿足，則有：．
（ⅱ）若函數(shù)，分別為，上的解析函數(shù)，則為上的解析函數(shù)．
此時若為上的解析函數(shù)，且值域在中，滿足，證明：．
17. 將全體定義在上的函數(shù)的集合記為．對，，定義上的函數(shù)之間的加法和數(shù)乘運算：，．已知為一個滿足線性關(guān)系的映射，即，，這里，，且滿足對任意整數(shù)，有，數(shù)列，，其中．
（1）求，的遞推公式；（不需要提供初值，遞推公式可以由，組成）
（2）若滿足，，且為單調(diào)遞減的正項數(shù)列：
①求，的通項公式；
②記，記為的前項和，證明：為定值，并求出該定值．
18. 在中，，的外接圓圓心為，內(nèi)切圓的圓心為，垂心為，為的中點，在上的投影為，以為半徑作．
（1）證明：，相切；
（2）記，的切點為，直線交于點，為線段上一點，滿足，證明：直線和的交點在的外接圓上．
19. 設為空間直角坐標系中的一個非空閉凸集，即，且若，則對任意有，且對任意的，都存在，使得，這里為線段的長度．稱的下確界或最大下界為，定義為小于等于在中的所有數(shù)的最大實數(shù)，如果不存在這樣的實數(shù)，則記為．已知若為閉集，則為開集.
（1）設點，，證明：為非空閉凸集，并求．
（2）證明：對任意，存在唯一的一個，使得；
（3）證明：對任意，存在非零向量以及實數(shù)，使得對任意，都有：．
流水線1
流水線2
流水線3
總計
方差
0.825
0.634
0.810
均值
9.0
9.4
9.2