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七年級數(shù)學(xué)暑期精品講義第8講.一元一次方程的應(yīng)用(一)--基礎(chǔ)班(學(xué)生版+解析)
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這是一份七年級數(shù)學(xué)暑期精品講義第8講.一元一次方程的應(yīng)用(一)--基礎(chǔ)班(學(xué)生版+解析),共23頁。學(xué)案主要包含了例題精選,隨堂練習(xí)等內(nèi)容,歡迎下載使用。
知識概述
列方程解應(yīng)用題的步驟:
審:審題,分析題中已知什么,求什么,明確各數(shù)量之間關(guān)系;
設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么,就設(shè)什么為);
找:找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系;
列:根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進(jìn)而列出方程;
解:解所列出的方程,求出未知數(shù)的值;
答:檢驗(yàn)所求解是否符合題意,寫出答案(包括單位名稱).
設(shè)未知數(shù)的方法:
直接設(shè)未知數(shù):指題目問什么就設(shè)什么,它多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況;
間接設(shè)未知數(shù):指所設(shè)的不是所求的,而解得的間接未知數(shù)對確定所求的量起中介作用;
引入輔助未知數(shù):為了使題目中的數(shù)量關(guān)系更加明確,可以引進(jìn)輔助未知數(shù)幫助建立方程.
輔助未知數(shù)往往不需要求出,可以在解題時(shí)消去.
1利潤問題
利潤問題常用關(guān)系式:
售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)=利潤
利潤率=利潤/成本×100%
【例題精選】
例1 (2023秋?任城區(qū)期末)元旦節(jié)日期間,百貨商場為了促銷,對某種商品按標(biāo)價(jià)的8折出售,仍獲利160元,若商品的標(biāo)價(jià)為2200元,那么它的成本為( )
A.1600元B.1800元C.2000元D.2100元
例2(2023秋?北侖區(qū)期末)右圖是“大潤發(fā)”超市中“飄柔”洗發(fā)水的價(jià)格標(biāo)簽,一服務(wù)員不小心將墨水滴在標(biāo)簽上,使得原價(jià)看不清楚,請你幫忙算一算,該洗發(fā)水的原價(jià)為( )
A.22元B.23元C.24元D.26元
例3(2023秋?潮州期末)某商店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣了80元,其中一個(gè)盈利60%,另一個(gè)虧本20%,在這次買賣中,這家商店( )
A.不賠不賺B.賺了10元C.賠了10元D.賺了50元
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?大安市期末)某商店賣出兩件衣服,每件60元,其中一件賺25%,另一件虧25%,那么這兩件衣服賣出后,商店是( )
A.不賺不虧B.賺8元C.虧8元D.賺15元
2.(2023秋?五華縣期末)某商店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣了135元,其中一個(gè)盈利25%,另一個(gè)虧本25%,在這次買賣中,這家商店( )
A.不賠不賺B.賺了9元C.賺了18元D.賠了18元
3.(2023秋?中山區(qū)期末)一種商品,原價(jià)600元,現(xiàn)按九折出售,現(xiàn)在的價(jià)格比原來便宜( )
A.540元B.40元C.60元D.100元
4.(2023秋?鄄城縣期末)某商販在一次買賣中,以每件135元的價(jià)格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,在這次買賣中,該商販( )
A.不賠不賺B.賺9元C.賠18元D.賺18元
2行程問題—追擊問題
行程問題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系:
路程速度時(shí)間: .
時(shí)間路程速度:.
速度路程時(shí)間:.
(其中為路程,為速度,為時(shí)間)
相遇問題:快行距慢行距原距:.
(快速慢速)時(shí)間距離: .
三.追及問題:快行距慢行距原距:.
(快速慢速)時(shí)間距離:.
【例題精選】
例1 (2023秋?張店區(qū)期末)如圖所示,兩人沿著邊長為90m的正方形,按A→B→C→D→A…的方向行走,甲從A點(diǎn)以65m/min的速度、乙從B點(diǎn)以75m/min的速度行走,當(dāng)乙第一次追上甲時(shí),將在正方形的( )邊上.
A.BCB.DCC.ADD.AB
例2(2023秋?永安市期末)如圖,跑道由兩個(gè)半圓部分AB,CD和兩條直跑道AD,BC組成,兩個(gè)半圓跑道的長都是115m,兩條直跑道的長都是85m.小彬站在A處,小強(qiáng)站在B處,兩人同時(shí)逆時(shí)針方向跑步,小彬每秒跑4m,小強(qiáng)每秒跑6m.當(dāng)小強(qiáng)第一次追上小彬時(shí),他們的位置在( )
A.半圓跑道AB上B.直跑道BC上
C.半圓跑道CD上D.直跑道AD上
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?吉林期末)我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中有個(gè)問題:良馬日行二百四十里,駑馬日行一百五十里,駑馬先行一十二日,問良馬幾何追及之.這道題的意思是:跑得快的馬每天走240里,跑得慢的馬每天走150里,慢馬先走12天,快馬幾天可以追上慢馬?如果我們設(shè)快馬x天可以追上慢馬,則可列方程( )
A.240x=150x+12B.240x=150x﹣12
C.240x=150(x+12)D.240x=150(x﹣12)
3.配套問題
【例題精選】
例1(2023秋?開遠(yuǎn)市期末)用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵皮可制作盒身15個(gè)或盒底42個(gè),一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒,現(xiàn)有144張白鐵皮,用多少張制作盒身,多少張制作盒底,可以正好制成整套罐頭盒?
例2.(2023?順德區(qū)模擬)一套儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成,用1m3鋼材可做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件,現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器,設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做B部件,其他鋼材做A部件,恰好配套,則可列方程為( )
A.3×40x=240(6﹣x)B.3×240x=40(6﹣x)
C.40x=3×240(6﹣x)D.240x=3×40(6﹣x)
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?哈爾濱一模)某車間有27名工人,每個(gè)工人每天生產(chǎn)64個(gè)螺母或者22個(gè)螺栓,每個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺母,若分配x個(gè)工人生產(chǎn)螺栓,其他工人生產(chǎn)螺母,恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套,則下列所列方程中正確的是( )
A.22x=64(27﹣x)B.2×22x=64(27﹣x)
C.64x=22(27﹣x)D.2×64x=22(27﹣x)
2.(2023秋?五華區(qū)期末)現(xiàn)用90立方米木料制作桌子和椅子,已知一張桌子配4張椅子,1立方米木料可做5張椅子或1張桌子,要使桌子和椅子剛好配套.設(shè)用x立方米的木料做桌子,則依題意可列方程為( )
A.4x=5(90﹣x)B.5x=4(90﹣x)
C.x=4(90﹣x)×5D.4x×5=90﹣x
4.盈不足問題
【例題精選】
例1(2023秋?武安市期末)將一堆糖果分給幼兒園某班的小朋友,如果每人2顆,那么就多16顆;如果每人3顆,那么就少24顆.設(shè)有糖果x顆,則可得方程為( )
A.=B.2x+16=3x﹣24
C.=D.=
例2(2023秋?東莞市期末)某汽車隊(duì)運(yùn)送一批貨物,若每輛汽車裝4噸,則還剩下8噸裝不下;若每輛汽車裝4.5噸,則恰好裝完.該車隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車共有多少輛?設(shè)該車隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車共有x輛,則可列方程為( )
A.4x+8=4.5xB.4x﹣8=4.5x
C.4x=4.5x+8D.4(x+8)=4.5x
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?盤龍區(qū)期末)我國很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題,其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問題:今有四人共車,一車空;二人共車,八人步,問人與車各幾何?這道題的意思是:今有若干人乘車,每4人乘一車,最終剩余1輛車,若每2人共乘一車,最終剩余8個(gè)人無車可乘,問有多少人,多少輛車?如果我們設(shè)有x輛車,則可列方程( )
A.4(x﹣1)=2x+8B.4(x+1)=2x﹣8
C.D.
2.(2023秋?新鄉(xiāng)期末)把一些圖書分給某班的學(xué)習(xí)小組,如果每組分11本,則剩余1本;如果每組分12本,則有一組少7本,設(shè)該班共有x個(gè)學(xué)習(xí)小組,則x滿足的方程是( )
A.11x+1=12x﹣7B.11x﹣1=12x﹣7
C.1lx+1=12(x﹣1)﹣5D.11x﹣1=12(x﹣1)﹣5
綜合練習(xí)
一.選擇題(共3小題)
1.如圖,電子螞蟻P、Q在邊長為1個(gè)單位長度的正方形ABCD的邊上運(yùn)動,電子螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā),以個(gè)單位長度/秒的速度繞正方形作順時(shí)針運(yùn)動,電子螞蟻Q從點(diǎn)A出發(fā),以個(gè)單位長度秒的速度繞正方形作逆時(shí)針運(yùn)動,則它們第2019次相遇在( )
A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D
2.已知某座橋長800米,現(xiàn)有一列火車從橋上通過,測得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘,這列火車完全在橋上的時(shí)間為40秒,則火車的速度和車長分別是( )
A.20米/秒,200米B.18米/秒,180米
C.16米/秒,160米D.15米/秒,150米
3.在2019年1月份的月歷表中,任意框出表中豎列上三個(gè)相鄰的數(shù)(如圖,如框出了10,17,24),則這三個(gè)數(shù)的和可能的是( )
A.21B.27C.50D.75
二.填空題(共1小題)
4.春節(jié)假期,小陳駕車從珠海出發(fā)到香港,去時(shí)在港珠澳大橋上用了40分鐘,返回時(shí)平均速度提高了25千米/小時(shí),在港珠澳大橋上的用時(shí)比去時(shí)少了10分鐘,求小陳去時(shí)的平均速度,設(shè)他去時(shí)駕車的平均速度為x千米/小時(shí),則可列方程為 .
三.解答題(共3小題)
5.甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行早鍛煉,甲慢跑速度為105米/分,乙步行速度為25米/分,兩人同時(shí)同地同向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間,兩人第一次相遇?(請列一元一次方程求解)
6.用A4紙?jiān)谀尘煊∩鐝?fù)印文件,復(fù)印頁數(shù)不超過20時(shí),每頁收費(fèi)1元;復(fù)印頁數(shù)超過20時(shí),超過部分每頁收費(fèi)降為0.4元,在某圖書館復(fù)印同樣的文件,不論復(fù)印多少頁,每頁收費(fèi)0.8元,當(dāng)復(fù)印的張數(shù)超過20頁時(shí),請問答以下問題.
(1)復(fù)印張數(shù)為多少頁時(shí),某眷印社與某圖書館的收費(fèi)相同?
(2)如何選擇更省錢?
7.小邢和小華相約放學(xué)后去公園跑步,她們一起以4km/h的速度從學(xué)校出發(fā),走了15分鐘后小邢發(fā)現(xiàn)忘了帶作業(yè),就以5km/h的速度回學(xué)校去拿,到達(dá)學(xué)校后,又用了6分鐘取作業(yè),之后便以同樣的速度去追趕小華,結(jié)果在距公園3km處追上了小華,試求學(xué)校與公園的距離.
第8講 一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用(一)
知識概述
列方程解應(yīng)用題的步驟:
審:審題,分析題中已知什么,求什么,明確各數(shù)量之間關(guān)系;
設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么,就設(shè)什么為);
找:找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系;
列:根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進(jìn)而列出方程;
解:解所列出的方程,求出未知數(shù)的值;
答:檢驗(yàn)所求解是否符合題意,寫出答案(包括單位名稱).
設(shè)未知數(shù)的方法:
直接設(shè)未知數(shù):指題目問什么就設(shè)什么,它多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況;
間接設(shè)未知數(shù):指所設(shè)的不是所求的,而解得的間接未知數(shù)對確定所求的量起中介作用;
引入輔助未知數(shù):為了使題目中的數(shù)量關(guān)系更加明確,可以引進(jìn)輔助未知數(shù)幫助建立方程.
輔助未知數(shù)往往不需要求出,可以在解題時(shí)消去.
1利潤問題
利潤問題常用關(guān)系式:
售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)=利潤
利潤率=利潤/成本×100%
【例題精選】
例1 (2023秋?任城區(qū)期末)元旦節(jié)日期間,百貨商場為了促銷,對某種商品按標(biāo)價(jià)的8折出售,仍獲利160元,若商品的標(biāo)價(jià)為2200元,那么它的成本為( )
A.1600元B.1800元C.2000元D.2100元
分析:首先設(shè)它的成本是x元,則售價(jià)是0.8x元,根據(jù)售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)=利潤可得方程2200×80%﹣x=160,再解方程即可.
【解答】解:設(shè)它的成本是x元,由題意得:2200×80%﹣x=160,
解得:x=1600,
故選:A.
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是弄清題意,設(shè)出未知數(shù),表示出售價(jià),根據(jù)售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)=利潤列出方程.
例2(2023秋?北侖區(qū)期末)右圖是“大潤發(fā)”超市中“飄柔”洗發(fā)水的價(jià)格標(biāo)簽,一服務(wù)員不小心將墨水滴在標(biāo)簽上,使得原價(jià)看不清楚,請你幫忙算一算,該洗發(fā)水的原價(jià)為( )
A.22元B.23元C.24元D.26元
分析:設(shè)出洗發(fā)水的原價(jià)是x元,直接得出有關(guān)原價(jià)的一元一次方程,再進(jìn)行求解.
【解答】解:設(shè)洗發(fā)水的原價(jià)為x元,由題意得:
0.8x=19.2,
解得:x=24.
故選:C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用中打折問題,設(shè)出原價(jià)即可列出有關(guān)方程.
例3(2023秋?潮州期末)某商店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣了80元,其中一個(gè)盈利60%,另一個(gè)虧本20%,在這次買賣中,這家商店( )
A.不賠不賺B.賺了10元C.賠了10元D.賺了50元
分析:設(shè)盈利的進(jìn)價(jià)是x元,虧本的是y元,根據(jù)某商店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣了80元,其中一個(gè)盈利60%,另一個(gè)虧本20%,可列方程求解.
【解答】解:設(shè)盈利的進(jìn)價(jià)是x元,
80﹣x=60%x
x=50
設(shè)虧本的進(jìn)價(jià)是y元
y﹣80=20%y
y=100
80+80﹣100﹣50=10元.
故賺了10元.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查理解題意的能力,關(guān)鍵是根據(jù)利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià),求出兩個(gè)商品的進(jìn)價(jià),從而得解.
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?大安市期末)某商店賣出兩件衣服,每件60元,其中一件賺25%,另一件虧25%,那么這兩件衣服賣出后,商店是( )
A.不賺不虧B.賺8元C.虧8元D.賺15元
【解答】解:設(shè)盈利的進(jìn)價(jià)是x元,則
x+25%x=60,
x=48.
設(shè)虧損的進(jìn)價(jià)是y元,則
y﹣25%y=60,
y=80.
60+60﹣48﹣80=﹣8,
∴虧了8元.
故選:C.
2.(2023秋?五華縣期末)某商店有兩個(gè)進(jìn)價(jià)不同的計(jì)算器都賣了135元,其中一個(gè)盈利25%,另一個(gè)虧本25%,在這次買賣中,這家商店( )
A.不賠不賺B.賺了9元C.賺了18元D.賠了18元
【解答】解:設(shè)盈利25%的計(jì)算器進(jìn)價(jià)為x元,由題意得,
x+25%x=135,
解得x=108;
設(shè)虧本25%的計(jì)算器進(jìn)價(jià)為y元,由題意得,
y﹣25%y=135,
解得y=180;
135×2﹣(108+180)=﹣18(元),
即這家商店賠了18元.
故選:D.
3.(2023秋?中山區(qū)期末)一種商品,原價(jià)600元,現(xiàn)按九折出售,現(xiàn)在的價(jià)格比原來便宜( )
A.540元B.40元C.60元D.100元
【解答】解:設(shè)現(xiàn)在的價(jià)格比原來便宜x元,
根據(jù)題意,得600﹣x=600×0.9
解得x=60.
故選:C.
4.(2023秋?鄄城縣期末)某商販在一次買賣中,以每件135元的價(jià)格賣出兩件衣服,其中一件盈利25%,另一件虧損25%,在這次買賣中,該商販( )
A.不賠不賺B.賺9元C.賠18元D.賺18元
【解答】解:設(shè)盈利的衣服的進(jìn)價(jià)為x元,虧損的衣服的進(jìn)價(jià)為y元,
依題意,得:135﹣x=25%x,135﹣y=﹣25%y,
解得:x=108,y=180.
∵135﹣108+(135﹣180)=﹣18,
∴該商販賠18元.
故選:C.
2行程問題—追擊問題
行程問題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系:
路程速度時(shí)間: .
時(shí)間路程速度:.
速度路程時(shí)間:.
(其中為路程,為速度,為時(shí)間)
相遇問題:快行距慢行距原距:.
(快速慢速)時(shí)間距離: .
三.追及問題:快行距慢行距原距:.
(快速慢速)時(shí)間距離:.
【例題精選】
例1 (2023秋?張店區(qū)期末)如圖所示,兩人沿著邊長為90m的正方形,按A→B→C→D→A…的方向行走,甲從A點(diǎn)以65m/min的速度、乙從B點(diǎn)以75m/min的速度行走,當(dāng)乙第一次追上甲時(shí),將在正方形的( )邊上.
A.BCB.DCC.ADD.AB
分析:設(shè)乙行走tmin后第一次追上甲,根據(jù)題意列出方程270+65t=75t,求出相遇時(shí)間;再由相遇時(shí)間確定乙的位置.
【解答】解:設(shè)乙行走tmin后第一次追上甲,
根據(jù)題意,可得:
甲的行走路程為65tm,乙的行走路程75tm,
當(dāng)乙第一次追上甲時(shí),270+65t=75t,
∴t=27min,
此時(shí)乙所在位置為:
75×27=2025m,
2025÷(90×4)=5…225,
∴乙在距離B點(diǎn)225m處,即在AD上,
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用;理解題意,根據(jù)已知列出一元一次方程,再結(jié)合正方形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.
例2(2023秋?永安市期末)如圖,跑道由兩個(gè)半圓部分AB,CD和兩條直跑道AD,BC組成,兩個(gè)半圓跑道的長都是115m,兩條直跑道的長都是85m.小彬站在A處,小強(qiáng)站在B處,兩人同時(shí)逆時(shí)針方向跑步,小彬每秒跑4m,小強(qiáng)每秒跑6m.當(dāng)小強(qiáng)第一次追上小彬時(shí),他們的位置在( )
A.半圓跑道AB上B.直跑道BC上
C.半圓跑道CD上D.直跑道AD上
分析:設(shè)小強(qiáng)第一次追上小彬的時(shí)間為x秒,根據(jù)小強(qiáng)路程﹣小斌路程+AB的長度=1個(gè)跑道的全長列出方程求得x的值,再進(jìn)一步判斷可得.
【解答】解:設(shè)小強(qiáng)第一次追上小彬的時(shí)間為x秒,
根據(jù)題意,得:6x﹣4x+115=2×115+2×85,
解得x=142.5,
則4x=570,570﹣400=170>115,
∴他們的位置在直跑道BC上,
故選:B.
【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意找到環(huán)形跑道上路程間的相等關(guān)系:小強(qiáng)路程﹣小斌路程+AB的長度=1個(gè)跑道的全長.
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?吉林期末)我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中有個(gè)問題:良馬日行二百四十里,駑馬日行一百五十里,駑馬先行一十二日,問良馬幾何追及之.這道題的意思是:跑得快的馬每天走240里,跑得慢的馬每天走150里,慢馬先走12天,快馬幾天可以追上慢馬?如果我們設(shè)快馬x天可以追上慢馬,則可列方程( )
A.240x=150x+12B.240x=150x﹣12
C.240x=150(x+12)D.240x=150(x﹣12)
【解答】解:設(shè)快馬x天可以追上慢馬,
依題意,得:240x=150(x+12).
故選:C.
3.配套問題
【例題精選】
例1(2023秋?開遠(yuǎn)市期末)用白鐵皮做罐頭盒,每張鐵皮可制作盒身15個(gè)或盒底42個(gè),一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒,現(xiàn)有144張白鐵皮,用多少張制作盒身,多少張制作盒底,可以正好制成整套罐頭盒?
分析:根據(jù)配套問題列一元一次方程即可求解.
【解答】解:設(shè)用x張制作盒身,(144﹣x)張制作盒底,可以正好制成整套罐頭盒.
根據(jù)題意,得
2×15x=42(144﹣x)
解得x=84,∴144﹣x=60.
答:用84張制作盒身,60張制作盒底,可以正好制成整套罐頭盒.
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系.
例2.(2023?順德區(qū)模擬)一套儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成,用1m3鋼材可做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件,現(xiàn)要用6m3鋼材制作這種儀器,設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做B部件,其他鋼材做A部件,恰好配套,則可列方程為( )
A.3×40x=240(6﹣x)B.3×240x=40(6﹣x)
C.40x=3×240(6﹣x)D.240x=3×40(6﹣x)
分析:設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做B部件,則應(yīng)用(6﹣x)m3鋼材做A部件,根據(jù)一個(gè)A部件和三個(gè)B部件剛好配成套,列方程求解.
【解答】解:設(shè)應(yīng)用xm3鋼材做B部件,則應(yīng)用(6﹣x)m3鋼材做A部件,
由題意得,240x=3×40(6﹣x)
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程.
【隨堂練習(xí)】
1.(2023?哈爾濱一模)某車間有27名工人,每個(gè)工人每天生產(chǎn)64個(gè)螺母或者22個(gè)螺栓,每個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺母,若分配x個(gè)工人生產(chǎn)螺栓,其他工人生產(chǎn)螺母,恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套,則下列所列方程中正確的是( )
A.22x=64(27﹣x)B.2×22x=64(27﹣x)
C.64x=22(27﹣x)D.2×64x=22(27﹣x)
【解答】解:設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺栓,則(27﹣x)名生產(chǎn)螺母,
∵一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母,每人每天生產(chǎn)螺母64個(gè)或螺栓22個(gè),
∴可得2×22x=64(27﹣x).
故選:B.
2.(2023秋?五華區(qū)期末)現(xiàn)用90立方米木料制作桌子和椅子,已知一張桌子配4張椅子,1立方米木料可做5張椅子或1張桌子,要使桌子和椅子剛好配套.設(shè)用x立方米的木料做桌子,則依題意可列方程為( )
A.4x=5(90﹣x)B.5x=4(90﹣x)
C.x=4(90﹣x)×5D.4x×5=90﹣x
【解答】解:設(shè)用x立方米的木料做桌子,則用(90﹣x)立方米的木料做椅子,
依題意,得:4x=5(90﹣x).
故選:A.
4.盈不足問題
【例題精選】
例1(2023秋?武安市期末)將一堆糖果分給幼兒園某班的小朋友,如果每人2顆,那么就多16顆;如果每人3顆,那么就少24顆.設(shè)有糖果x顆,則可得方程為( )
A.=B.2x+16=3x﹣24
C.=D.=
分析:設(shè)有糖果x顆,根據(jù)該班小朋友的人數(shù)不變,即可得出關(guān)于x的一元一次方程,此題得解.
【解答】解:設(shè)有糖果x顆,
依題意,得:=.
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.
例2(2023秋?東莞市期末)某汽車隊(duì)運(yùn)送一批貨物,若每輛汽車裝4噸,則還剩下8噸裝不下;若每輛汽車裝4.5噸,則恰好裝完.該車隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車共有多少輛?設(shè)該車隊(duì)運(yùn)送貨物的汽車共有x輛,則可列方程為( )
A.4x+8=4.5xB.4x﹣8=4.5x
C.4x=4.5x+8D.4(x+8)=4.5x
分析:設(shè)這個(gè)車隊(duì)有x輛車,根據(jù)題意可知等量關(guān)系為:兩種裝法貨物的總量是一定的,據(jù)此列方程.
【解答】解:設(shè)這個(gè)車隊(duì)有x輛車,
由題意得,4x+8=4.5x.
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程.
【隨堂練習(xí)】
1.(2023秋?盤龍區(qū)期末)我國很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題,其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問題:今有四人共車,一車空;二人共車,八人步,問人與車各幾何?這道題的意思是:今有若干人乘車,每4人乘一車,最終剩余1輛車,若每2人共乘一車,最終剩余8個(gè)人無車可乘,問有多少人,多少輛車?如果我們設(shè)有x輛車,則可列方程( )
A.4(x﹣1)=2x+8B.4(x+1)=2x﹣8
C.D.
【解答】解:設(shè)有x輛車,
依題意,得:4(x﹣1)=2x+8.
故選:A.
2.(2023秋?新鄉(xiāng)期末)把一些圖書分給某班的學(xué)習(xí)小組,如果每組分11本,則剩余1本;如果每組分12本,則有一組少7本,設(shè)該班共有x個(gè)學(xué)習(xí)小組,則x滿足的方程是( )
A.11x+1=12x﹣7B.11x﹣1=12x﹣7
C.1lx+1=12(x﹣1)﹣5D.11x﹣1=12(x﹣1)﹣5
【解答】解:設(shè)該班共有x個(gè)學(xué)習(xí)小組,
∵如果每組分11本,則剩余1本,
∴圖書的數(shù)量為:11x+1,
∵如果每組分12本,則有一組少7本,
∴圖書的數(shù)量為:12x﹣7,
則11x+1=12x﹣7,
故選:A.
綜合練習(xí)
一.選擇題(共3小題)
1.如圖,電子螞蟻P、Q在邊長為1個(gè)單位長度的正方形ABCD的邊上運(yùn)動,電子螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā),以個(gè)單位長度/秒的速度繞正方形作順時(shí)針運(yùn)動,電子螞蟻Q從點(diǎn)A出發(fā),以個(gè)單位長度秒的速度繞正方形作逆時(shí)針運(yùn)動,則它們第2019次相遇在( )
A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D
【解答】解:設(shè)兩只電子螞蟻每隔x秒相遇一次,
根據(jù)題意得:(+)x=1×4,
解得:x=2.
∵電子螞蟻Q從點(diǎn)A出發(fā),以個(gè)單位長度/秒的速度繞正方形作逆時(shí)針運(yùn)動,
2秒后它到達(dá)B點(diǎn),即第一次它們相遇在B點(diǎn),
∴第2次相遇在C點(diǎn),第3次相遇在D點(diǎn),第4次相遇在A點(diǎn),第5次相遇在B點(diǎn),第6次相遇在C點(diǎn),….
又∵2019÷4=504……3,
∴第2019次相遇和第3次相遇地點(diǎn)相同,即第2019次相遇在點(diǎn)D.
故選:D.
2.已知某座橋長800米,現(xiàn)有一列火車從橋上通過,測得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘,這列火車完全在橋上的時(shí)間為40秒,則火車的速度和車長分別是( )
A.20米/秒,200米B.18米/秒,180米
C.16米/秒,160米D.15米/秒,150米
【解答】解:設(shè)火車的速度是x米/秒,
根據(jù)題意得:
800﹣40x=60x﹣800,
解得:x=16,
即火車的速度是16米/秒,
火車的車長是:60×16﹣800=160(米),
故選:C.
3.在2019年1月份的月歷表中,任意框出表中豎列上三個(gè)相鄰的數(shù)(如圖,如框出了10,17,24),則這三個(gè)數(shù)的和可能的是( )
A.21B.27C.50D.75
【解答】解:設(shè)三個(gè)數(shù)中間的一個(gè)數(shù)為x,則另外兩個(gè)數(shù)分別為x﹣7、x+7,
根據(jù)題意得:(x﹣7)+x+(x+7)=21或(x﹣7)+x+(x+7)=27或(x﹣7)+x+(x+7)=50或(x﹣7)+x+(x+7)=75,
解得:x=7或x=9或x=或x=25,
又∵x=7或x=或x=25不符合題意,
∴這三個(gè)數(shù)的和只可能是27.
故選:B.
二.填空題(共1小題)
4.春節(jié)假期,小陳駕車從珠海出發(fā)到香港,去時(shí)在港珠澳大橋上用了40分鐘,返回時(shí)平均速度提高了25千米/小時(shí),在港珠澳大橋上的用時(shí)比去時(shí)少了10分鐘,求小陳去時(shí)的平均速度,設(shè)他去時(shí)駕車的平均速度為x千米/小時(shí),則可列方程為 x=(x+25) .
【解答】解:設(shè)他去時(shí)駕車的平均速度為x千米/小時(shí),則返回時(shí)駕車的平均速度為(x+25)千米/小時(shí),
依題意,得:x=(x+25).
故答案為:x=(x+25).
三.解答題(共3小題)
5.甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行早鍛煉,甲慢跑速度為105米/分,乙步行速度為25米/分,兩人同時(shí)同地同向出發(fā),經(jīng)過多少時(shí)間,兩人第一次相遇?(請列一元一次方程求解)
【解答】解:設(shè)經(jīng)過x分鐘后兩人第一次相遇,
可列方程:105x﹣25x=400
解得x=5
答:經(jīng)過5分鐘,兩人第一次相遇.
6.用A4紙?jiān)谀尘煊∩鐝?fù)印文件,復(fù)印頁數(shù)不超過20時(shí),每頁收費(fèi)1元;復(fù)印頁數(shù)超過20時(shí),超過部分每頁收費(fèi)降為0.4元,在某圖書館復(fù)印同樣的文件,不論復(fù)印多少頁,每頁收費(fèi)0.8元,當(dāng)復(fù)印的張數(shù)超過20頁時(shí),請問答以下問題.
(1)復(fù)印張數(shù)為多少頁時(shí),某眷印社與某圖書館的收費(fèi)相同?
(2)如何選擇更省錢?
【解答】解:(1)設(shè)復(fù)印張數(shù)為x頁,(x>20),列方程得:
20+0.4(x﹣20)=0.8x
解得:x=30
答:復(fù)印張數(shù)為30頁時(shí),某眷印社與某圖書館的收費(fèi)相同.
(2)20+0.4(x﹣20)>0.8x
解得:x<30
答:當(dāng)復(fù)印張數(shù)大于0小于30頁時(shí),選某圖書館;當(dāng)復(fù)印張數(shù)為30頁時(shí),兩店一樣;當(dāng)復(fù)印張數(shù)大于30頁時(shí),選某眷印社.
7.小邢和小華相約放學(xué)后去公園跑步,她們一起以4km/h的速度從學(xué)校出發(fā),走了15分鐘后小邢發(fā)現(xiàn)忘了帶作業(yè),就以5km/h的速度回學(xué)校去拿,到達(dá)學(xué)校后,又用了6分鐘取作業(yè),之后便以同樣的速度去追趕小華,結(jié)果在距公園3km處追上了小華,試求學(xué)校與公園的距離.
【解答】解:根據(jù)題意得:
走了15分鐘后,二者與學(xué)校的距離為:4×=1(km),
小邢返回學(xué)校所用的時(shí)間t1==0.2h,
二者分開后小華走的時(shí)間為t2=0.2+=0.3(h),
二者分開后小華走的距離為:4×0.3=1.2(km),
設(shè)小邢追上小華所用的時(shí)間為th,
根據(jù)題意得:
5t=4t+1+1.2,
解得:t=2.2,
這段時(shí)間小華走的距離為:4×2.2=8.8(km),
學(xué)校與公園的距離為:8.8+1+1.2+3=14(km),
答:學(xué)校與公園的距離為14km.
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