【專項(xiàng)復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題01 數(shù)列求通項(xiàng)（數(shù)列前n項(xiàng)和Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn法）（題型訓(xùn)練）.zip

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\l "_Tc3190" 二、典型題型 PAGEREF _Tc3190 \h 2
\l "_Tc17413" 題型一：法：角度1：用，得到 PAGEREF _Tc17413 \h 2
\l "_Tc11234" 題型二：法：角度2：將題意中的用替換 PAGEREF _Tc11234 \h 4
\l "_Tc24158" 題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有： PAGEREF _Tc24158 \h 5
\l "_Tc1954" 題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系 PAGEREF _Tc1954 \h 7
\l "_Tc3297" 題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系 PAGEREF _Tc3297 \h 8
\l "_Tc28785" 三、數(shù)列求通項(xiàng)（法、法）專項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc28785 \h 9
一、必備秘籍
1對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)和記為；
①；②
②：
2對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)積記為；
①；②
①②：
二、典型題型
題型一：法：角度1：用，得到
例題1．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，①所以，?br>②-①得，，因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是以4為公差的等差數(shù)列，
令代入，得，由，得，
所以，
所以數(shù)列是公差為4，首項(xiàng)為5的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為
例題2．（2023春·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）①，
當(dāng)時(shí)，②，
兩式①-②得：，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式，
所以；
例題3．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以時(shí)，，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，
則等比數(shù)列首項(xiàng)為2，公比為3，
所以
例題4．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得到，
整理得，
又因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
當(dāng)時(shí)，，解得或，
因?yàn)?，所以?br>由（1）可知，即公差，
所以；
題型二：法：角度2：將題意中的用替換
例題1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求；
【答案】(1)
【詳解】（1），可得，
可得，即數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
可得，由，可得；
例題2．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀┮阎獢?shù)列中，，，前項(xiàng)和為，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）若，
由，可得，
則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，則
例題3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且（）．
(1)求；
【答案】(1)
【詳解】（1），
又，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
，故
例題4．（2023秋·安徽滁州·高三?？计谀┯浭醉?xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，
則，可得，
所以，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
題型三：法：角度3：已知等式中左側(cè)含有：
例題1．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足：．
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以時(shí)，，②
①②得：
，所以，
又，不符合上式，故
例題2．（2023秋·廣東珠海·高三?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由，
得當(dāng)時(shí)， 即，
當(dāng)時(shí)，，
則，即，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
綜上所述，；
例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
【答案】(1)；
【詳解】（1）由，，得當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，即，而，
因此構(gòu)成以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
則當(dāng)時(shí)，，即，顯然不滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng).
例題4．（2023春·福建廈門·高二廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，．
(1)求；
【答案】(1)
【詳解】（1）令，
當(dāng)時(shí)，，由，則；
當(dāng)時(shí)，，由，則.
由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，所以.
題型四：法：角度1：已知和的關(guān)系
例題1．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
.
例題2．（2022秋·黑龍江大慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
(1)解：（1）.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，也符合.
故的通項(xiàng)公式為.
例題3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)的積，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若（，）.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】解：（1）證明：，.
，
是等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，.
時(shí)，；
時(shí)，.
而，，，均不滿足上式.
（）.
題型五：法：角度2：已知和的關(guān)系
例題1．（2023·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
例題2．（2020春·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積（）．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】（1）；（2）詳見解析．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，
又
∴，∴，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，
1為公差的等差數(shù)列，∴
∴.
例題3．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）由題意知：，
∴，∴，
∴數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列；
三、數(shù)列求通項(xiàng)（法、法）專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【詳解】解：由題意得，又，，
所以，
所以是公比為的等比數(shù)列.
因?yàn)椋裕?br>解得，
所以，
則，，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以最小.
故選：A.
2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)積，所以可得，
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
又，得，所以，
故是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
，
故選：A
3．（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
當(dāng)，則，所以，，，
若，則，，，不符合題意；
若，則單調(diào)（或?yàn)槌?shù)），此時(shí)不滿足，故不符合題意，所以；
當(dāng)，，此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，則，，，不符合題意，
當(dāng)，，此時(shí)奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，則，，，不符合題意，
所以，故A錯(cuò)誤，
又，
，
又，所以，所以，
故對(duì)任意的，，則對(duì)任意的，，故B錯(cuò)誤；
又，，所以，，
所以，，
，
所以，故D正確，C錯(cuò)誤．
故選：D．
4．（2023秋·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值的和為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【詳解】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
時(shí)也適合上式，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
故的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為2.
故選：C.
二、填空題
5．（2023春·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，且，則 ．
【答案】
【詳解】當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
注意到也符合上式，所以.
故答案為：.
三、解答題
6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭縣一中校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>故時(shí)，，
兩式相減得，
又，，所以，故，滿足上式，
故，且，
所以為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為3，從而.
7．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)
【詳解】（1）∵，
所以或，∵，∴，
……①．……②．
① - ②得是首項(xiàng)為3，公差為2得等差數(shù)列，；
8．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，
所以，即.
又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以；
9．（2023春·江西九江·高二?？计谀┯洈?shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?
兩式相減得，即，
又，所以，
所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以.
10．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：.
(1)計(jì)算并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由①，
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，②，
由①②得，
即，
又，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以；
11．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)，，，
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，整理得，解得，
∴，，
對(duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，得，
兩式相減得，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
∴，．
12．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.
(1)求；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，顯然，
所以，即，
所以
，
所以，又當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.
13．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校校考期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由，得，
因?yàn)?，所以?br>所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，
所以，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
14．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)，；
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，即，顯然滿足上式，因此，
設(shè)公差為，則，即，解得，
因此，
所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，即，
，，，
是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
，，
，
綜上，
16．（2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由可得，
即，
因?yàn)?，所以，則，
，
所以，
又因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以；
17．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)；
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
得，即，
滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
18．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）∵，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，即（），
又∵也適合，
∴；
（2）由（1）知，
，
∴.
19．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，
兩式作差得，，
所以時(shí)，，
又時(shí)，，得，符合上式，
所以的通項(xiàng)公式為．
20．（2021秋·江西九江·高二?？计谥校閿?shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得.
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
即是以，公差為2的等差數(shù)列.
（2）因?yàn)榈耐?xiàng)公式為，
所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
法歸類
角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系
用，得到
例子：已知，求
角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系
替換題目中的
例子：已知；
已知
角度3：已知等式中左側(cè)含有：
作差法（類似）
例子：已知求
法歸類
角度1：已知和的關(guān)系
角度1：用，得到
例子：的前項(xiàng)之積.
角度2：已知和的關(guān)系
角度1：用替換題目中
例子：已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.