2024福建省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一次函數(shù)與反比例函數(shù)專題復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

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解題思路
①熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
②針對反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像共存問題這類型的題型特點就是在題目提供的一次函數(shù)和反比例函數(shù)當(dāng)中含有共同的參數(shù)，根據(jù)分類討論的形式，由函數(shù)的圖像特點來判定符合兩個函數(shù)參數(shù)的圖形。
③反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點和不等式問題。這類問題的呈現(xiàn)方式主要以不等式的解集的求解來進(jìn)行呈現(xiàn)，而滿足條件的不等式的左右兩邊為一次函數(shù)或反比例函數(shù)的形式來存在，所以我們可以通過這類型不等式的左右兩邊的函數(shù)圖像來進(jìn)行判定是大于小于的情況，從而通過其函數(shù)的交點來確定圖像的位置，滿足的解集
④反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題型。既然是綜合題型，涉及的不僅僅是函數(shù)的圖像和焦點的問題，這只是綜合類型題型中的一小部分，還有可能結(jié)合幾何來進(jìn)行考察，所以在這過程當(dāng)中我們只需要掌握最基礎(chǔ)的部分。剩下的內(nèi)容就要進(jìn)行知識點之間的相互配合，只有掌握每一部分涉及內(nèi)容的基礎(chǔ)知識以及方法技巧，那么將知識點融合時他們之間的聯(lián)系才能夠更快地顯現(xiàn)出來
模擬預(yù)測
1、（2023·福建·中考真題）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和的圖象的四個分支上，則實數(shù)的值為（ ）

A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】如圖所示，點在上，證明，根據(jù)的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對角線，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，點在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵點在第二象限，
∴．
故選：A．
2、（2024·福建福州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，一條垂直于x軸的直線分別交這兩個反比例函數(shù)的圖象于A，B兩點，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)題意得，從而可得結(jié)論
【詳解】解：如圖，
，
∵
∴，
∴的面積，
故選：B
3、（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．正比例函數(shù)關(guān)系B．一次函數(shù)關(guān)系
C．反比例函數(shù)關(guān)系D．二次函數(shù)關(guān)系
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形周長找出關(guān)于x和y的等量關(guān)系即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，
∴，
∴y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)；
故選：B．
4、（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為5，點A的坐標(biāo)為（4，0），點B在y軸上，若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖像過點C，則k的值為（ ）

A．4B．﹣4C．﹣3D．3
【答案】C
【分析】過點C作CE⊥y軸于E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角邊”證明△ABO和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后寫出點C的坐標(biāo)，再把點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計算即可求出k的值．
【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵點A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴點C的坐標(biāo)為（﹣3，1），
∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖像過點C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故選：C．

5、（2024·福建泉州·一模）已知一次函數(shù)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，得到，解答即可．
【詳解】∵一次函數(shù)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，
∴，
故，
解得，
故選D．
6、（2024·福建泉州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，線段與軸交于點．若，的面積為5，則k的值為（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】
本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義．連接，作軸于，軸于，則，利用反比例函數(shù)的幾何意義求出三角形面積與三角形面積，由，的面積為5，求得，利用求得，再列出方程即可求解．
【詳解】
解：連接，作軸于，軸于，則，
，
，
，
，，
，
的面積為5，
，
點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，
，，
的面積為5，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
7、（2024·福建三明·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點不在該反比例函數(shù)的圖象上，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查反比例函數(shù)上的點的特征．根據(jù)點的坐標(biāo)求出橫縱坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而得到值的取值范圍，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：由圖象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以為；
故選C．
8、（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖1是一盞亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，通過調(diào)節(jié)總電阻R來控制電流I實現(xiàn)燈光亮度的變化．電流與電阻之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．當(dāng)時， C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，
【答案】D
【分析】由圖象可知，電流與電阻之間滿足反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)電流與電阻之間的函數(shù)關(guān)系為，根據(jù)點在函數(shù)的圖象上得，進(jìn)行計算得電流與電阻之間的函數(shù)關(guān)系為，當(dāng)時，則，解得，由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，；當(dāng)時，則，得；當(dāng)時，則，計算得，由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)時，；綜上，即可得．
【詳解】解：由圖象可知，電流與電阻之間滿足反比例函數(shù)關(guān)系，
設(shè)電流與電阻之間的函數(shù)關(guān)系為，
∵點在函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：，
∴電流與電阻之間的函數(shù)關(guān)系為，故A選項錯誤，不符合題意；
當(dāng)時，則，
∴，
由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時，，故B選項錯誤，不符合題意；
當(dāng)時，則，
∴，故C選項錯誤，不符合題意；
當(dāng)時，則，
∴，
由函數(shù)圖象可知，該函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)時，，故D選項正確，符合題意．
故選：D．
9、（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過正方形的頂點A，邊與y軸交于點D，若正方形的面積為12，，則k的值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】過點A作軸于點E，過點A作軸于點G，過點B作于點G，過點C作軸于點F，過點B作軸于點M，過點C作軸于點N，，根據(jù)已知條件分別證明，，四邊形，四邊形和四邊形為矩形，即可得出，，，根據(jù)已知條件可以證明，得出，設(shè)點A的坐標(biāo)為：，即可得出，得出，根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的面積，列出，最后將代入求出k的值即可．
【詳解】解：過點A作軸于點E，過點A作軸于點G，過點B作于點G，過點C作軸于點F，過點B作軸于點M，過點C作軸于點N，如圖所示：
∵四邊形為正方形，
∴，，
∵軸，軸，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，軸，
∴，
，，
∴，
∴，
，
∵軸，軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
同理可得：四邊形和四邊形為矩形，
，，，
設(shè)點A的坐標(biāo)為：，
，，
，
，即，
∵正方形的面積為12，
，
在中，由勾股定理得，即，
把代入得：，
解得：．
故答案為：．
10、（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖表示光從空氣進(jìn)入水中前、后的光路圖，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的表達(dá)式分別為，則關(guān)于與的關(guān)系，正確的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系取橫坐標(biāo)相同的點利用縱坐標(biāo)的大小列出不等式，即可求解．
【詳解】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標(biāo)為m的兩個點A和B，
則，，
∵，
∴，
當(dāng)取橫坐標(biāo)為正數(shù)時，同理可得，
綜上所述，
故選：D

11、（2024·福建·模擬預(yù)測）已知反比例函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限，則實數(shù)k的值可以是 ．（只需寫出一個符合條件的實數(shù)）
【答案】-5（答案不唯一）
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象分別位于第二、四象限可知k＜0，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象分別位于第二、第四象限可知k＜0，
∴實數(shù)k的值可以是-5；
故答案為-5（答案不唯一）．
12、（2024·福建南平·二模）如圖，點A，D在反比例函數(shù)的圖象上，垂直y軸，垂足為C，，垂足為B．若四邊形的面積為8，，則k的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
設(shè)點，可得，，從而得到，再得出軸，
可得點，從而得到，然后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)點，
軸，
，，
，
，
，
，軸，
軸，
點，
，
，四邊形的面積為8，
，
解得：．
故答案為：．
13、（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，頂點C，D在雙曲線的同一支上，直線交軸于點，直線交軸于點．若，則的值是 ．
【答案】4或12
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，設(shè)，根據(jù)平行四邊形對角線中點坐標(biāo)相同推出，再把代入反比例函數(shù)解析式中求出，則，據(jù)此求出直線解析式得到，，進(jìn)而證明，得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，推出，再分點C和點D在第一象限和第三象限兩種情況利用兩點中點坐標(biāo)公式求出點C的坐標(biāo)即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∴，
同理可得直線解析式為，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
如圖所示，當(dāng)點C和點D在第三象限時，
∵，
∴，即點E是的中點，
∴，
∴；
如圖所示，當(dāng)C、D在第一象限時，同理可得，如圖所示，取中點T，則，即點B為中點，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，k的值為4或12，
故答案為：4或12．
14、（2024·福建三明·二模）已知點，都在反比例函數(shù)的圖象上，且，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)反比例函數(shù)圖象上兩個點的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系和縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，確定圖象的性質(zhì)，根據(jù)圖象的性質(zhì)確定k的取值范圍．
【詳解】∵，，
∴第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象從左到右下降，
∴，
解得：．
故答案為：．
15、（2024·福建漳州·一模）如圖，與反比例函數(shù)的圖象交于，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積公式，先求出，再由勾股定理得出的半徑，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，是中心對稱圖形，得出圖中兩個陰影部分的面積和是圓的面積，最后由面積公式計算即可．
【詳解】解：與反比例函數(shù)的圖象交于，
，
，
的半徑為，
反比例函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，是中心對稱圖形，
圖中兩個陰影部分的面積和是圓的面積，
，
故答案為：．
16、（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖，在中，，射線AB分別交y軸于點D，交雙曲線于點B，C，連接，當(dāng)平分時，與滿足，若的面積為4，則 ．
【答案】/
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得出．再根據(jù)角平分線的定義即得出，即易證，得出，設(shè)，則，從而可求出，，，．過點B作軸于點E，作軸于點G，過點C作軸于點F，作軸于點H，易證，即得出，從而得出．設(shè)，則，，，從而可求出，，進(jìn)而可求出，即可求出，最后由三角形面積公式，代入數(shù)據(jù)，即可求出k的值．
【詳解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴．
如圖，過點B作軸于點E，作軸于點G，過點C作軸于點F，作軸于點H，
∴，
∴
∴，
∴，即．
設(shè)，則，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
17、（2024福建寧德模擬預(yù)測）在學(xué)校開展“勞動創(chuàng)造美好生活”主題系列活動中，某班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．
(1)采購組計劃將預(yù)算經(jīng)費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆
(2)規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值．
【答案】(1)購買綠蘿38盆，吊蘭8盆
(2)369元
【分析】（1）設(shè)購買綠蘿x盆，吊蘭y盆，根據(jù)購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，將預(yù)算經(jīng)費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，列出二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買綠蘿m盆，則吊蘭盆，根據(jù)綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍，得出關(guān)于m的一元一次不等式，求出m取值范圍，再設(shè)購買兩種綠植總費用為W元，列出函數(shù)表達(dá)式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決問題．
【詳解】（1）設(shè)購買綠蘿x盆，吊蘭y盆，
由題意，得，
解得：，
∵，
∴符合題意，
答：購買綠蘿38盆，吊蘭8盆．
（2）設(shè)購買綠蘿m盆，則吊蘭盆，
由題意，得，
解得：，
設(shè)購買兩種綠植總費用為W元，則
，
∵，
∴W隨m的增大而增大，
又∵，且m為整數(shù)，
∴當(dāng)時，W取得最小值，
，
答：購買兩種綠植總費用的最小值為369元．
18、（2024·福建漳州·二模）在物理學(xué)中，電磁波（又稱電磁輻射）是由同相振蕩且互相垂直的電場與磁場在空間中以波的形式移動，隨著技術(shù)的發(fā)展，依靠電磁波作為信息載體的電子設(shè)備被廣泛應(yīng)用于民用及軍事領(lǐng)域．電磁波的波長λ（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：）的變化而變化．下表是某段電磁波在同種介質(zhì)中，波長λ與頻率f的部分對應(yīng)值：
該段電磁波的波長λ與頻率f滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？并求出波長λ關(guān)于頻率f的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】電磁波的波長λ與頻率f滿足反比例函數(shù)關(guān)系，λ關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式為
【分析】設(shè)解析式為，用待定系數(shù)法求解即可；本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式．
【詳解】解：由表格可知，
頻率f與波長λ乘積為定值300，則電磁波的波長λ與頻率f滿足反比例函數(shù)關(guān)系．
設(shè)波長關(guān)于頻率的函數(shù)解析式為
把點代入上式中得：，
解得：，
；
19、（2024·福建南平·二模）北方某市對城市居民該冬季的采暖收費標(biāo)準(zhǔn)如下表：（以戶為單位）
根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)回答以下問題：
(1)某戶用氣量為，求此戶需繳納的燃?xì)赓M用：
(2)設(shè)某戶這個冬季用氣量為，繳納燃?xì)赓M用為元，求與的函數(shù)表達(dá)式：
(3)已知某戶該冬季繳納燃?xì)赓M用為8970元，求該戶用多少立方米的燃?xì)猓?br>【答案】(1)元
(2)
(3)3000立方米
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是寫出函數(shù)解析式．
（1）用1000乘以第一階梯的電價即可；
（2）根據(jù)題意按第一、二階梯電價寫出函數(shù)解析式即可；
（3）先根據(jù)用戶繳納的燃?xì)赓M用為8970元，判斷用戶的燃?xì)饬康姆秶?，再計算出燃?xì)饬考纯桑?br>【詳解】（1）解：元．
答：此戶需繳納的燃?xì)赓M用為2670元，
（2）解： 當(dāng)時
當(dāng)時
，
所以與的函數(shù)解析式為
，
（3）解：當(dāng)時，
，
∵
∴當(dāng)時
當(dāng)時
解得
答：該用戶用了3000立方米的燃?xì)猓?br>20、（2024·福建泉州·二模）小明發(fā)現(xiàn)用吸管吹氣，能發(fā)出不同的音調(diào)．通過查閱資料，他得知：用吸管吹氣時，吸管內(nèi)部的空氣振動導(dǎo)致聲音產(chǎn)生，而吸管的長度影響了空氣振動的頻率，并最終決定了音調(diào)的不同，所以發(fā)出不同的音調(diào)．
小明和同學(xué)動手試驗，并按以下步驟操作：①將若干根同規(guī)格的吸管剪成不同的長度；②用同樣的力氣通過吸管吹氣，借助儀器記錄下吸管中空氣振動的頻率；③將吸管的長度和相應(yīng)吸管中空氣振動的頻率分別記為和，對收集到的數(shù)據(jù)檢查、整理；④將整理所得的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點在平面直角坐標(biāo)系中描出，繪制成如圖所示的與對應(yīng)關(guān)系的散點圖．
(1)表1記錄了收集到的四組數(shù)據(jù)，同學(xué)們在仔細(xì)檢查、整理數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這四組數(shù)據(jù)中的一組有錯，請直接寫出有出錯的這組數(shù)據(jù)______（填寫組別代號），不必說明理由；
（表1）
(2)根據(jù)散點圖，同學(xué)們猜想與的對應(yīng)關(guān)系符合初中階段已學(xué)過的一種函數(shù)關(guān)系，并將由每組數(shù)據(jù)計算所得的系數(shù)（精確到個位）作為與的對應(yīng)關(guān)系中的系數(shù)．小明根據(jù)表2的數(shù)據(jù)剪出合適長度的吸管，成功地吹奏出的音．
（表2）
你知道小明剪出的吸管長度是多少（精確到個位）？并說明你的理由．
【答案】(1)D
(2)，理由見解析
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察表格，得出與的積為定值，從而得出函數(shù)關(guān)系式．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可發(fā)現(xiàn)與的乘積為定值，從而可得答案；
（2）根據(jù)與都是正數(shù)，可得這條曲線是反比例函數(shù)的一支，根據(jù)，可得與的函數(shù)解析式，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可發(fā)現(xiàn)與的乘積為定值，
所以D組數(shù)據(jù)是錯誤的，
故答案為：D．
（2）根據(jù)散點圖判斷，可以用反比例函數(shù)來確定與的對應(yīng)關(guān)系，
因此可設(shè)．
依據(jù)表1中三組數(shù)據(jù)求得：
，
，
．
，
，
當(dāng)時，．
答：小明剪出的吸管長度是．
21、（2024·福建漳州·一模）甲、乙兩家商店以同樣的價格出售品質(zhì)相同的枇杷，枇杷單價均是40元且包郵．在直播帶貨活動中，甲商店的優(yōu)惠方案是一律打九折；乙商店的優(yōu)惠方案如表（a為常數(shù)）：
設(shè)購買枇杷，，（單位：元）分別表示顧客到甲、乙兩家商店購買枇杷的費用．
(1)寫出，關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在此次活動中，小麗在兩家商店分別購買的枇杷，結(jié)果費用相同，求a的值；
(3)在（2）的條件下，請你幫助顧客設(shè)計一個購買方案，選擇哪家商店更合算？
【答案】(1)，
(2)
(3)見解析
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）根據(jù)優(yōu)惠方案分別列出函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）求出時，，可知，然后根據(jù)費用相同得出方程，解方程即可；
（3）分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，分別判斷出和之間的大小關(guān)系，進(jìn)而可得購買方案．
【詳解】（1）解：由題意，得；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
即；
（2）當(dāng)時，，
若時，，
則，不符合題意，舍去；
，
當(dāng)時，，
，
，
；
（3）由（2）知，購買的枇杷時，費用相同，
①當(dāng)時，，，
即，
∴選擇甲商店更合算；
②當(dāng)時，，，
∴，
∴選擇甲商店更合算；
③當(dāng)時，由（2）知，，
∴甲或乙商店一樣合算；
④當(dāng)時，，，
∴，
∴選擇乙商店更合算；
∴方案如下：
當(dāng)顧客購買枇杷小于時，選擇甲商店更合算；
當(dāng)顧客購買枇杷時，甲或乙商店費用相同；
當(dāng)顧客購買枇杷大于時，選擇乙商店更合算．
22、（2024·福建·模擬預(yù)測）如圖，點A在第一象限內(nèi)，軸于點B，反比例函數(shù)的圖象分別交于點C，D．已知點C的坐標(biāo)為．
(1)求k的值及點D的坐標(biāo)．
(2)已知點P在該反比例函數(shù)圖象上，且在的內(nèi)部（包括邊界），直接寫出點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）由C點坐標(biāo)可得k，再由D點縱坐標(biāo)可得D點橫坐標(biāo)；
（2）由C、D兩點的橫坐標(biāo)即可求得P點橫坐標(biāo)取值范圍；
【詳解】（1）解：把C（2，2）代入，得，，
∴反比例函數(shù)函數(shù)為（x＞0），
∵AB⊥x軸，BD=1，
∴D點縱坐標(biāo)為1，
把代入，得，
∴點D坐標(biāo)為（4，1）；
（2）解：∵P點在點C（2，2）和點D（4，1）之間，
∴點P的橫坐標(biāo)：；．
23、（2024·福建泉州·一模）某校組織九年級學(xué)生，以“運(yùn)用函數(shù)知識探究銅鋅混合物中的銅含量”為主題，開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動．已知常溫下，銅與稀鹽酸不會發(fā)生反應(yīng)，鋅與稀鹽酸發(fā)生反應(yīng)后不生成固體難溶物．小明按實驗操作規(guī)程，在放有銅鋅混合物樣品（不含其它雜質(zhì)）的燒杯中，逐次加入等量等溶度的稀鹽酸，每次加入前，測出與記錄前次加入并充分反應(yīng)后剩余固體的質(zhì)量，直到發(fā)現(xiàn)剩余固體的質(zhì)量不變時停止加入．記錄的數(shù)據(jù)如下表所示，然后小明通過建立函數(shù)模型來研究該問題，研究過程如下：
（ⅰ）收集數(shù)據(jù)：
（ⅱ）建立模型：在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，描出這些數(shù)值所對應(yīng)的點．發(fā)現(xiàn)這些點大致位于同一個函數(shù)的圖象上，且這一個函數(shù)的類型最有可能是______；（填“一次函數(shù)”，“ 反比例函數(shù)”“ 二次函數(shù)”）
（ⅲ）求解模型：為使得所描的點盡可能多地落在該函數(shù)圖象上，根據(jù)過程（ⅱ）所選的函數(shù)類型，求出該函數(shù)的表達(dá)式；
（ⅳ）解決問題：根據(jù)剩余固體的質(zhì)量不再變化時，所加稀鹽酸的總量求得樣品中的銅含量．

閱讀以上材料，回答下列問題：
(1)完成小明的研究過程（ⅱ）（描點，并指出函數(shù)類型）；
(2)完成小明的研究過程（ⅲ）；
(3)設(shè)在研究過程（ⅳ）中，發(fā)現(xiàn)最后剩余固體的質(zhì)量保持不再變化，請你根據(jù)前述求得的函數(shù)表達(dá)式，計算加入稀鹽酸的總量至少為多少時，剩余固體均為銅．
【答案】(1)見解析，一次函數(shù)；
(2)
(3)至少為
【分析】本題考查了跨學(xué)科知識綜合，圖象的畫法，一次函數(shù)性質(zhì)
（1）根據(jù)描點法畫出圖像，結(jié)合點的走勢，函數(shù)特點解答即可；
（2）設(shè)該函數(shù)表達(dá)式是，選擇兩個點，待定系數(shù)法計算解答即可；
（3）當(dāng)時，即，解答即可．
【詳解】（1）描點如下：

結(jié)合圖象的特點，這一個函數(shù)的類型最有可能是一次函數(shù)，
故答案為：一次函數(shù)．
（2）設(shè)該函數(shù)表達(dá)式是，
將，代入上式，得，
解得．
故函數(shù)表達(dá)式是．
（3）根據(jù)題意，當(dāng)剩余固體的質(zhì)量保持不再變化時，剩余固體均為銅，
由（2）可得，當(dāng)時，即，
解得，
所以當(dāng)加入稀鹽酸的總量至少為時，剩余固體均為銅．
24、（2024·福建福州·一模）閱讀材料，用配方法求最值．
已知,為非負(fù)實數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，等號成立.示例：當(dāng)時，求的最小值；
解：，當(dāng)，即時，的最小值為5．
(1)若，求最小值；
(2)如圖，已知為雙曲線上任意一點，過點作軸，軸且，，求四邊形的面積的最小值，并求此時的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)27，．
【分析】本題考查了閱讀學(xué)習(xí)，正確理解所展示的解法是解題的關(guān)鍵．
(1)根據(jù)閱讀材料提供的解題方法，按照例題求解即可．
(2)設(shè)，則,表示出四邊形的面積，運(yùn)用解題方法求解即可．
【詳解】（1）解：
,
當(dāng)時，有最小值，此時，
故答案為：．
（2）設(shè)，則,
四邊形的面積,
,
,
當(dāng)時，有最小值12，此時
四邊形的面積的最小值為，此時.
頻率
5
10
15
20
波長
60
30
20
15
階梯
采暖用氣
銷售價格
第一階梯
（含1500）的部分
2.67元
第二階梯
（含2500）的部分
3.15元
第三階梯
以上的部分
數(shù)據(jù)組別
吸管的長度
60
80
100
100
空氣振動的頻率
1.43
1.08
0.86
0.42
音調(diào)

頻率
0.26
0.29
0.33
0.35
0.39
0.44
0.49
一次性購買質(zhì)量
優(yōu)惠方案
不優(yōu)惠
超過的部分打七五折
加入稀鹽酸的累計總量x（單位：g）
0
20
40
60
80
100
充分反應(yīng)后剩余固體的質(zhì)量y（單位：g）
10