專題02 平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊常見幾何模型（蘇科版）

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拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。
通用解法：見拐點作平行線； 基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。
模型2：鉛筆頭模型
圖1 圖2 圖3
如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.
如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點P2作AM的平行線P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，
根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023·江蘇南通·?？级＃┤鐖D，已知，，，則的度數(shù)是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．140°
例 2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
例3．（2023下·江蘇·七年級專題練習）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α
例4．（2023下·廣西南寧·七年級?？计谀┤鐖D，如果，那么（ ）

A．B．C．D．
例5．（2023下·湖北武漢·七年級期末）如圖，， ， ，已知，則的度數(shù)為 ．

例6．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，點P在直線和之間，連接和的平分線交于點Q，下列等式正確的是（ ）

A．B．C． D．
例7．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點E為、之間的一點．求證：．
(2)如圖2，，點E、F、G、H為、之間的四點．則______．
(3)如圖3，，則______．
例8．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┊敼饩€經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖中②，都有，，設鏡子與的夾角．
(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，若，設鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過為正整數(shù)，且次反射，當?shù)诖畏瓷涔饩€與入射光線平行時，請直接寫出的度數(shù)可用含有的代數(shù)式表示．

例9．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知直線，點P在直線之間，連接．
(1)如圖1，若，直接寫出的大小；
(2)如圖2，點Q在之間，，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點M，且，點N在直線之間，連接，，直接寫出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．
課后專項訓練
1．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，在五邊形中，，則（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當時，的度數(shù)為（ ）

A．55°B．70°C．60°D．35°
3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
4．（2023下·河北邯鄲·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，將直線m按箭頭所指方向平移至直線n，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若，則（ ）

A．B．C．D．
6．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
7．（2023下·廣東中山·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知：，則 （ ）

A．B．C．D．
8．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在五邊形中，,，則的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（2023下·黑龍江綏化·七年級?？计谀┤鐖D，已知， 則 ．

10．（2022上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為 ．（用含n的式子表示）
11．（2023下·吉林·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，，平分，若，，則 ．

12．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖是某小區(qū)大門的道閘欄桿示意圖，立柱垂直于地面于點A，當欄桿達到最高高度時，橫欄，此時則， ．

13．（2023上·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為 ．

14．（2023下·貴州安順·七年級?？茧A段練習）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °．
15．（2023下·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，平分，平分，若，則 度．
16．（2023下·江西南昌·七年級南昌二中校考期中）如圖已知：，，平分，，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中，正確的結(jié)論有 ．（填序號）
17．（2023下·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140?，∠C=165?．
（1）求∠B的度數(shù)；（2）當∠D= °時，AB∥DE？為什么？
18．（2023下·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，，且，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．(1)填空： °；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖3，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達之前，若兩燈發(fā)出的射線與交于點C，過C作交PQ于點D，且，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

19．（2023下·七年級課時練習）已知．

(1)如圖①，點C是夾在和之間的一點，當時，垂足為C，你知道是多少度嗎？
(2)如圖②，點，是夾在和之間的兩點，請想一想：的度數(shù)為 ；
(3)如圖③，隨著與之間點的增加，那么的度數(shù)為 ．（不必說明理由）
20．（2023下·江蘇·七年級專題練習）已知，連接A，C兩點．
(1)如圖1，與的平分線交于點E，則等于 度；
(2)如圖2，點M在射線反向延長線上，點N在射線上．與的平分線交于點E．若，求的度數(shù)；
(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點，與的平分線交于點E．設，請直接寫出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．
21．（2022下·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期中）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；
(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．
22．（2023下·安徽滁州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，過點作，可得．利用平行線的性質(zhì)，可得：與，之間的數(shù)量關(guān)系是________________．
利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問題：（1）如圖2，，點是和平分線的交點，，求的度數(shù)；（2）如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數(shù)是________．

23．（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）已知：，點E、F分別在直線、上，點O在直線、之間，且．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線平分，連接，若，與相等嗎？若相等，請證明你的結(jié)論；若不相等，請說明理由．(3)如圖3，在內(nèi)，，在內(nèi)，，點M、N分別為射線、上的動點，且點M、N在直線、之間，其中，，若，求n的取值范圍．

24．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知，李想同學將放置在這兩條平行線上展開探究，其中三邊與兩條平行線分別交于點、、、．

(1)【特例探究】如圖1，．①______度；
②若與的角平分線相交于點，則______度；
(2)【一般探索】如圖2，，．
①若，，求與的關(guān)系；
②若，（且為整數(shù)），直接寫出與的關(guān)系；
(3)【拓展應用】如圖3，與的角平分線相交于點，與的角平分線相交于點，與的角平分線相交于點；……，以此類推，則的值是多少？（直接寫出結(jié)果）