（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義12 圓的方程（2份打包，原卷版+教師版）

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學(xué)習(xí)目標 1.掌握圓的定義及標準方程. 2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程， 能準確判斷點與圓的位置關(guān)系．
知識點一 圓的標準方程
(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.
知識點二 點與圓的位置關(guān)系
點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓．( × )
2．確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑．( √ )
3．圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標是(1,2)，半徑是4.( × )
4．(0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × )
一、求圓的標準方程
例1 (1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，
∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的標準方程是__________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB為直徑，∴AB的中點(1,2)為圓心，eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(?5＋3?2＋?5＋1?2)＝5為半徑，
∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圓的標準方程的策略
確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．
跟蹤訓(xùn)練1 求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心是(4,0)，且過點(2,2)；
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝8.
(2)設(shè)圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0,0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、點與圓的位置關(guān)系
例2 (1)點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是( )
A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓外
C．點P在圓上 D．不確定
答案 B
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點P在圓外．
(2)已知點M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為________________．
答案 [0,1)
解析 由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,?5\r(a)＋1－1?2＋?\r(a)?2eq \f(1,169)，∴a>eq \f(1,13)或a＜－eq \f(1,13).
1．知識清單：
(1)圓的標準方程．
(2)點和圓的位置關(guān)系．
2．方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：幾何法求圓的方程出現(xiàn)漏解情況．
1．圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標準方程是( )
A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C．(x－3)2＋(y－1)2＝5 D．(x－3)2＋(y－1)2＝25
答案 D
2．圓(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周長是( )
A.eq \r(13)π B．2eq \r(13)π C．2π D．2eq \r(3)π
答案 B
解析 由圓的標準方程可知，其半徑為eq \r(13)，周長為2eq \r(13)π.
3．已知點A(3，－2)，B(－5,4)，以線段AB為直徑的圓的標準方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案 B
解析 由題意得圓心坐標為(－1,1)，半徑r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(?3＋5?2＋?－2－4?2)＝5，
所以圓的標準方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故選B.
4．若點A(a＋1,3)在圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0,5) D．[0,5]
答案 C
解析 由題意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m0，所以00，
解得m0成立，則表示圓，否則不表示圓．
(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半徑和圓心坐標分別為( )
A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1)
C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1)
答案 D
解析 x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半徑和圓心分別為r＝1，(2，－1)．
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．meq \f(1,2) C．m0，所以m0，即k