【期末真題】人教版高一下學期期末數(shù)學真題檢測03（原卷版+解析版）

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【期末真題】人教版高一下學期
期末數(shù)學真題檢測03（解析版）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本題先將化簡為的代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)的定義建立方程求參數(shù).
【詳解】解：∵ 是純虛數(shù)，
∴ ，解得：，
故選：B.
【點睛】考查復數(shù)的代數(shù)形式以及純虛數(shù)的定義，是基礎題.
2. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高，現(xiàn)隨機抽取6位小區(qū)居號，他們的幸福感指數(shù)分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
把該組數(shù)據(jù)從小到大排列，計算，從而找出對應的第80百分位數(shù)；
【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，7，8，9，且，
故選：C.
【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的百分數(shù)問題，屬于基礎題.
3. 設為平面，，為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是( )
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空間線線、線面、面面間的關系對每一個選項逐一分析判斷得解．
【詳解】若，，則與相交、平行或異面，故錯誤；
若，，則由直線與平面垂直的判定定理知，故正確；
若，，則或，故錯誤；
若，，則，或，或與相交，故錯誤．
故選：．
【點睛】本題考查命題的真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
4. 已知在平行四邊形中，點、分別是、的中點，如果，，那么向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結果.
【詳解】如下圖所示：
點、分別是、的中點，.
故選：B.
【點睛】本題考查平面向量的基底分解，考查計算能力，屬于基礎題.
5. 已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設圓錐的底面半徑為，高為，母線為，根據(jù)其表面積為，得到，再由它的側面展開圖是一個半圓，得到，聯(lián)立求得半徑和高，利用體積公式求解.
【詳解】解：設圓錐的底面半徑為，高為，母線為，
因為其表面積為，
所以，
即，
又因為它的側面展開圖是一個半圓，
所以，
即，
所以，
所以此圓錐的體積為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查圓的面積、周長、圓錐的側面積及體積等知識點，考查運算求解能力，屬于基礎題型.
6. 《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機選1匹馬進行1場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題先將所有的基本事件都列出來共9種，再將田忌的馬獲勝的事件選出共3種，最后計算概率即可.
【詳解】解：設田忌的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，齊王的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，雙方各自隨機選1匹馬進行1場比賽產生的基本事件為：，，，，，，，，，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：，，，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：.
故選：C.
【點睛】本題考查古典概型，是基礎題.
7. 如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，，從點測得．已知山高，則山高（單位：）為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
計算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計算出.
【詳解】在中，，為直角，則，
在中，，，則，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故選：A.
【點睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.
8. 如圖，在平面直角坐標系中，原點為正八邊形的中心，軸，若坐標軸上的點（異于點）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點的個數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分點在、軸進行分類討論，可得出點、關于坐標軸對稱，由此可得出點的個數(shù).
【詳解】分以下兩種情況討論：
①若點在軸上，則、關于軸對稱，
由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，
此時，符合條件的點有個；
②若點在軸上，則、關于軸對稱，
由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，
此時，符合條件的點有個.
綜上所述，滿足題中條件的點的個數(shù)為.
故選：D.
【點睛】本題考查符合條件的點的個數(shù)的求解，考查了平面向量加法法則的應用，屬于中等題.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 已知復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則下列關于復數(shù)z的結論正確的是（ ）
A.
B. 復數(shù)z的共軛復數(shù)為＝﹣1﹣i
C. 復平面內表示復數(shù)z的點位于第二象限
D. 復數(shù)z是方程x2+2x+2＝0的一個根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用復數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)復數(shù)的模長公式求出，可知正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念求出，可知正確；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知正確；將代入方程成立，可知正確.
【詳解】因為（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正確；
所以，故正確；
由知，復數(shù)對應的點為，它在第二象限，故正確；
因，所以正確.
故選：ABCD.
【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，考查了復數(shù)的模長公式，考查了復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.
10. 某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在，，，，五個層次內，根據(jù)抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（ ）

A. 樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B. 樣本中層人數(shù)最多
C. 樣本中層次男生人數(shù)為6人D. 樣本中層次男生人數(shù)多于女生人數(shù)
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根據(jù)直方圖和餅圖依次判斷每個選項的正誤得到答案.
【詳解】樣本中女生人數(shù)為：，男生數(shù)為，正確；
樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；
樣本中層人數(shù)為：；樣本中層人數(shù)為：；
樣本中層人數(shù)為：；故正確；
樣本中層次男生人數(shù)為：，正確；
樣本中層次男生人數(shù)：，女生人數(shù)為，錯誤.
故選：.
【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表，意在考查學生的計算能力和應用能力.
11. 已知事件，，且，，則下列結論正確的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果與互斥，那么，
C. 如果與相互獨立，那么，
D. 如果與相互獨立，那么，
【答案】BD
【解析】
【分析】
A選項在前提下，計算出，，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出，， ，，即可判斷.
【詳解】解：A選項：如果，那么，，故A選項錯誤；
B選項：如果與互斥，那么，，故B選項正確；
C選項：如果與相互獨立，那么，，故C選項錯誤；
D選項：如果與相互獨立，那么，，故D選項正確.
故選：BD.
【點睛】本題考查在包含關系，互斥關系，相互獨立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎題.
12. 如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（ ）
A. 若點，分別是線段，的中點，則
B. 點到平面的距離為
C. 直線與平面所成的角等于
D. 三棱柱的外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A選項：通過平行的傳遞性得到結論；
B選項：根據(jù)點到平面的距離為，進一步得到答案;
C選項：根據(jù)直線與平面所成的角為∠，進一步得出結論；
D選項：根據(jù)三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，進一步得到答案.
【詳解】A選項：若點，分別是線段，的中點，則又∵
所以，故A正確；
B選項：連接交于點，由題易知點到平面的距離為，∵正方體的棱長為1，∴，故B錯誤；
C選項：易知直線與平面所成的角為∠，
∴∠，故C正確；
D選項：易知三棱柱的外接球的半徑為正方體體對角線的一半，
∴
∴表面積為，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】本題考查命題真假的判斷，通過線線平行、點到面的距離、線面角，以及外接球的知識點來考查，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，分別為三個內角，，的對邊，且，則________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得的值進而求得．
【詳解】，
，
，
，
由于為三角形內角，可得．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查正弦定理的應用．解題的關鍵是利用正弦定理把等式中的邊轉化為角的正弦．
14. 已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為10，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為________，方差為________.
【答案】 (1). 19 (2). 8
【解析】
【分析】
由題意結合平均數(shù)公式和方差公式計算即可得解.
【詳解】由已知條件可得，
，
所以數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為
，
方差為
故答案為：；.
【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.
15. 已知，，，則與的夾角為________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題先求，，，再根據(jù)化簡整理得，最后求與的夾角為.
【詳解】解：∵ ，，
∴ ，，，
∵ ，
∴
整理得：，
∴與的夾角為：.
故答案為：
【點睛】本題考查運用數(shù)量積的定義與運算求向量的夾角，是基礎題.
16. 如圖，在三棱錐中，，，，且，，則二面角的余弦值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取的中點，連接、，證明出，，可得出面角的平面角為，計算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.
【詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：
，為的中點，則，且，，，
同理可得，且，所以，二面角的平面角為，
由余弦定理得，
因此，二面角的余弦值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查二面角余弦值的計算，考查二面角的定義，考查計算能力，屬于中等題.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量.
（1）若向量，且，求的坐標；
（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1） 因為，所以可以設求出坐標，根據(jù)模長，可以得到參數(shù)的方程.
（2） 由于已知條件 可以計算出與坐標（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關于的方程，完成本題.
【詳解】（1）法一:設，
則，
所以
解得
所以或
法二:設，
因為，，所以，
因為，所以
解得或，
所以或
（2）因為向量與互相垂直
所以，即
而，，所以，
因此，
解得
【點睛】考查了向量的線性表示，引入參數(shù)，只要我們能建立起引入參數(shù)的方程，則就能計算出所求參數(shù)值，從而完成本題.
18. 已知、、分別為三個內角、、的對邊，且，，．
（1）求及的面積；
（2）若為邊上一點，且，______，求的正弦值．
從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中，并作答．
【答案】（1），；（2）選①，；選②，.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可得出關于的二次方程，可解出的值，進而可求得的面積；
（2）選①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進而可求得的正弦值；
選②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函數(shù)的基本關系可求得，再利用兩角和的正弦公式可求得的值.
【詳解】（1）由余弦定理得，整理得，
，解得，；
（2）選①，如下圖所示：
在中，由正弦定理得，可得，
在中，，則，所以，；
選②，在中，由正弦定理得，可得，
由于為銳角，則，
，
因此，.
【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積的計算，同時也考查了三角形內角正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.
19. 在四面體中，點，，分別是，，的中點，且，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成的角.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由點，分別是，的中點，得到，結合線面平行的判定定理，即可求解；
（2）由（1）知和，得到即為異面直線與所成的角，在中，即可求解.
【詳解】（1）由題意，點，分別是，的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，
因為點，分別是，的中點，可得，
所以即為異面直線與所成的角（或其補角）.
在中，，所以為等邊三角形，
所以，
即異面直線與所成的角為.
【點睛】本題主要考查了線面平行的判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記線面平行的判定定理和異面直線所成角的概念，轉化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
20. 溺水、校園欺凌等與學生安全有關的問題越來越受到社會的關注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次學生安全知識競賽，規(guī)定每隊3人，每人回答一個問題，答對得1分，答錯得0分．在競賽中，甲、乙兩個中學代表隊狹路相逢，假設甲隊每人回答問題正確的概率均為，乙隊每人回答問題正確的概率分別為，且兩隊各人回答問題正確與否相互之間沒有影響．
（1）分別求甲隊總得分為3分與1分的概率；
（2）求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）記“甲隊總得分為3分”為事件，記“甲隊總得分為1分”為事件，甲隊得3分，即三人都回答正確，甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為3分與1分的概率．
（2）記“甲隊得分為2分”為事件，記“乙隊得分為1分”為事件，事件即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，事件即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，由題意得事件與事件相互獨立，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率．
【詳解】解：（1）記“甲隊總得分為3分”為事件，記“甲隊總得分為1分”為事件，
甲隊得3分，即三人都回答正確，其概率為，
甲隊得1分，即三人中只有1人回答正確，其余兩人都答錯，
其概率為．
甲隊總得分為3分與1分的概率分別為，．
（2）記“甲隊得分為2分”為事件，記“乙隊得分為1分”為事件，
事件即甲隊三人中有2人答對，其余1人答錯，
則，
事件即乙隊3人中只有1人答對，其余2人答錯，
則，
由題意得事件與事件相互獨立，
甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率：
．
【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．
21. 如圖，在三棱錐中，底面，，，點為線段的中點，點為線段上一點.
（1）求證：平面平面.
（2）當平面時，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先證明，再證明，從而證明平面，最后證明平面平面；
（2）先判斷點為的中點，再判斷三棱錐的體積等于三棱錐的體積，最后求體積即可.
【詳解】（1）證明：因底面，且底面，
所以.
因為，且點為線段的中點，
所以.
又，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）解：因為平面，平面，平面平面，
所以.
因為點為的中點，所以點為的中點.
法一：
由題意知點到平面的距離與點到平面的距離相等，
所以
.
所以三棱錐的體積為.
法二：
因為平面，
由題意知點到平面的距離與點到平面的距離相等.
所以，
又，，，，
由（1）知，，又，且，所以平面，
所以
.
所以三棱錐體積為.
法三：
又，，，，
由（1）知：平面，
且.
所以
.
所以三棱錐的體積為.
【點睛】本題考查面面垂直的證明，三棱錐的體積，是中檔題.
22. 2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科滿分100分，2020年初受疫情影響，全國各地推遲開學，開展線上教學．為了了解高一學生的選科意向，某學校對學生所選科目進行線上檢測，下面是100名學生的物理、化學、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，畫出頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）由頻率分布直方圖；
（i）求物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)；
（ii）估計這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（3）為了進一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中，用分層隨機抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生來自不同組的概率．
【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)7組頻率和為1列方程可解得結果；
（2）（i）根據(jù)前三組頻率和為，前四組頻率和為可知中位數(shù)在第四組，設中位數(shù)為，根據(jù)即可解得結果；
（ii）利用各組的頻率乘以各組的中點值，再相加即可得解；
（3）根據(jù)分層抽樣可得從成績在[220，240）的組中應抽取人，從成績在[260，280）的組中應抽取人，再用列舉法以及古典概型的概率公式可得解.
【詳解】（1）由，得；
（2）（i）因為，，
所以中位數(shù)在，設中位數(shù)為，所以，解得，
所以物理、化學、生物三科總分成績的中位數(shù)為；
（ii）這100名學生的物理、化學、生物三科總分成績的平均數(shù)為
（3）物理、化學、生物三科總分成績在[220，240）和[260，280）的兩組中的人數(shù)分別為：人，人，根據(jù)分層隨機抽樣可知，從成績在[220，240）的組中應抽取人，記為，從成績在[260，280）的組中應抽取人，記為，
從這7名學生中隨機抽取2名學生的所有基本事件為：，，共有種，其中這2名學生來自不同組的共有種，
根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.
【點睛】本題考查了利用直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)，考查了利用直方圖求參數(shù)，考查了分層抽樣，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題.