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    [精] 2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型(安徽專用)專題05 解答題壓軸題(二次函數(shù)(一)(含解析)

    • 7.3 MB
    • 2024-06-24 15:50
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    2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型(安徽專用)專題05 解答題壓軸題(二次函數(shù)(一)(含解析)第1頁(yè)
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    2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型(安徽專用)專題05 解答題壓軸題(二次函數(shù)(一)(含解析)

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    這是一份2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型(安徽專用)專題05 解答題壓軸題(二次函數(shù)(一)(含解析),共57頁(yè)。試卷主要包含了二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題,動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題,特殊圖形存在問(wèn)題等內(nèi)容,歡迎下載使用。

    通用的解題思路:
    一、二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題
    二次函數(shù)求取值范圍之動(dòng)軸定區(qū)間或者定軸動(dòng)區(qū)間的分類方法:分對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、右邊、中間三種情況。
    若自變量 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為全體實(shí)數(shù),如圖①,函數(shù)在頂點(diǎn)處 SKIPIF 1 < 0 時(shí),取到最值.
    若 SKIPIF 1 < 0 ,如圖②,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ;當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 .
    若 SKIPIF 1 < 0 ,如圖③,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;當(dāng) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,如圖④,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;當(dāng) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .

    二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決線段最值問(wèn)題
    (1)豎直(鉛錘)線段的最值問(wèn)題
    = 1 \* GB3 ①求拋物線及支線AC的解析式;
    = 2 \* GB3 ②設(shè)點(diǎn),表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);
    = 3 \* GB3 ③表示線段PQ的長(zhǎng)度;
    = 4 \* GB3 ④利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值。
    (2)斜(垂)線段的最值問(wèn)題
    = 1 \* GB3 ①過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線;
    = 2 \* GB3 ②利用相似得到,把求PH的最大值轉(zhuǎn)化為求kPQ的最大值、
    三、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題
    (1)利用鉛錘法求三角形面積;
    (2)動(dòng)三角形面積最大值:
    = 1 \* GB3 ①利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值(利用鉛錘法把動(dòng)三角形的面積用含參數(shù)的式子表示出來(lái),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值,如圖1);
    = 2 \* GB3 ②利用定底平行線法求最大值(平移直線值與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),動(dòng)三角形的面積最大,如圖2)

    四、特殊圖形存在問(wèn)題
    (1)等腰三角形
    = 1 \* GB3 ①利用幾何法或代數(shù)法表示出三角形三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式;
    = 2 \* GB3 ②根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論,排除不可能的情況;
    = 3 \* GB3 ③列出方程進(jìn)行求解,保留可能的值。
    (2)直角三角形
    = 1 \* GB3 ①按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論;
    = 2 \* GB3 ②計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng);
    = 3 \* GB3 ③根據(jù)邊長(zhǎng)與己知點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。
    (3)等腰直角三角形
    既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個(gè)角是直角。
    (4)平行四邊形
    = 1 \* GB3 ①直接計(jì)算法根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,按這條線段為邊或?yàn)閷?duì)角線兩大類,分別計(jì)算(適用于已知兩點(diǎn)的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸)
    = 2 \* GB3 ②構(gòu)造全等法過(guò)頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,利用對(duì)邊所在的兩個(gè)三角形全等,把平行且相等的對(duì)邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對(duì)應(yīng)邊相等(適用于已知兩點(diǎn)的連線,不與坐標(biāo)軸平行,容易畫(huà)出草圖)
    = 3 \* GB3 ③平移坐標(biāo)法利用平移的意義,根據(jù)已知兩點(diǎn)間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系,得待定兩點(diǎn)也有同樣的數(shù)量關(guān)系。(適用于直接寫(xiě)出答案的題)
    (5)菱形
    由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形,因此解決菱形存在性問(wèn)題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和等腰三角形存在性問(wèn)題的方法。
    (6)矩形
    由于矩形是含 90 度角的平行四邊形,因此解決矩形存在性問(wèn)題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和直角三角形存在性問(wèn)題的方法。
    (7)正方形
    由于正方形即是矩形又是菱形,因此解決正方形存在性問(wèn)題需要靈活選用所有存在性問(wèn)題的方法。
    1.(2021·安徽·中考真題)已知拋物線的對(duì)稱軸為直線.
    (1)求a的值;
    (2)若點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都在此拋物線上,且,.比較y1與y2的大小,并說(shuō)明理由;
    (3)設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B,與拋物線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)C,D,求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比.
    【答案】(1);(2),見(jiàn)解析;(3) SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸,代值計(jì)算即可
    (2)根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果
    (3)先根據(jù)求根公式計(jì)算出,再表示出,=,即可得出結(jié)論
    【詳解】解:(1)由題意得: SKIPIF 1 < 0
    SKIPIF 1 < 0
    (2)拋物線對(duì)稱軸為直線,且
    當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小,
    當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大.
    當(dāng)時(shí),y1隨x1的增大而減小,
    時(shí),,時(shí),
    同理:時(shí),y2隨x2的增大而增大
    SKIPIF 1 < 0 時(shí),.
    SKIPIF 1 < 0 時(shí),

    SKIPIF 1 < 0
    (3)令



    AB與CD的比值為 SKIPIF 1 < 0
    【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵,利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)
    2.(2023·青海西寧·中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與x軸交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,且對(duì)稱軸是直線.

    (1)求直線l的解析式;
    (2)求拋物線的解析式;
    (3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸,垂足為C,交直線l于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足為M.求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2) SKIPIF 1 < 0
    (3)的最大值是,此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是
    【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;
    (2)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為,再利用待定系數(shù)法求解即可;
    (3)由題意易證為等腰直角三角形,即得出.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,從而可求出.再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),有最大值是,此時(shí)最大,進(jìn)而即可求解.
    【詳解】(1)解:設(shè)直線l的解析式為,
    把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式,得,
    解得:,
    ∴直線l的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)解:設(shè)拋物線的解析式為,
    ∵拋物線的對(duì)稱軸為直線,
    ∴.
    把A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,得,
    解得:,
    ∴拋物線的解析式為;
    (3)解:∵ ,
    ∴.
    ∵在中,
    ∴.
    ∵軸, SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴.
    在 SKIPIF 1 < 0 中,,,
    ∴,
    ∴.
    在中,,,
    ∴,
    ∴.
    設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則,
    ∴.
    ∵ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴當(dāng)時(shí),有最大值是,此時(shí)最大,
    ∴,
    當(dāng)時(shí),,
    ∴,
    ∴的最大值是,此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是.
    【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題,考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí).掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.
    3.(2023·浙江湖州·中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,圖象的頂點(diǎn)為M.矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

    (1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo),
    (2)如圖2,將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的矩形.已知邊,分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接 SKIPIF 1 < 0 ,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G.
    ①當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);
    ②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí),是否存在這樣的t,使得的面積為1?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1),頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是
    (2)①1;②存在,或
    【分析】(1)把代入拋物線的解析式即可求出c,把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
    (2)①先判斷當(dāng)時(shí),,的坐標(biāo)分別是,,再求出, SKIPIF 1 < 0 時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo),進(jìn)而求解;
    ②先求出,易得P,Q的坐標(biāo)分別是,,然后分點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方與點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方兩種情況,結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.
    【詳解】(1)∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,
    ∴,
    ∴,
    ∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是.
    (2)①∵A在x軸上,B的坐標(biāo)為,
    ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
    當(dāng)時(shí),,的坐標(biāo)分別是,.
    當(dāng)時(shí),,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2,
    當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1.
    ∵,
    ∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1,
    ∴.
    ②存在.理由如下:
    ∵的面積為1,,
    ∴.
    根據(jù)題意,得P,Q的坐標(biāo)分別是,.
    如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方時(shí),,
    此時(shí)(在的范圍內(nèi)),

    如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方時(shí),,
    此時(shí)(在的范圍內(nèi)).
    ∴或.
    【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí),熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.
    1.(2024·安徽黃山·一模)已知拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn),與y軸交于點(diǎn).
    (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
    (2)若點(diǎn)M是x軸上位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含點(diǎn)A與點(diǎn)B),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)E、點(diǎn)F.求線段的最大值.
    【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為
    (2)線段EF的最大值為
    【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,求一次函數(shù)解析式,以及兩點(diǎn)之間的距離公式.
    (1)利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式即可;
    (2)先求出的解析式,設(shè) , 則 ,根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出關(guān)于的絕對(duì)值方程,根據(jù)m的取值范圍分類討論求出的最大值即可.
    【詳解】(1)解:∵拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),
    ∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為.
    ∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,
    解得.
    ∴拋物線的函數(shù)解析式為
    (2)當(dāng)時(shí),
    設(shè)直線的解析式為,把代入,

    解得:
    ∴直線的解析式為
    設(shè) ,

    ,
    當(dāng)時(shí), ,
    ∴當(dāng)時(shí),有最大值2.
    當(dāng)時(shí),,
    當(dāng)時(shí), 有最大值
    2.(2024·安徽合肥·一模)已知拋物線與直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B.
    (1)求m的值;
    (2)求證:;
    (3)當(dāng)時(shí),將拋物線L向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位得到拋物線P,拋物線P與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,且點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方.過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線P于點(diǎn)N,且點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè),求的最大值,并求出此時(shí)n的值.
    【答案】(1)
    (2)詳見(jiàn)解析
    (3)當(dāng)時(shí),值最大,為
    【分析】(1)把代入與中,得,,兩式相加可得.
    (2)由得,由,,得,故.
    (3)由得拋物線L為,得,表示出,,得,再利用利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
    【詳解】(1)把代入與中,得
    ,,
    得.
    (2)∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    ∵,
    又,
    ∴,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    (3)如圖:

    ∵,
    ∴,
    ∴將拋物線L為,直線為,
    ∵拋物線L向左平移,
    ∴拋物線P為,
    ∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵拋物線P與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,
    ∴,
    ∵直線與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B,
    ∴,
    ∵點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方,
    ∴.
    ∵拋物線L的對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴當(dāng)時(shí),取得最大值.
    【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,完全平方公式,不等式的性質(zhì),二次函數(shù)的平移,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的平移,以及二次函數(shù)與幾何綜合,掌握二次函數(shù)最值的求法是解題關(guān)鍵.
    3.(2024·安徽馬鞍山·一模)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn).點(diǎn)在軸正半軸上,且,分別是線段,上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合,點(diǎn)不與點(diǎn)重合).
    (1)求此拋物線的表達(dá)式;
    (2)連接.
    ①將沿軸翻折得到,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
    ②連接,當(dāng)時(shí),求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)①;②
    【分析】(1)拋物線與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn),用待定系數(shù)法即可求解;
    (2)①如圖,連接交于點(diǎn),根據(jù)折疊的性質(zhì),設(shè),用含的式子表示點(diǎn), 根據(jù)點(diǎn)在拋物線上即可求解;②如下圖,過(guò)點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 軸,可證,、、三點(diǎn)共線時(shí),取到最小值,在中,根據(jù)勾股定理即可求解.
    【詳解】(1)解:拋物線與軸交于兩點(diǎn),,
    ,解得,
    ,
    ∴拋物線的表達(dá)式為.
    (2)解:已知拋物線與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn),
    ∴令,則,解得, SKIPIF 1 < 0 ,,
    ∴,
    ①如圖,連接交于點(diǎn),
    與關(guān)于軸對(duì)稱,
    ,,
    設(shè),則,且,
    在中,,
    ∴,
    ∴在中,,
    ,
    點(diǎn)在拋物線上,
    ,解得或(舍去),
    ;
    ②如下圖,過(guò)點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 軸,使得,作延長(zhǎng)線于點(diǎn),
    ,
    又,,
    ,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 、、三點(diǎn)共線時(shí),取到最小值,
    ,,,
    , SKIPIF 1 < 0 ,
    在中,,,

    【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合,掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì),幾何圖形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理,最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.
    4.(2024·安徽合肥·一模)已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.
    (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
    (2)若直線 SKIPIF 1 < 0 與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E.
    ①若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),求a的值;
    ②若點(diǎn)E在第四象限并且在拋物線的上方,記的面積為,記的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,,求S與x的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值.
    【答案】(1),
    (2)①;②;S的最大值為.
    【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題,數(shù)形結(jié)合,靈活運(yùn)用分類討論的思想是正確解答此類題的關(guān)鍵.
    (1)令,解方程,即可求解;
    (2)①先求得直線解析式為:,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)直線過(guò)點(diǎn),列式計(jì)算即可求解;
    ②根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,利用三角形面積公式列式得到,,再求得,據(jù)此求解即可.
    【詳解】(1)解:令,則有:
    ,
    即,
    ,,
    ,;
    (2)解:直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò),
    ,
    ,
    直線解析式為:,
    拋物線配方得,
    其頂點(diǎn)坐標(biāo)為;
    ①當(dāng)E為頂點(diǎn)時(shí):即過(guò),
    ,
    ,(舍去),
    ;
    ②根據(jù)題意可畫(huà)出示意圖,
    設(shè)直線交y軸于F,交拋物線對(duì)稱軸于E點(diǎn),且點(diǎn)E在第四象限并且在拋物線的上方,
    則,,,
    又,
    ,


    ,
    ∵,
    ∴當(dāng),S的最大值為.
    5.(2024·安徽合肥·一模)已知拋物線與軸交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn),與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),且,連接BC.
    (1)求拋物線的解析式.
    (2)P是拋物線上位于BC下方的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.
    ①求的最大面積.
    ②是否存在一點(diǎn),使,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1)
    (2)①2;②存在,1或2
    【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;
    (2)①根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)最值進(jìn)行求解即可;②過(guò)點(diǎn)作軸,根據(jù)列式,再利用,,求解即可;
    本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵.
    【詳解】(1)解: 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,,且點(diǎn)在軸負(fù)半軸,
    點(diǎn).
    設(shè)拋物線的解析式為.
    將點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入,
    得解得
    拋物線的解析式為.
    (2)①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
    ∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,

    當(dāng)時(shí),最大,最大值為2.
    ②存在.
    如圖,過(guò)點(diǎn)作軸,則,,,
    SKIPIF 1 < 0

    ,,
    ,解得,,
    的值為1或2.
    6.(2024·安徽合肥·一模)已知二次函數(shù)(且為常數(shù)),當(dāng)a取不同的值時(shí),其圖象不同.
    (1)求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含a的式子表示);
    (2)若拋物線與x軸交于兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),
    ①求拋物線的解析式;
    ②若拋物線頂點(diǎn)為C,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,直線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)E.點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作,垂足N在線段上.試問(wèn)是否存在點(diǎn)M,使?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1)
    (2)①;②存在,或
    【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,一次函數(shù)與幾何綜合,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等:
    (1)把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案;
    (2)①根據(jù)題意可得,進(jìn)而得到,解方程即可得到答案;②先求出,,,則,可得,則;證明是等腰直角三角形,得到;設(shè),如圖所示,當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),則,,可得方程,解方程即可得到答案;同理求出當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)的坐標(biāo)即可.
    【詳解】(1)解:∵二次函數(shù)解析式為,
    ∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為;
    (2)解:①∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn),
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    解得或(舍去),
    ∴拋物線解析式為;
    ②由(2)①可得,則,
    ∵直線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)E,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴;
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴;
    設(shè),
    如圖所示,當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    解得(正值舍去),
    ∴;

    同理當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí),可求得,
    綜上所述,或.

    7.(2024·安徽六安·一模)如圖,二次函數(shù)與一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B在x軸上,一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P.
    (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
    (2)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)的最大值是15,求a的值;
    (3)點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為, SKIPIF 1 < 0 ,求當(dāng)取何值時(shí),的值最小,最小值是多少?
    【答案】(1)
    (2)
    (3),
    【分析】(1)根據(jù)已知條件得到直線,把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 即可得到結(jié)論;
    (2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)的最大值是15,解方程即可得到結(jié)論;
    (3)根據(jù)在拋物線上,求得,根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
    【詳解】(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,
    把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得,
    點(diǎn)的坐標(biāo)為,
    故答案為:;
    (2)∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ,在對(duì)稱軸左側(cè)二次函數(shù)y的值隨x的增大而減小
    ∴二次函數(shù) 的最大值是15,即
    解得,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    (3)∵在拋物線上,
    ∵,
    當(dāng) 時(shí),m的值最小,最小值是 .
    【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題,一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
    8.(2024·安徽合肥·一模)如圖,直線與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A.
    (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
    (2)直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí),x的取值范圍;
    (3)點(diǎn)P是位于直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,連接.求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
    【答案】(1)
    (2)
    (3);
    【分析】(1)令直線解析式,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),令,即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法直接代入求解即可;
    (2)根據(jù)函數(shù)圖象即可解答;
    (3)過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H,交直線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,證明是等腰直角三角形,得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
    【詳解】(1)解:時(shí),,,

    時(shí),,
    ,
    將,代入得:
    解得,
    ;
    (2)解:,,
    時(shí),
    由函數(shù)圖象可得:;
    (3)解:如圖,過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H,交直線BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F,
    設(shè)點(diǎn),
    則點(diǎn),,
    ,

    ,軸,
    是等腰直角三角形,,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵P在直線下方,
    ,
    ,對(duì)稱軸為直線,
    當(dāng)時(shí),,
    此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.
    【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法,圖像法解不等式,等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.
    9.(2024·安徽安慶·一模)如圖,拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
    (1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
    (2)點(diǎn)E為直線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)F.
    ①若點(diǎn)E在第一象限,連接,求面積的最大值;
    ②此拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D,連接,若為直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo).
    【答案】(1)
    (2)①;②或或或
    【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確的求出函數(shù)解析式,利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
    (1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;
    (2)①先求出的解析式,設(shè),將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,即可;
    ②分點(diǎn)為直角頂點(diǎn),點(diǎn)為直角頂點(diǎn),兩種情況進(jìn)行討論求解即可.
    【詳解】(1)解:把點(diǎn)、代入解析式,得:
    ,解得:;
    ∴;
    (2)①∵,
    ∴當(dāng)時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴,
    設(shè)的解析式為,把代入,得:,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    設(shè)點(diǎn),則:,
    ∴,
    ∴,
    ∴當(dāng)時(shí),面積的最大值為;
    ②∵,
    ∴對(duì)稱軸為直線 SKIPIF 1 < 0 ,
    當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),,

    設(shè)點(diǎn),則:,
    ∴,
    當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí),則:,
    ∴,
    解得:(舍去),或;
    ∴或
    當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí):,
    ∴,
    解得:(舍),(舍),或;
    ∴或;
    綜上:或或或.
    10.(2024·安徽·一模)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與軸分別交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).
    (1)求拋物線的表達(dá)式;
    (2)如圖,點(diǎn)分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點(diǎn),其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,連接 SKIPIF 1 < 0 交軸于點(diǎn),連接,設(shè)的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,求點(diǎn)的坐標(biāo).
    【答案】(1)
    (2)點(diǎn)坐標(biāo)為
    【分析】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn),拋物線與三角形面積綜合,以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.
    (1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可得到拋物線解析式;
    (2)根據(jù)點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn),其橫坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,然后用待定系數(shù)法求直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式,從而求出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)三角形的面積公式以及 SKIPIF 1 < 0 ,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后再代入二次函數(shù)解析式,從而得出結(jié)論.
    【詳解】(1)解:將、點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中,
    得,
    解得,
    拋物線的解析式為;
    (2)點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn),其橫坐標(biāo)為,
    點(diǎn)坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
    設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為,
    把,坐標(biāo)代入得:,
    解得,
    直線 SKIPIF 1 < 0 與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為
    ,

    的面積為,
    ,
    ,
    解得,
    把代入得,
    點(diǎn)坐標(biāo)為.
    11.(2024·安徽·一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸交于點(diǎn),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò),兩點(diǎn).
    (1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式;
    (2)若點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上的點(diǎn),且,如圖2,求點(diǎn)的坐標(biāo);
    (3)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像位于第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.試探免:是否存在常數(shù),使得的長(zhǎng)為4?若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1),
    (2)
    (3)
    【分析】(1)把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線和直線表達(dá)式,即可求解;
    (2)先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸,設(shè),再用兩點(diǎn)間距離公式列方程即可求解;
    (3)先得點(diǎn)坐標(biāo)為,,再根據(jù)的長(zhǎng)為4列出方程求解即可.
    【詳解】(1)把點(diǎn),代入拋物線 SKIPIF 1 < 0 得:
    ,解得:,
    故二次函數(shù)的表達(dá)式為: SKIPIF 1 < 0 ,
    把,代入一次函數(shù)表達(dá)式得:
    ,解得:,
    故一次函數(shù)的表達(dá)式為:;
    (2)二次函數(shù)的 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱軸為直線,
    由點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上的點(diǎn),可設(shè),
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    ,
    解得:,

    (3)第一象限點(diǎn)的模坐標(biāo)為.
    點(diǎn)坐標(biāo)為,
    點(diǎn)坐標(biāo)為,
    的長(zhǎng)為4,

    SKIPIF 1 < 0 ,(舍去),
    的值為,
    【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.
    12.(2024·安徽合肥·一模)如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),它的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D,連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)E.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
    (1)求此拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo);
    (2)求與的面積之比;
    (3)動(dòng)點(diǎn)P,Q在此拋物線上,其橫坐標(biāo)分別為m,.其中.設(shè)此拋物線在點(diǎn)A和點(diǎn)P之間的部分(包含點(diǎn)A和點(diǎn)P)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為﹐在點(diǎn)A和點(diǎn)Q之間的部分(包含點(diǎn)A和點(diǎn)Q)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為,當(dāng)時(shí),請(qǐng)求出m的值.
    【答案】(1)函數(shù)的解析式為:,頂點(diǎn)坐標(biāo)為;
    (2);
    (3).
    【分析】
    本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),涉及待定系數(shù)法求解析式、兩點(diǎn)之間的距離和分類討論思想,
    (1)根據(jù)題意采取待定系數(shù)法即可求得解析式;
    (2)根據(jù)題意求得點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)即可得到直線得解析式,再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離即可求得面積之比;
    (3)采取分類討論:當(dāng)時(shí),,可得,;當(dāng)時(shí),,得, SKIPIF 1 < 0 ,即可求得m.
    【詳解】(1)解:∵拋物線與x軸交于A,
    ∴,解得,
    則函數(shù)的解析式為:,
    即函數(shù)的解析式為:,頂點(diǎn)坐標(biāo)為;
    (2)令,得,解得,,則點(diǎn),
    由(1)得點(diǎn),則點(diǎn),
    設(shè)直線得解析式為 SKIPIF 1 < 0 ,
    ,解得,
    則直線得解析式為,
    ∵點(diǎn)E為對(duì)稱軸和直線,
    ∴,
    則;
    (3)①當(dāng)時(shí),,
    ∵點(diǎn)P,Q在此拋物線上,且其橫坐標(biāo)分別為m,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,解得(舍去);
    ②當(dāng)時(shí),,
    同理得, SKIPIF 1 < 0 ,
    則,解得, SKIPIF 1 < 0 (舍去);
    故.
    13.(2024·安徽·一模)已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù),且 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與軸交于點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D,與軸的交點(diǎn)為點(diǎn).
    (1)如圖1,若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3,試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
    (2)如圖2,若,試確定a的值;
    (3)如圖3,在(1)的情形下,連接,,點(diǎn)P為拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),連接交于點(diǎn)Q,當(dāng)取最大值時(shí),試求點(diǎn)P的坐標(biāo).
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【分析】(1)令,則 SKIPIF 1 < 0 ,求出,,將代入一次函數(shù)求出,從而得出點(diǎn)的坐標(biāo),再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解;
    (2)由(1)得:,,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,由得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,代入一次函數(shù)解析式得出點(diǎn)的坐標(biāo),再將的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可得解;
    (3)由(1)知:,,,得出,求出點(diǎn)的坐標(biāo)得出,根據(jù),得出關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
    【詳解】(1)解:在中,令,則 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得:,,
    ,,
    將代入得: SKIPIF 1 < 0 ,
    解得:,

    點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,
    當(dāng)時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
    ,
    將代入拋物線解析式得: SKIPIF 1 < 0 ,
    解得:,
    ;
    (2)解:由(1)得:,,
    設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,

    SKIPIF 1 < 0 為的中點(diǎn),
    在軸上,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    ,
    在中,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),,
    ,
    將 SKIPIF 1 < 0 代入拋物線解析式得: SKIPIF 1 < 0 ,
    解得:;
    (3)解:由(1)知:,,,
    ,
    在中,當(dāng)時(shí),,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    當(dāng)時(shí),的值最大,此時(shí).
    【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)綜合—面積問(wèn)題,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象性質(zhì).熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.
    14.(2024·安徽池州·一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與軸分別相交于,兩點(diǎn).

    (1)求該拋物線的解析式;
    (2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn).
    ①求的最大值;
    ②若是的中點(diǎn),以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).
    【答案】(1)
    (2)①9;②或
    【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;
    (2)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則求出直線的解析式,得到,求出,并根據(jù)二次函數(shù)的最大值得到答案;
    ②根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到,根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng),由①知,,分兩種情況:和,建立方程求出m,得到點(diǎn)D的坐標(biāo).
    【詳解】(1)將,代入拋物線,
    得,
    解得,
    該拋物線的解析式為.
    (2)①由拋物線的解析式為,得.
    設(shè)直線的解析式為,將,代入,
    得解得
    直線的解析式為.
    設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,
    ,,

    ,
    當(dāng)時(shí),有最大值,為9.
    ②,,,
    ,,,,
    ,,,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,

    軸于點(diǎn),
    ,

    以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形與相似,只需或.
    SKIPIF 1 < 0 是的中點(diǎn),,,
    ,,.
    由①知,,

    當(dāng)時(shí),,
    解得或(舍去),

    當(dāng)時(shí),,
    解得或(舍去),

    綜上所述,以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形與相似,點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
    【點(diǎn)睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式,二次函數(shù)的最值問(wèn)題,勾股定理,相似三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
    15.(2024·安徽·一模)如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
    (1)求此二次函數(shù)的解析式;
    (2)已知直線與交于點(diǎn)D,在第二象限與拋物線交于點(diǎn)P,求的值;
    (3)平移拋物線,如圖2,使新拋物線的頂點(diǎn)E是直線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)E作軸于點(diǎn)F,過(guò)原拋物線的頂點(diǎn)M作軸交新拋物線于點(diǎn)N,若,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
    (2)
    (3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0
    【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
    (2)過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),則軸,可得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ,由直線與在第二象限與拋物線交于點(diǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ,,可得,即可求解;
    (3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 SKIPIF 1 < 0 ,平移后的函數(shù)解析式為 SKIPIF 1 < 0 ,求出點(diǎn),可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,,由得 SKIPIF 1 < 0 ,解方程求出的值即可得答案.
    【詳解】(1)解:將,代入函數(shù)解析式得,

    解得,
    此二次函數(shù)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)解:二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與軸交于點(diǎn),
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    直線的解析式為,
    過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),
    ∴軸,
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    直線與在第二象限與拋物線交于點(diǎn),
    SKIPIF 1 < 0 ,
    解得,(由于點(diǎn)在第二象限,舍去),
    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,

    SKIPIF 1 < 0 ;
    (3)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 SKIPIF 1 < 0 ,
    平移后的函數(shù)解析式為 SKIPIF 1 < 0 ,
    ,
    點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
    把代入 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,
    點(diǎn)的坐標(biāo)為,

    ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    解得(舍去), SKIPIF 1 < 0 ,
    點(diǎn)的坐標(biāo)為.
    【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法,相似三角形的判定和性質(zhì),拋物線的平移,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法以及二次函數(shù)的性質(zhì).
    16.(2024·安徽合肥·一模)如圖1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)B為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),其縱坐標(biāo)為,.
    (1)求拋物線的表達(dá)式;
    (2)點(diǎn)C為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為h,當(dāng)取最大值時(shí),求h的值;
    (3)如圖2,點(diǎn),連接,將拋物線的圖象向上平移m個(gè)單位得到拋物線,當(dāng)時(shí),若拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn),直接寫(xiě)出m的取值范圍.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【分析】(1)設(shè)交軸于點(diǎn),由,先求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求的解析式,把點(diǎn)的解析式代入求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解;
    (2)由點(diǎn),軸,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,把點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線解析式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo),用參數(shù) SKIPIF 1 < 0 表示出的長(zhǎng),再配方求最大值.
    (3)設(shè)平移后的拋物線解析式為,求出直線上橫坐標(biāo)為和的兩點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn),求出的最小值,當(dāng)平移后的拋物線與直線有唯一公共點(diǎn)時(shí),求出的值,從而求出的取值范圍.
    【詳解】(1)解:設(shè)交軸于點(diǎn),
    ∵點(diǎn)坐標(biāo)為,


    ∴,

    ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
    設(shè)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ,

    解得
    ∴的解析式為,
    ∵點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,
    ∴把代入得
    ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
    ∵過(guò)點(diǎn)、

    解之得
    ∴拋物線的表達(dá)式為.
    (2)∵點(diǎn)C在拋物線上,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為h

    ∵軸,
    ∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
    把代入

    ∴點(diǎn)

    ∵點(diǎn)C為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

    ∴當(dāng)時(shí),的最大值為.
    (3)設(shè)的解析式為
    ∵直線過(guò)點(diǎn)、

    解之得
    ∴直線的解析式為
    當(dāng)時(shí),,直線對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,
    當(dāng)時(shí),,直線對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.
    設(shè)拋物線的圖象向上平移m(m>1)個(gè)單位得到拋物線為
    當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),拋物線與線段 SKIPIF 1 < 0 有一個(gè)公共點(diǎn),
    當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有拋物線與線段 SKIPIF 1 < 0 兩個(gè)公共點(diǎn).如圖
    當(dāng)拋物線與直線有唯一的公共點(diǎn)時(shí)
    解之得
    ∴當(dāng)時(shí),若拋物線與直線AE有兩個(gè)交點(diǎn), m的取值范圍為.
    【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)圖象和性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí),數(shù)形結(jié)合,通過(guò)構(gòu)建方程組,利用根的判別式解決問(wèn)題.
    17.(2024·安徽滁州·一模)已知拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.
    (1)求拋物線的函數(shù)解析式;
    (2)如圖1,已知點(diǎn)P是位于上方的拋物線上的一點(diǎn),作,垂足為M,求線段長(zhǎng)度的最大值;
    (3)如圖2,已知點(diǎn)Q是第四象限拋物線上一點(diǎn),,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
    【答案】(1);
    (2)的最大值為;
    (3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
    【分析】(1)將點(diǎn)代入,求得,即可得解;
    (2)求得點(diǎn)和的坐標(biāo),推出,作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),得到是等腰直角三角形,,設(shè),求得關(guān)于的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;
    (3)作軸于點(diǎn),作軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,求得 SKIPIF 1 < 0 ,證明,利用正切函數(shù)的定義求得,證明是等腰直角三角形,求得,再求得直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式,據(jù)此求解即可.
    【詳解】(1)解:∵拋物線交x軸于點(diǎn),
    ∴,
    解得,
    ∴拋物線的函數(shù)解析式為;
    (2)解:當(dāng)時(shí),;
    當(dāng)時(shí),,
    解得或;
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    設(shè)直線的解析式為,
    把代入得 SKIPIF 1 < 0 ,
    解得,
    ∴直線的解析式為,
    設(shè),則,
    ∴,
    ∵,
    ∴有最大值,最大值為;
    (3)解:作軸于點(diǎn),作軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵,,,
    ∴, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    同理直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為,
    聯(lián)立得,
    解得或;
    當(dāng)時(shí),,
    ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
    【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),三角函數(shù)的定義,勾股定理等知識(shí),根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
    18.(2024·山西晉城·一模)綜合與探究
    如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,P是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
    (1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),并直接寫(xiě)出直線的函數(shù)表達(dá)式.
    (2)連接,,求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
    (3)在(2)的條件下,若F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以B,F(xiàn),P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1),, SKIPIF 1 < 0
    (2)的面積最大值為9,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
    (3)或或
    【分析】
    (1)根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出自變量和函數(shù)值為0時(shí)自變量或函數(shù)值即可求出A、B、C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式即可;
    (2)過(guò)點(diǎn)P作軸交于D,設(shè),則,則,根據(jù),可得,則當(dāng)時(shí),的面積最大,最大值為9,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
    (3)設(shè),,再分當(dāng)為對(duì)角線時(shí), 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí), 當(dāng)為對(duì)角線時(shí),由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同建立方程求解即可。
    【詳解】(1)解:在中,當(dāng)時(shí),,
    ∴;
    在中,當(dāng)時(shí),解得 SKIPIF 1 < 0 或,
    ∴;
    設(shè)直線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴,
    ∴,
    ∴直線的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)P作軸交于D,
    設(shè),則,
    ∴,

    ∴,
    ∵,
    ∴當(dāng)時(shí),的面積最大,最大值為9,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
    (3)解:∵,
    ∴拋物線對(duì)稱軸為直線,
    設(shè),,
    當(dāng)為對(duì)角線時(shí),由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得: ,
    解得,
    ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;
    當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線時(shí),由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得: ,
    解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;
    當(dāng)為對(duì)角線時(shí),由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得: ,
    解得,
    ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;
    綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或.
    19.(2024·安徽亳州·一模)已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.
    (1)試確定該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
    (2)如圖,設(shè)該拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),其頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸為l,l與x軸交于點(diǎn)D.
    ①求證:是直角三角形;
    ②在l上是否存在點(diǎn)P,使得以A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
    【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:
    (2)①見(jiàn)詳解
    ②存在,點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或
    【分析】
    (1)運(yùn)用待定系數(shù)法解方程組即可;
    (2)①利用勾股定理的逆定理證明垂直;
    ②分兩種情況:當(dāng)以及,列出比例式,求出長(zhǎng),再求點(diǎn)P坐標(biāo).
    【詳解】(1)(1)拋物線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,
    解得
    拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;
    (2)(2)①時(shí),,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得或,
    點(diǎn)A在點(diǎn)左側(cè),
    點(diǎn)A坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為.
    點(diǎn)C坐標(biāo)為,
    ,,,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    是直角三角形,且 SKIPIF 1 < 0 ;
    ②存在以A,D,P為頂點(diǎn)的三角形與相似.
    分兩種情況:
    i)當(dāng)時(shí),,
    ,解得,
    此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或;
    ii)當(dāng)時(shí),,
    ,解得,
    此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為或;
    綜上,點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或.
    【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理。解答本題注意分類討論的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.
    20.(2024·安徽·一模)已知拋物線(b,c是常數(shù))與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接,點(diǎn)P是上方拋物線上的一點(diǎn).
    (1)求b,c的值;
    (2)如圖1,點(diǎn)Q是第二象限拋物線上的一點(diǎn),且橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,分別過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q作軸,軸,與分別與交于點(diǎn)D,E,連接,求的值;
    (3)如圖2,連接與交于點(diǎn)M,連接,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
    【答案】(1)b和c的值分別為和3
    (2)2
    (3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
    【分析】
    (1)利用待定系數(shù)法求解即可;
    (2)先求出,進(jìn)而求出直線的表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.則,,.得到點(diǎn)A到的距離為,點(diǎn)C到的距離為 SKIPIF 1 < 0 .,.則.
    (3)先求出,,則.由(2)設(shè)點(diǎn),則,根據(jù),求出.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.再求出直線的表達(dá)式為.聯(lián)立直線,直線的表達(dá)式,得,解得,即可得到此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
    【詳解】(1)解:把點(diǎn),代入,得,解得.
    ∴b和c的值分別為和3.
    (2)由(1)可知拋物線的表達(dá)式為.
    當(dāng)時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴.
    設(shè)直線的表達(dá)式為,把點(diǎn),點(diǎn)代入,得,
    解得.
    ∴直線的表達(dá)式為.
    ∵點(diǎn)P是上方拋物線上的一點(diǎn),
    ∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
    ∵點(diǎn)Q是第二象限拋物線上一點(diǎn),且橫坐標(biāo)比點(diǎn)P橫坐標(biāo)大1,軸,軸,
    ∴,,.
    ∴點(diǎn)A到的距離為,點(diǎn)C到的距離為 SKIPIF 1 < 0 .
    ∴,

    ∴.
    (3)解:由拋物線的表達(dá)式可知點(diǎn),則.
    ∵,
    ∴.
    由(2)設(shè)點(diǎn),
    ∴.
    ∴.
    整理,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得.
    此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
    設(shè)直線的表達(dá)式為,把點(diǎn),點(diǎn)代入,得
    ,解得.
    ∴直線的表達(dá)式為.
    由(2)知直線的表達(dá)式為.
    聯(lián)立直線,直線的表達(dá)式,得,解得,
    ∴當(dāng)時(shí),.
    故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
    【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,一次函數(shù)與幾何綜合,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

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