【專項復習】高考數(shù)學 專題07 數(shù)列 (名校模擬匯編).zip

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2023真題展現(xiàn)
考向一 等差數(shù)列
考向二 等比數(shù)列
考向三 數(shù)列綜合
真題考查解讀
近年真題對比
考向一 等差數(shù)列
考向二 數(shù)列遞推公式
考向三 數(shù)列的求和
考向四 數(shù)列綜合
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯易混速記/二級結論速記
考向一 等差數(shù)列
1．（2023?新高考Ⅰ?第7題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{Snn}為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
考向二 等比數(shù)列
2．（2023?新高考Ⅱ?第8題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，則S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
考向三 數(shù)列綜合
3．（2023?新高考Ⅰ?第20題）設等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通項公式；
（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99﹣T99＝99，求d．
4．（2023?新高考Ⅱ?第18題）已知{an}為等差數(shù)列，bn=an?6，n為奇數(shù)2an，n為偶數(shù)，記Sn，Tn為{an}，{bn}的前n項和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通項公式；
（2）證明：當n＞5時，Tn＞Sn．
【命題意圖】
考查等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查等差、等比數(shù)列的性質；考查數(shù)列的求和方法，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查數(shù)列和其他知識結合等綜合知識．
【考查要點】
數(shù)列是高考考查熱點之一，其中等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及與等差、等比數(shù)列有關的錯位相消求和及裂項相消求和，是考查的重點．作為數(shù)列綜合題，常和充要條件、方程、不等式、函數(shù)等結合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者證明不等式等，對于基礎能力和基礎運算要求較高．
【得分要點】
1．解決等差、等比數(shù)列有關問題的幾點注意
?1?等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質的靈活應用；
?2?對于計算解答題注意基本量及方程思想的運用；
?3?注重問題的轉化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關公式和性質解題；
?4?當題目中出現(xiàn)多個數(shù)列時，既要縱向考察單一數(shù)列的項與項之間的關系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內在聯(lián)系.
2．數(shù)列求和問題一般轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有：
（一）公式法
①等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
②等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
③數(shù)列前項和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差數(shù)列中，；
（6）等比數(shù)列中，.
?二?分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.
?三?裂項?相消?法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.
?四?錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和.
(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
(2)基本步驟
(3)注意事項：①在寫出Sn與qSn的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出Sn－qSn；
②作差后，等式右邊有第一項、中間n－1項的和式、最后一項三部分組成；
③運算時，經常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項和看成n項和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導致錯誤．
?五?倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項和公式的推導便使用了此法. 用倒序相加法解題的關鍵，就是要能夠找出首項和末項之間的關系，因為有時這種關系比較隱蔽.
考向一 等差數(shù)列
5．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3＝（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
考向二 數(shù)列遞推公式
6.（多選）（2021?新高考Ⅱ）設正整數(shù)n＝a0?20+a1?21+…+ak﹣1?2k﹣1+ak?2k，其中ai∈{0，1}，記ω（n）＝a0+a1+…+ak，則（ ）
A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1
C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n
考向三 數(shù)列的求和
7．（2021?新高考Ⅰ）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折n次，那么Sk＝ dm2．
考向四 數(shù)列綜合
8．（2021?新高考Ⅱ）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．
9．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝
（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求{an}的前20項和．
10．（2022?新高考Ⅰ）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．
（1）求{an}的通項公式；
（2）證明：++…+＜2．
11．（2022?新高考Ⅱ）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）證明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的個數(shù)．
重點考查等差、等比數(shù)列的概念、性質、通項公式和前n項和，考查錯位相減、裂項相消等求和方法。有時考查數(shù)列的創(chuàng)新問題，實際應用問題，與不等式的綜合問題，考查劃歸與轉化思想，運算求解能力?？疾樾问蕉鄻印?br>一．數(shù)列的函數(shù)特性（共4小題）
1．（2023?河南模擬）已知數(shù)列{an}的通項公式為，則當an最小時，n＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2023?西固區(qū)校級一模）數(shù)列{an}的前n項積為n2，那么當n≥2時，an＝ ．
3．（2023?南崗區(qū)校級三模）已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N*）內項的個數(shù)，則b5＝ ，不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為 ．
4．（2023?海淀區(qū)校級模擬）已知點列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）滿足P1（1，1），與（i＝2，3，4…k）中有且只有一個成立．
（1）寫出滿足k＝4且滿足P4（3，2）的所有點列；
（2）證明：對于任意給定的k（k∈N*，k≥2），不存在點列T，使得+＝2k；
（3）當k＝2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）時，求 的最大值．
二．等差數(shù)列的性質（共4小題）
5．（2023?安慶二模）已知等差數(shù)列{an}滿足+＝4，則a2+a3不可能取的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．D．
6．（2023?江西模擬）中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，且成首項為0.114的等差數(shù)列，若直線OA的斜率為0.414，則該數(shù)列公差等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
7．（2023?阿拉善盟一模）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則“對任意的n∈N*且n≠3，Sn＞S3”是“a4＞a3”的（ ）
A．既不充分也不必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．充要條件
8．（2023?青羊區(qū)校級模擬）下列結論中正確的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，則
B．若x＞y＞0且xy＝1，則
C．設{an}是等差數(shù)列，若a2＞a1＞0，則
D．若x∈[0，+∞），則
三．等差數(shù)列的通項公式（共3小題）
9．（2023?武功縣校級模擬）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4＝2，a7＝﹣4，那么數(shù)列{an}的通項公式為（ ）
A．an＝﹣2n+10B．an＝﹣2n+5C．an＝﹣n+10D．an＝﹣n+5
10．（2023?涼山州模擬）在等差數(shù)列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，則a9＝（ ）
A．3B．5C．7D．9
11．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝1，，則a2023＝（ ）
A．B．C．D．
四．等差數(shù)列的前n項和（共2小題）
12．（2023?玉樹州模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S11＝44，則a4+a6+a8＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
13．（2023?陳倉區(qū)模擬）在等差數(shù)列{an}中，a6，a18是方程x2﹣8x﹣17＝0的兩個根，則{an}的前23項的和為（ ）
A．﹣184B．﹣92C．92D．184
五．等比數(shù)列的性質（共4小題）
14．（2023?玉林三模）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則＝（ ）
A．12B．36C．31D．33
15．（2023?河南模擬）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，an＞0，n∈N*，且，則實數(shù)λ＝（ ）
A．2B．C．3D．
16．（2023?鎮(zhèn)江三模）已知a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，且2和8為其中的兩項，則a5的最小值為（ ）
A．﹣64B．﹣16C．D．
17．（2023?吳忠模擬）已知{an}是等比數(shù)列，若a3a7＝3a5，且a8＝﹣24，則a10＝（ ）
A．96B．﹣96C．72D．﹣72
六．等比數(shù)列的通項公式（共5小題）
18．（2023?河南模擬）在等比數(shù)列{an}中，若a5＝2，a3a8＝a7，則{an}的公比q＝（ ）
A．B．2C．D．4
19．（2023?南江縣校級模擬）在等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝2，a5+a7＝18，則a3+a5＝（ ）
A．3B．6C．9D．18
20．（2023?山西模擬）已知正項等比數(shù)列{an}滿足a3﹣a1＝2，則a4+a3的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
21．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知等比數(shù)列{an}滿足，則a1+a3＝（ ）
A．B．C．D．3
22．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）英國數(shù)學家亞歷山大?艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標度單位．一個八度音程為1200音分，它們的頻率值構成一個等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個音的頻率值構成一個公比為的等比數(shù)列．已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l．若，則k﹣l＝（ ）
A．400B．500C．600D．800
七．等比數(shù)列的前n項和（共3小題）
23．（2023?周至縣一模）已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a3a5＝64，且a5+2a6＝8，則S6＝（ ）
A．128B．127C．126D．125
24．（2023?陳倉區(qū)模擬）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且，則a1a2+a2a3+?+a10a11＝（ ）
A．B．C．D．
25．（2023?贛州一模）若等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且0＜a9＜1＜a8，則下列正確的是（ ）
A．q＞1B．0＜a1＜1
C．Sn的最大值為S8D．Tn的最大值為T8
八．數(shù)列的應用（共5小題）
26．（2023?甘肅模擬）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具．它用九個圓環(huán)相連成串，解開九連環(huán)最少需要移動341次．它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．周邦彥也留下關于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán)．”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中：已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)2次，記an（3≤n≤9，n∈N*）為解下n個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)，且an＝an﹣1+2an﹣2+m（n≥3，n∈N*），則解下8個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)為（ ）
A．54B．90C．170D．256
27．（2023?池州模擬）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊部所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．角垛”的最上層有1個小球，第二層有3個小球，第三層有6個小球設各層球數(shù)構成數(shù)列{an}．該數(shù)列從第二項起每一項與前一項的差構成等差數(shù)列，則該“三角垛”中第8層小球個數(shù)為（ ）
A．21B．28C．36D．45
28．（2023?浉河區(qū)校級模擬）三潭印月被譽為“西湖第一勝境”，所謂三潭，實際上是3個石塔和其周圍水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每個高2米，分別矗立在水光瀲滟的湖面上，形成一個等邊三角形，記為△A1B1C1，設△A1B1C1的邊長為a1，取△A1B1C1每邊的中點構成△A2B2C2，設其邊長為a2，依此類推，由這些三角形的邊長構成一個數(shù)列{an}，若{an}的前6項和為，則△A1B1C1的邊長a1＝（ ）
A．62B．61C．31D．30
29．（2023?石家莊二模）中國古代許多著名數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是后項減前項之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“堆垛”，共50層，第一層2個小球，第二層5個小球，第三層10個小球，第四層17個小球，…，按此規(guī)律，則第50層小球的個數(shù)為（ ）
A．2400B．2401C．2500D．2501
30．（2023?保定二模）我們知道地球和火星差不多在同一軌道平面上運動，火星軌道在地球軌道之外．當?shù)厍蚝突鹦桥c太陽在同一條直線上，這一天文現(xiàn)象稱為“沖日”，簡稱“沖”．假設地球和火星都做近似勻速圓周運動，火星繞太陽一周約需687天，地球繞太陽一周約需365.25天，則相鄰兩次“沖日”之間間隔約為 天．（結果精確到個位）
九．數(shù)列的求和（共7小題）
31．（2023?貴州模擬）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，S3＝273，，當數(shù)列的前n項和取得最大值時，n的值為（ ）
A．30B．31C．32D．33
32．（2023?徐州模擬）若數(shù)列{an}滿足，，則{an}的前n項和為 ．
33．（2023?鄭州模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，，數(shù)列的前n項和為Sn，若k為大于1的奇數(shù)，則Sk＝ ．
34．（2023?武鳴區(qū)校級二模）已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{}的前n項和為Tn，求證：Tn＜1．
35．（2023?保定二模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，若對任意的正整數(shù)n都有2Sn＝2nan﹣n2+n．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記數(shù)列{（﹣）}的前n項和為Tn，若s≤Tn﹣≤t恒成立，求t﹣s的最小值．
（2）隨著Tn的增大而增大，由此求出的最大值和最小值，兩數(shù)之差即為t﹣s的最小值．
36．（2023?河北三模）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝7，S5＝55．
（1）求an和Sn；
（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
（2）bn＝＝＝﹣，進而求出Tn．
37．（2023?岳麓區(qū)校級模擬）已知正項數(shù)列{an}滿足：a1＝3，且an（﹣1）＝2（﹣1）an+1，n∈N*．
（1）設bn＝an﹣，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設cn＝+，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn，并確定最小正整數(shù)n，使得Tn為整數(shù)．
一十．數(shù)列遞推式（共8小題）
38．（多選）（2023?開福區(qū)校級三模）已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn，則下列說法正確的是（ ）
A．若Sn＝an，則{an}是等差數(shù)列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，則{an+3}是等比數(shù)列
C．若{an}是等差數(shù)列，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差數(shù)列
39．（多選）（2023?重慶模擬）對于數(shù)列{an}，若a1＝1，，則下列說法正確的是（ ）
A．a4＝3B．數(shù)列{an}是等差數(shù)列
C．數(shù)列{a2n﹣1}是等差數(shù)列D．a2n＝2n﹣1
40．（2023?貴陽模擬）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，當n≥2時，有（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1+a1＝0．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若a1＝20，S4＝56，求Sn的最大值．
41．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}滿足：an＝若a10＝，則m＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
42．（2023?瀘縣校級模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1＝Sn，則an＝ ．
43．（2023?河北三模）在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an+1＝，則a8＝ ，當n為偶數(shù)時an＝ ．
44．（2023?2月份模擬）記數(shù)列{an}的前n項和為Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設m為整數(shù)，且對任意n∈N*，m≥，求m的最小值．
45．（2023?武功縣校級模擬）設Sn是數(shù)列[an}的前n項和，．
（1）求{an}的通項；
（2）設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
一十一．數(shù)列與函數(shù)的綜合（共3小題）
46．（2023?新余二模）已知數(shù)列{an}中，a1≠0，，且a3、a11是函數(shù)f（x）＝2x2+19x+20的兩個零點，則a7＝ ．
47．（多選）（2023?湖北二模）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，，前n項和為Sn，則下列選項中正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．an+an+1≥ln2
B．S2020＜666
C．
D．{a2n﹣1}是單調遞增數(shù)列，{a2n}是單調遞減數(shù)列
48．（2023?赤峰模擬）①函數(shù)f（x）對任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，數(shù)列{an}滿足，令．
②數(shù)列{an}中，已知，對任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令．
在①、②中選取一個作為條件，求解如下問題（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明．
（2）設Tn＝b1+b2+…+bn，，試比較Tn與Mn的大?。?br>一十二．數(shù)列與不等式的綜合（共6小題）
49．（2023?海淀區(qū)校級三模）已知等比數(shù)列{an}，對任意n∈N*，an?an+1＞0，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若存在一個常數(shù)M＞0，使得?n∈N*，|Sn|＜M，下列結論中正確的是（ ）
A．{an}是遞減數(shù)列
B．{an}是遞增數(shù)列
C．
D．一定存在，當n＞N0時，
50．（2023?黑龍江一模）已知數(shù)列{an}前n項和，數(shù)列{bn}滿足為數(shù)列{bn}的前n項和．若對任意的n∈N，n≥1，不等式恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為 ．
51．（2023?陳倉區(qū)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通項公式；
（2）證明：．
52．（2023?全國四模）已知數(shù)列{an}的首項，且滿足．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
53．（2023?岳陽模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
54．（2023?溫州模擬）設Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和，滿足2Sn＝+an﹣2．
（I）求{an}的通項公式；
（II）若不等式（1+）≥4對任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設bn＝（其中r是自然對數(shù)的底數(shù)），求證：．
一十三．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共6小題）
55．（2023?錫山區(qū)校級一模）設等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項；數(shù)列{bn}滿足（t∈R，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（3）當{bn}為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入bk個2，得到一個新數(shù)列{cn}．設Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，試求T100．
56．（2023?廣東模擬）已知正項等比數(shù)列{an}和其前n項和Sn滿足a5﹣a1＝2S4，a2?a3＝a4．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）在am和am+1之間插入m個數(shù)，使得這m+2個數(shù)依次構成一個等差數(shù)列，設此等差數(shù)列的公差為bm，求滿足bm＞50的正整數(shù)m的最小值．
57．（2023?蘇州三模）已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a2＝3，且a3，a5，a8成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設，求數(shù)列{bn}的前2023項和．
58．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）已知等差數(shù)列{an}滿足（n+1）an＝n2﹣8n+k，數(shù)列{bn}是以1為首項，公比為3的等比數(shù)列．
（1）求an和bn；
（2）令cn＝，求數(shù)列{cn}的最大項．
59．（2023?葫蘆島二模）已知{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}為公差是2a1的等差數(shù)列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）若an＞bn，求n的取值范圍；
（2）若a1＝1，求集合中元素的個數(shù)．
60．（2023?河西區(qū)三模）設{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1＝1，a3+1是a2和a8的等比中項，{bn}的前n項和為Sn，2bn﹣Sn＝2（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{cn}的通項公式cn＝（n∈N*）．
（i）求數(shù)列{cn}的前2n+1項和S2n+1；
（ii）求．
常見的裂項技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
④對數(shù)型
⑤冪型
（1）
（2）
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
⑦常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
（10）．
（11）．