專題33 將軍飲馬模型-中考數(shù)學(xué)幾何模型（重點(diǎn)專練）

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【模型1】兩點(diǎn)一線
1.如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最??？
思路：由“兩點(diǎn)間線段最短”可得當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB的值最小，即為AB的長度.
構(gòu)圖：連接AB，AB與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：
2.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最??？
構(gòu)圖：作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)A’，連接A’B，A’B與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：
3.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？
構(gòu)圖：連接AB并延長與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：
4.如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？
構(gòu)圖：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B’，連接AB’并延長與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：
5.如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最??？
構(gòu)圖：連接AB，作AB的垂直平分線與直線交于點(diǎn)P，此時(shí)為0，如圖所示：
【模型2】一定兩動(dòng)
1.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使△PCD的周長最?。?br>構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P’、P’’，連接P’P’’，交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長最小，P’P’’即為△PCD的周長最小值，如圖所示：
2.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使PD＋CD的值最小？
構(gòu)圖：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P’，過點(diǎn)P’作P’C⊥OA交OB于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)C，此時(shí)PD＋CD的值最小，P’C即為PD＋CD的值最小.
3.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、OB上分別取點(diǎn)C、D，使得△PCD的周長最?。?br>構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)P’、Q’，連接P’Q’分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長最小值為PQ＋P’Q’，如圖所示：
【模型3】兩點(diǎn)兩線
在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
1.A、B兩點(diǎn)都在直線的外側(cè)
2.一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)
3.兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)
【例1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（ ）
A．4B．C．D．5
【例2】如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點(diǎn)，AB=8，M，N是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．
【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，其中OA＝2，S△ABC＝12，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．
(1)求直線AB的解析式；
(2)將直線AB向下平移6個(gè)單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點(diǎn)E，與直線CB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作y軸的垂線l2，若點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若點(diǎn)M為直線AB上的一點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
一、單選題
1．如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（ ）
A．2B．C．D．1
2．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（ ）．
A．B．
C．D．
3．如圖1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PD的長度為x，PE與PC的長度和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H（a，b）是圖象上的最低點(diǎn)，則a+b的值為（ ）
A．B．C．D．36
4．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（ ）
A．B．3C．2D．4
5．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)E是DC上一個(gè)點(diǎn)，且DE＝1，P點(diǎn)在AC上移動(dòng)，則PE＋PD的最小值是（ ）
A．4B．4.5C．5.5D．5
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（ ）
A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不對
7．如圖，矩形中，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（ ）
A．B．2C．2D．3
二、填空題
9．在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”中，如圖所示，點(diǎn)在上，且，若為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，則的值為______．
10．如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長的最小值是______．
11．如圖，菱形ABCD 的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PB＋PM 的值最小時(shí)，PM的長是________．
12．如圖，等邊的邊長為4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．
13．如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_________．
14．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN＋MN的最小值是______．
三、解答題
15．如圖，在一條東西向的馬路上有廣場A和醫(yī)院C，在各自正北方向上分別有汽車站B和汽車站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在馬路AC段之間建造一個(gè)加油站P．
（1）若要使得加油站P到兩汽車站的距離之和最小，請用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接寫出此時(shí)的最小值．（作圖請保留痕跡，結(jié)果可以保留根號）
（2）若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時(shí)PA的距離．（作圖請保留痕跡）
16．如圖，一個(gè)牧童在小河的南4華里（長度單位）的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8華里北7華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．
(1)畫出關(guān)于軸對稱的；
(2)在軸上找一點(diǎn)，使的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡），并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的．
（2）若B為坐標(biāo)原點(diǎn)，請寫出、、的坐標(biāo)，并直接寫出的長度．．
（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點(diǎn)，D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)D，使最?。ūＡ糇鲌D痕跡）
19．如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣6過點(diǎn)A（﹣2，﹣2），與y軸交于點(diǎn)B．
(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B坐標(biāo)；
(2)在x軸上找一點(diǎn)C，連接BC，AC．當(dāng)BC＋AC最小時(shí)，
①請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
②請直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為______；
③在坐標(biāo)軸上找點(diǎn)D，連接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為_____．
20．教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第111頁的部分內(nèi)容．
(1)問題解決：請結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程．
(2)問題探究：在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．過點(diǎn)D作DE//AC交BC的延長線于點(diǎn)E．如圖②，連結(jié)OE，則OE的長為____．
(3)如圖③，若點(diǎn)P是對角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC、PE，則PC＋PE的最小值為_____．
21．如圖，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PDCB的周長最小時(shí)，求四邊形PDCB的面積；
(3)把直線沿y軸向上平移9個(gè)單位長度，得到新直線與直線交于點(diǎn)E，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)D，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
22．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最小？求此時(shí)PA+PC的長度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．