黑龍江省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

這是一份黑龍江省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析），共20頁(yè)。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答等內(nèi)容，歡迎下載使用。
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.本卷滿(mǎn)分 150分，考試時(shí)間120分鐘. 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．為了學(xué)習(xí)?宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學(xué)生開(kāi)展了以“學(xué)黨史?知國(guó)情?圓夢(mèng)想”為主題的黨史暨時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).已知該班男生26人，女生24人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，男生組成績(jī)和女生組成績(jī)的平均分分別為82，86，則該班成績(jī)的平均分是（ ）
A．82B．83.24C．83.92D．84
4．已知向量，，則 是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3B．9C．D．
6．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（ ）
A．B．1C．D．
7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開(kāi)始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若過(guò)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（ ）
A．的離心率為B．
C．點(diǎn)到直線的距離為D．的周長(zhǎng)為8
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則（ ）
A．該正方體外接球的表面積為
B．直線與所成角的余弦值為
C．平面截正方體所得截面為等腰梯形
D．點(diǎn)到平面的距離為
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)
B．直線是函數(shù)與圖象的公共切線
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方
D．當(dāng)時(shí)，
三、填空題：本題共3 小題，每小題5分，共15分.
12．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是18，則的值為 .
13．如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為3，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的高為 ，體積為 .
14．已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作的一條漸近線的垂線并交于兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求函數(shù)的最值.
16．2023 年是全面貫徹落實(shí)黨的二十大精神的開(kāi)局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項(xiàng)目組統(tǒng)計(jì)了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值如下：
年份代碼x，綜合產(chǎn)值y（單位：億元）
(1)請(qǐng)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)，推斷y與x之間的相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng);若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）
(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè) 2024 年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.
參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程 中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.
參考數(shù)據(jù)：
17．如圖，四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，，.
(1)求證：；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得的弦長(zhǎng)為4.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，求的最小值.
19．已知集合是公比為2的等比數(shù)列且構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，將集合的元素按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為.
①若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最大值；
②若，數(shù)列的前5項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，且，試寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列.
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼x
1
2
3
4
5
綜合產(chǎn)值y
1.5
2
3.5
8
15
1．D
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出再判斷.
【詳解】，
所以在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.
故選：D
2．A
【分析】
解不等式得到集合A，B，再由，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，?br>又，所以，故.
故選：A.
3．C
【分析】
求得班級(jí)得分總和再求平均數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，可得該班成績(jī)的平均分是.
故選：C
4．A
【分析】
利用垂直關(guān)系的向量表示及向量模的坐標(biāo)表示求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】向量，，由，得，
解得，顯然當(dāng)時(shí)，有成立，
所以是“”的充分不必要條件.
故選：A
5．B
【分析】
用偶函數(shù)的定義求解.
【詳解】已知且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則有，
即，化簡(jiǎn)得，所以.
故選：B
6．B
【分析】
當(dāng)最大時(shí)，與圓相切，連接，求得，從而.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，點(diǎn)，
如圖所示：當(dāng)最大時(shí)，與圓相切，連接，可知，
，
故，所以.
故選：B
7．C
【分析】
根據(jù)函數(shù)的圖象求得解析式，令求解零點(diǎn).
【詳解】由圖可知，
所以.
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在的單調(diào)增區(qū)間上，
所以，
因?yàn)椋?
令，得或，
所以或，
又，所以或或或或，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn).
故選：C
8．D
【分析】
寫(xiě)出甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)得到數(shù)列遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】因?yàn)榛卮鸬陬}時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，
所以，
由題意知，則，
所以是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
顯然數(shù)列遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為.
故選：D.
9．ABD
【分析】
對(duì)A：由橢圓方程判斷；對(duì)B：由為等邊三角形計(jì)算；對(duì)C：利用點(diǎn)到直線的距離判斷；對(duì)D：利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)求解.
【詳解】對(duì)A： 由題知，，所以離心率，A正確；
對(duì)B：，所以為等邊三角形，，B正確；
對(duì)C：因?yàn)橹本€的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，錯(cuò)誤；
對(duì)D：由題知直線為的角平分線，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以的周長(zhǎng)8，即的周長(zhǎng)為正確.
故選：ABD
10．ABD
【分析】
根據(jù)正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線可求外接球的表面積，可判斷A的真假；利用平行把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，再利用三角形的邊角關(guān)系可求異面直線所成角的三角函數(shù)，判斷B的真假；做出截面，判斷截面形狀，可判斷C的真假；構(gòu)造三棱錐，利用體積法求點(diǎn)到面的距離，可判斷D的真假.
【詳解】對(duì)A：棱長(zhǎng)為3的正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為：，
所以所求正方體的外接球表面積為：，故A正確；
對(duì)B：如圖
連接，∵，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)為.
在中，，，，
所以，所以，故B正確；
對(duì)C：如圖：
取中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，
所以平面截正方體所得截面為梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：如圖：
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
而，
，
所以：，故D正確.
故選：ABD
11．BC
【分析】
根據(jù)零點(diǎn)定義判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線判斷B；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值判斷C；利用賦值法判斷選項(xiàng)D
【詳解】因?yàn)?，
所以是函數(shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)；
，
所以函數(shù)與在處的切線方程為，即，
所以直線是函數(shù)與圖象的公共切線，故B對(duì)；
令，
，
令，解得；令，解得；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
由于，所以恒成立，
即恒成立，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方，故C對(duì)；
由， 令時(shí)，，
，
而，
所以，故D錯(cuò)；
故選：BC
12．3
【分析】
求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，由項(xiàng)的系數(shù)是18求得的值.
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，所以.
故答案為：3
13．
【分析】
根據(jù)最短路程為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，由余弦定理求得及，再求得圓錐的高與體積.
【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示：
該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，由余弦定理可得：
，所以.
設(shè)底面圓的半徑為，則有，解得，
所以這個(gè)圓錐的高，體積.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，該小蟲(chóng)爬行的最短路程為側(cè)面展開(kāi)圖中之間的距離.
14．
【分析】
設(shè)方程，根據(jù)求得方程，再由雙曲線定義求的周長(zhǎng).
【詳解】由，得，
則雙曲線，
，漸近線，
不妨設(shè)直線，，
聯(lián)立方程消去得，
則，
可得，解得，可得，
由雙曲線的定義可得，
則，
可得，所以的周長(zhǎng).
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線中，直線過(guò)焦點(diǎn)，，則的周長(zhǎng).
15．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)最小值為，無(wú)最大值.
【分析】
（1）求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)遞增的，且，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）的結(jié)論直接求解.
【詳解】（1）已知函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>,
易知均在單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞增，且，
故單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可知的最小值為，無(wú)最大值.
16．(1)線性相關(guān)性程度很強(qiáng)，理由見(jiàn)解析；
(2)，2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值為億元.
【分析】
（1）根據(jù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)，得到結(jié)論.
（2）根據(jù)公式求出和，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并令，預(yù)測(cè)2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)量.
【詳解】（1）依題意，，，
，
，，
故，
所以線性相關(guān)性程度很強(qiáng).
（2）由（1）得，則，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【詳解】（1），，，
，
又在直角梯形，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋?br>所以，則，即，可得，
，即，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
.
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，則平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)平行為軸，
過(guò)點(diǎn)平行為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，
令，得，則，
又易得平面的一個(gè)法向量為，
，易知二面角的正弦值為.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，根據(jù)條件求得的軌跡方程；
（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立得韋達(dá)定理，將表示為的函數(shù)求最小值.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，
到軸距離為，動(dòng)圓截軸所得半弦長(zhǎng)為2，
則，化簡(jiǎn)得；
所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
（2）
設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由題易知直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，
與的軌跡方程聯(lián)立得
消去得，
由在拋物線內(nèi)部，故，所以.
由（1）知，為軌跡的焦點(diǎn)，由拋物線定義得，
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.
由拋物線定義知.
綜上，的最小值為.
19．(1)
(2)① 32；②
【分析】
（1）利用基本量法得到公比q的方程，得到q,進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；
（2）①確定兩數(shù)列的公共元素，并結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求解；②對(duì)元素2進(jìn)行分類(lèi)討論，確定.
【詳解】（1）是公比為2的等比數(shù)列且構(gòu)成等比數(shù)列.
則，即，
解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）
①,設(shè)其前n項(xiàng)和，
,設(shè)其前n項(xiàng)和，
集合中的所有元素的最小值為，
且三個(gè)元素是中前205項(xiàng)中的元素，
且是中的元素，
又．
又，
故，
且,
故使成立的的最大值是32.
②因?yàn)?，中的元素按從小到大的順序記為?br>對(duì)集合中的元素2進(jìn)行分類(lèi)討論：
當(dāng)時(shí)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，；
因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，2，，4；
這樣，則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，，2，，4，，
，，8；上述數(shù)列符合要求；
當(dāng)時(shí)，有，即數(shù)列的公差，
，1，2，；
，2，4在數(shù)列的前8項(xiàng)中，由于，這樣，，，，
以及1，2，4共9項(xiàng)，
它們均小于8，即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾，所以也不成立；
綜上所述，；
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的公共項(xiàng)問(wèn)題，關(guān)鍵是利用數(shù)列特點(diǎn)確定公共項(xiàng)，并估算和為2024的大概位置.