數(shù)學(xué)必修 第一冊4.1 樣本的數(shù)字特征精品課后作業(yè)題

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考查題型一 已知一組數(shù)據(jù)，求這組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
1．假設(shè)有一組數(shù)據(jù)為6，8，3，6，4，6，5，這些數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是 （ ）
A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6
【答案】D
【分析】由小到大排列給定數(shù)據(jù)組，再利用眾數(shù)與中位數(shù)的意義求解即得.
【詳解】依題意，原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：3，4，5，6，6， 6，8，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是6，6.
故選：D
2．有6位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測驗分?jǐn)?shù)分別是：125，130，130，132，140，145，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．130B．132C．131D．140
【答案】C
【分析】由中位數(shù)計算方法可得答案.
【詳解】因一共有6個數(shù)據(jù)，且已進(jìn)行排序，則中位數(shù)為第3個與第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為.
故選：C
3．已知一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)均為4，則其方差為 .
【答案】
【分析】由中位數(shù)和平均數(shù)計算出，然后由方差公式計算．
【詳解】已知一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，
∵這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，∴，∴，
∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，∴，
∴這組數(shù)據(jù)的方差是．
故答案為：．
4．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，所以，這一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：
2，2，4，5， 7，9，因此這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：.
故答案為：
考查題型二 利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征
1．為了解開學(xué)后大學(xué)生的身體健康狀況，2023年寒假開學(xué)后，某學(xué)校統(tǒng)計了學(xué)生在假期間每天的學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到下圖所示的頻率分布直方圖.圖中數(shù)值是公差為0.002的等差數(shù)列，則估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（ ）
A．120B．125C．160D．165
【答案】C
【分析】由已知結(jié)合圖象，列出方程組，求出的值.然后根據(jù)頻率分布直方圖，計算可得前4個小矩形的面積之和為，即可得出答案.
【詳解】由題意，，解得，
所以，前4個小矩形的面積之和為，
所以中位數(shù)為160.
故選：C.
（多選題）2．實踐育人是落實立德樹人根本任務(wù)的重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任時代新人的有效途徑.某研究性學(xué)習(xí)小組為了解某校2000名學(xué)生參加2023年暑期社會實踐的情況，通過分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，對學(xué)生某一天社會實踐的時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中的人數(shù)為20人，則以下說法正確的是（ ）

A．
B．
C．估計全校社會實踐時間在60分鐘以上的學(xué)生約為1600人
D．估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為74
【答案】ABD
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1求解a判斷A，根據(jù)第二組的頻數(shù)及頻率即可求解判斷B，
根據(jù)社會實踐時間在60分鐘以上的頻率求得人數(shù)判斷C，根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算公式求解判斷D.
【詳解】由，得，故A正確；
因為樣本中的人數(shù)為20人，所以，得，故B正確；
因為全校社會實踐時間在60分鐘以上的頻率為0.9，
所以全校社會實踐時間在60分鐘以上的學(xué)生約為，故C錯誤；
平均數(shù)為：，故D正確；
故選：ABD
（多選題）3．從樹人小學(xué)二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身商（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖，則（ ）

A．
B．估計樹人小學(xué)這100名二年級學(xué)生的平均身高為124.5cm
C．估計樹人小學(xué)這100名二年級學(xué)生的平均身高的中位數(shù)為122.5cm
D．估計樹人小學(xué)這100名二年級學(xué)生的平均身高的眾數(shù)為120cm
【答案】AB
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1計算出，然后確定均值、中位數(shù)、眾數(shù)：直方圖中最高的小長方形中點的橫坐標(biāo)，中位數(shù)就是頻率分布直方圖面積的一半所對應(yīng)的值，即中位數(shù)兩邊的小長方形面積和都是0.5，平均數(shù)為每個小長方形面積與小長方形中點橫坐標(biāo)乘積之和．
【詳解】由題意，，A正確；
均值為，B正確；
設(shè)中位數(shù)是，由直方圖可知其在第3三組，則，，C錯；
眾數(shù)是115，D錯；
故選：AB．
4．2022年11月卡塔爾世界杯如期舉行，這是世界足球的一場盛宴．為了了解全民對足球的熱愛程度，組委會在某場比賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了1000名觀眾進(jìn)行對足球“喜愛度”的調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6段：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．圖中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，若已知這1000名觀眾評分的中位數(shù)估計值為87.5，則m= .

【答案】
【分析】根據(jù)中位數(shù)之前的矩形面積之和對于列方程求解即可.
【詳解】由題可知，，解得.
故答案為：
5．2023年8月8日，世界大學(xué)生運動會在成都成功舉行閉幕式.某校抽取100名學(xué)生進(jìn)行了大運會知識競賽并紀(jì)錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中
的值；
(2)估計這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）及中位數(shù)．
【答案】(1)；(2)，
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計算即可；
（2）利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及中位數(shù)的公式計算即可.
【詳解】（1）由題意知：，
即．
（2）由頻率分布直方圖可知：
平均數(shù)為：
前3組的頻率為，所以中位數(shù)為．
考查題型三 平均數(shù)、方差的性質(zhì)
1．已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（ ）
A．3，4B．2，8C．2，4D．5，8
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運算求解.
【詳解】由題意可得：數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差是.
故選：D.
2．有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，加入一組新數(shù)據(jù)，，，，其中，且，則關(guān)于加入后的數(shù)據(jù)的描述正確的是（ ）
A．加入后的數(shù)據(jù)的中位數(shù)變大了 B．加入后的數(shù)據(jù)的極差變大了
C．加入后的數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒變 D．加入后的數(shù)據(jù)的方差可能沒變
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合極差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義，判斷出加入后數(shù)據(jù)的極差、中位數(shù)、平均數(shù)變化不確定；當(dāng)取，時，即可求解.
【詳解】由于，且，，的值不確定，因此中位數(shù)、平均數(shù)、極差的變化不確定；
對于，取，，則方差沒變.
故選：.
3．已知，，...，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則，，...，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（ ）
A．19和2B．19和4C．19和8D．19和16
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解.
【詳解】已知，，...，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，方差為4，
則，，...，的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為4.
故選：B.
（多選題）4．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，新數(shù)據(jù)的平均值為，方差為．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計算可得.
【詳解】若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
則新數(shù)據(jù)的平均值為，方差為.
故選：CD
（多選題）5．若的平均數(shù)為3，方差為4，則的（ ）
A．平均數(shù)為1B．方差為1 C．平均數(shù)為 D．方差為2
【答案】AB
【分析】利用均值和方差的性質(zhì)求解新的均值和方差.
【詳解】若的平均數(shù)為，方差為，
則的平均數(shù)為，方差為，
令，，解得，．
故選：AB
1．已知樣本數(shù)據(jù)都為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為 .
【答案】11
【分析】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)結(jié)合方差公式可得，于是，結(jié)合平均數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為，
其方差
，又，
則有，解得，則樣本數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)為；
故答案為：11．
2．設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)比方差大4，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，
所以，，即，則，
因為，所以，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，的最大值是．
故答案為：．
（多選題）3．如圖為國家統(tǒng)計局于2022年12月27日發(fā)布的有關(guān)數(shù)據(jù)，則（ ）
A．營業(yè)收入增速的中位數(shù)為B．營業(yè)收入增速極差為
C．利潤總額增速越來越小D．利潤總額增速的平均數(shù)大于
【答案】ABD
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐項進(jìn)行檢驗即可求解.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)易知營業(yè)收入增速的中位數(shù)為，故選項正確；
營業(yè)收入增速的極差為，故選項正確；
利潤總額增速2022年1-3月累計比2022年1-2月累計上升，故選項錯誤；
利潤總額增速的平均數(shù)
，故選項正確；
故選：.
（多選題）4．在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)7天，每天新增疑似病例不超過5人”．過去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，則一定符合該標(biāo)志的是（ ）
甲地：總體平均數(shù)為2，且標(biāo)準(zhǔn)差； 乙地：中位數(shù)為2，極差為；
丙地：總體平均數(shù)，且極差； 丁地：眾數(shù)為1，且極差．
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】BCD
【分析】對于甲地，取特殊值滿足條件代入即可知甲地不符合該標(biāo)志，對于乙地和丙地，采用反證法即可知這兩地符合該標(biāo)志，對于丁地，由眾數(shù)為1，且極差即可知所有數(shù)據(jù)不會超過5，即丁地符合.
【詳解】甲地：若7天新增疑似病例為1，1，1，1，2，2，6，滿足平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差
，但不符合該標(biāo)志，即A錯誤；
乙地：若中位數(shù)為2可知7天新增數(shù)據(jù)的最小值小于等于2，又由極差為可得最大值小于等于5，
即不可能有哪天的疑似病例超過5人，符合該標(biāo)志，即B正確；
丙地：由極差可知，若某天疑似病例超過5人，此時7天新增數(shù)據(jù)的最小值大于等于3，那么總體平均數(shù)就不可能成立，
所以每天新增疑似病例不超過5人，符合該標(biāo)志，即C正確；
丁地：因為眾數(shù)為1，且極差，所以新增疑似病例的最大值小于等于，所以符合該標(biāo)志，即D正確.
故選：BCD
5．某城市戶居民的月平均用水量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖．

(1)求直方圖中的值；并估計出月平均用水量的眾數(shù)．
(2)求月平均用水量的中位數(shù)及平均數(shù)；
(3)在月平均用水量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取22戶居民，則應(yīng)在這一組的用戶中抽取多少戶？
【答案】(1)x=0.075；眾數(shù)為；(2)中位數(shù)為6.4；平均數(shù)為；(3)4(戶)
【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，即可求，根據(jù)最高矩形數(shù)據(jù)的中點求眾數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；
（3）按照這一組所占比例，計算抽取的戶數(shù).
【詳解】（1）根據(jù)頻率和為1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025)=1，
解得x=0.075；由圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[6，8)，所以眾數(shù)為；
（2）[2，6)內(nèi)的頻率之和為
(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；
設(shè)中位數(shù)為y，則0.45+(y?6)×0.125=0.5，
解得y=6.4，∴中位數(shù)為6.4；
平均數(shù)為
（3）月平均用電量為的用戶在四組用戶中所占的比例為
，
∴月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取22×=4(戶)．