2024-2025 學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三專題7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列（3類必考點(diǎn)）

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專題7.2 離散型隨機(jī)變量及其分布列  TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"   HYPERLINK \l "_Toc128127190" 【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】  PAGEREF _Toc128127190 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc128127191" 【考點(diǎn)1：隨機(jī)變量】  PAGEREF _Toc128127191 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc128127258" 【考點(diǎn)2：求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列】  PAGEREF _Toc128127258 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc128127612" 【考點(diǎn)3：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】  PAGEREF _Toc128127612 \h 8  【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】 1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念 (1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì) (1)概念：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： 此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．有時(shí)也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1. 3．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用： (1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值； (2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率； (3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確． [方法技巧] 求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟 (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確．　　 【考點(diǎn)1：隨機(jī)變量】 【知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量】 1．（2024高二上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤） （1）隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無(wú)限個(gè)．( ) （2）在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．( ) （3）隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量．( ) （4）甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3.( ) 2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）袋中有2個(gè)黑球、5個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是（????） A．取到的球的個(gè)數(shù) B．取到紅球的個(gè)數(shù) C．至少取到一個(gè)紅球 D．至少取到一個(gè)紅球的概率 3．（2024高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（????） A．2枚都是4點(diǎn) B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn) C．2枚都是2點(diǎn) D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn) 4．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）某袋中裝有大小相同的10個(gè)紅球，5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，若取到黑球，則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?，若抽取的次?shù)為X，則表示“放回5個(gè)球”的事件為（????） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南周口·期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量： ①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)； ②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置； ③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)； ④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離． 其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（????） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多選）（23-24高二下·陜西西安·階段練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（ ?? ） A．甲贏三局 B．甲贏一局輸兩局 C．甲、乙平局三次 D．甲贏一局 7．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為． (1)借助合適的符號(hào)，用列舉法寫出樣本空間； (2)求出隨機(jī)變量X的取值范圍． 8．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）下列變量中哪些是隨機(jī)變量？如果是隨機(jī)變量，那么可能的取值有哪些？ (1)一個(gè)實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，3，4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為X； (2)明天的降雨量L（單位：mm）； (3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X． 【考點(diǎn)2：求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列】 【知識(shí)點(diǎn)：求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量的分布列】 1．（23-24高二下·河南新鄉(xiāng)·期中）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（????） A． B． C．?? D．??? 2．（2024·全國(guó)·高考模擬）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有個(gè)紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為： ． 3．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）將10個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，其中6個(gè)白球，4個(gè)紅球．現(xiàn)從袋中任取一個(gè)球，用X表示“取到白球”，即求隨機(jī)變量X的概率分布． 4．（2024高二·江蘇·課時(shí)練習(xí)）一種新型節(jié)能燈使用壽命低于1000 h的概率為0.1，定義隨機(jī)變量，試寫出隨機(jī)變量X的概率分布列． 5．（2024高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日晴天的概率為0.4，陰天的概率為0.2，下雨的概率為0.4，試寫出銷售這批西瓜獲利的分布列． 6．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績(jī)?nèi)缦拢?現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績(jī)，求隨機(jī)變量X的分布列． 7．（2024高二上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為： 求隨機(jī)變量的分布列． 8．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）將個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào).現(xiàn)從中任取個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼. (1)求的分布列； (2)求的概率. 9．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為 （1）求的分布列； （2）求的分布列． 10．（23-24高二下·廣東東莞·期中）一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，白球有3個(gè)，從中任意取出3個(gè)球. (1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率； (2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列. 【考點(diǎn)3：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】 【知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)】 1．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列如表格所示，其中，則等于（????） A． B． C． D． 2．（2024高二下·江西宜春·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X 的 分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量，則（????） A． B． C． D． 3．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列表格可以作為ξ的分布列的是（????） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山東德州·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y（x，）代替，分布列如下： 則（????） A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為： 則 ． 6．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為 . 7．（23-24高二上·吉林·期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示： 則 . 8．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為 求隨機(jī)變量的分布列． 9．（2024高二下·河北秦皇島·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 (1)求的分布列； (2)求． 10．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）若盒中裝有同一型號(hào)的燈泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會(huì)議室的一只壞燈泡，每次從中取一只燈泡，若是合格品則用它更換壞燈泡，若是次品則將其報(bào)廢（不再放回原盒中），求成功更換會(huì)議室的壞燈泡前取出的次品燈泡數(shù)X的分布列.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX12PX01PX012PX012P012分?jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204X01234P0.20.10.10.3m012340.20.10.10.30.301X0123Pa5a013Pa1－a123P145P01－112P2a1234560.210.200.100.10123m012312340.10.3X123456PX01234P0.20.10.10.3m