2024年福建南平中考真題數(shù)學(xué)試題及答案

這是一份2024年福建南平中考真題數(shù)學(xué)試題及答案，共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．下列實數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A．B．0C．D．
2．據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
4．在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
5．下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（ ）
A．B．C．D．
8．今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數(shù)，使得B．無論實數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個實數(shù)，使得D．無論實數(shù)取什么值，都有
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．
11．因式分解：x2+x= ．
12．不等式的解集是 ．
13．學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機抽取了12名學(xué)生進行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是 ．（單位：分）
14．如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為 ．

15．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為 ．
16．無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則 ．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）
三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．計算：．
18．如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．
19．解方程：．
20．已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分：乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．
(1)求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；
(2)若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．
21．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．
22．如圖，已知直線．
(1)在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．
23．已知實數(shù)滿足．
(1)求證：為非負數(shù)；
(2)若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．
24．在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．
圖1 圖2 圖3
(1)直接寫出的值；
(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（ ）
圖4
A． B．
C． D．
(3)
現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調(diào)整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．
（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）
25．如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
(1)求的值；
(2)求證：；
(3)求證：與互相平分．
卡紙型號
型號Ⅰ
型號Ⅱ
型號Ⅲ
規(guī)格（單位：cm）
單價（單位：元）
3
5
20
1．D
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇項．
本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等數(shù)．
【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是
故選：D．
2．C
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義解答，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．
本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟悉科學(xué)記數(shù)法概念是解題的關(guān)鍵．
【詳解】
故選：C．
3．C
【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【詳解】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內(nèi)部中間是一個長方形．
故選：C．
4．A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由，可得，即可求解．
【詳解】∵，
∴，
∵，則，
∴，
故選：A．
5．B
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項運算法則．
利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項計算后判斷正誤．
【詳解】解：，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項錯誤；
，D選項錯誤；
故選：B．
6．B
【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是
，
故選：B
7．A
【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵，為的中點，
∴
∵
∴
∵直線與相切，
∴，
∴
故選：A．
8．A
【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．
【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：
，
故選：A．
9．B
【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；
A.由對稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得 ，，即可判斷；
B.不一定等于，即可判斷；
C.由對稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；
D. 過作，可得 ，由對稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；
掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A.，
，
由對稱得，
點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，
，，
，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
B.不一定等于，結(jié)論錯誤，故符合題意；
C.由對稱得，
∵點 E ，F(xiàn)分別是底邊的中點，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
D.
過作，
，
，
，由對稱得，
，
同理可證，
，結(jié)論正確，故不符合題意；
故選：B．
10．C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，， 的大小情況，即可解題．
【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，
當時，，
，
當時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，
由二次函數(shù)對稱性可知，，
當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
11．
【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【詳解】解：
12．
【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：．
13．90
【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的求法，難度不大．
根據(jù)中位數(shù)的定義（數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)進行計算即可；
【詳解】解：∵共有12個數(shù)，
∴中位數(shù)是第6和7個數(shù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)是；
故答案為：90．
14．2
【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點的性質(zhì)得到，進而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．
【詳解】解：正方形的面積為4，
，，
點，，，分別為邊，，，的中點，
，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
故答案為：2．
15．
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)得出，設(shè)，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應(yīng)用得出，結(jié)合，則，即可作答．
【詳解】解：如圖：連接
∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且
∴
設(shè)，則
∵
∴
則
∵點在第一象限
∴
把代入得
∴
經(jīng)檢驗：都是原方程的解
∵
∴
故答案為：
16．128
【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．
【詳解】解：如圖，
∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由題意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案為：
17．4
【分析】本題考查零指數(shù)冪、絕對值、算術(shù)平方根等基礎(chǔ)知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)零指數(shù)冪、絕對值、算術(shù)平方根分別計算即可；
【詳解】解：原式．
18．見解析
【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．
【詳解】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
．
19．．
【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．
【詳解】解：，
方程兩邊都乘，得．
去括號得：，
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的根．
20．(1)86；
(2)不能，舉例見解析．
【分析】本小題考查加權(quán)平均數(shù)等基礎(chǔ)知識，
（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可．
【詳解】（1）由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為．
（2）不能．
舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為
．
因為，
所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比地考生數(shù)學(xué)平均分高．
21．(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．
【詳解】（1）解：將代入，
得，
解得，
所以，二次函數(shù)的表達式為．
（2）設(shè)，因為點在第二象限，所以．
依題意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以點坐標為．
22．(1)見解析；
(2)的面積為1或．
【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：
（1）先作出與的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；
（2）分；；三種情況，結(jié)合三角形面積公式求解即可
【詳解】（1）解：如圖，
直線就是所求作的直線．
（2）①當時，
，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：，
，
．
②當時，
分別過點作直線的垂線，垂足為，
．
，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③當時，同理可得，．
綜上所述，的面積為1或．
23．(1)證明見解析；
(2)不可能都為整數(shù)，理由見解析．
【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意識等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力．
（1）根據(jù)題意得出，進而計算，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析即可．
【詳解】（1）解：因為，
所以．
則
．
因為是實數(shù)，所以，
所以為非負數(shù)．
（2）不可能都為整數(shù)．
理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．
①當都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．
又，所以．
因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
②當為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．
又因為，所以．
因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
綜上所述，不可能都為整數(shù)．
24．(1)2；
(2)C；
(3)見解析．
【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）由折疊和題意可知，，，四邊形是正方形，得到，即，即可求解；
（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；
（3）由題意可得，每張型號卡紙可制作10個正方體，每張型號卡紙可制作2個正方體，每張型號卡紙可制作1個正方體，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：
上述圖形折疊后變成：
由折疊和題意可知，，，
∵四邊形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值為：．
（2）解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應(yīng)面上，“祥”和“意”在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，
∴C選項符合題意，
故選：C．
（3）解：
根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為，則要制作一個邊長為的正方體的展開圖形為：
∴型號卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：
型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：
型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：
∴可選擇型號卡紙2張，型號卡紙3張，型號卡紙1張，則
（個），
∴所用卡紙總費用為：
（元）．
25．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結(jié)果；
（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得
，再證得，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出， 得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．
【詳解】（1），且是的直徑，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
（2）過點作，交延長線于點．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
．
（3）如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．
卡紙型號
型號
型號
型號
需卡紙的數(shù)量（單位：張）
1
3
2
所用卡紙總費用（單位：元）
58