高中人教版 (2019)2 萬有引力定律學案設計

這是一份高中人教版 (2019)2 萬有引力定律學案設計，共22頁。
2．通過月—地檢驗等將太陽與行星間的引力推廣為萬有引力定律，理解萬有引力定律的內(nèi)容、含義及適用條件。
3．認識引力常量測量的重要意義，能應用萬有引力定律解決實際問題。
行星與太陽間的引力 月—地檢驗
1．行星與太陽間的引力
(1)模型簡化：行星繞太陽的運動可以看作勻速圓周運動，受到一個指向圓心(太陽)的引力，太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運動的向心力。
(2)太陽對行星的引力：F＝mv2r＝m2πrT2·1r＝4π2mrT2，結(jié)合開普勒第三定律得F＝4π2kmr2∝mr2。
(3)行星對太陽的引力：根據(jù)牛頓第三定律，力的作用是相互的，行星對太陽的引力F′的大小也存在與上述關系類似的結(jié)果，即F′∝m太r2。
(4)太陽與行星間的引力：由于F∝mr2、F′∝m太r2，且F＝F′，則有F∝m太mr2，寫成等式F＝Gm太mr2，式中G為比例系數(shù)，與太陽、行星都沒有關系。
(5)太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線。
2．月—地檢驗
(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，表達式應該滿足F＝Gm月m地r2。月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地為地球質(zhì)量，r為地球中心與月球中心的距離)。
(2)假設地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，蘋果的自由落體加速度a蘋＝Fm蘋＝Gm地R2(式中m地為地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間的距離)。
(3)分析：由以上兩式可得a月a蘋＝R2r2。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以a月a蘋＝1602。
(4)結(jié)論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規(guī)律。
如圖所示，是行星繞太陽所做的勻速圓周運動與我們平常生活中見到的勻速圓周運動
【問題】
(1)行星的圓周運動和一般物體的圓周運動是否符合同樣的動力學規(guī)律？
(2)行星做勻速圓周運動向心力由誰提供？
(3)行星的質(zhì)量遠小于太陽的質(zhì)量，行星對太陽的作用力遠小于太陽對行星的作用力嗎？
提示：(1)行星所做的勻速圓周運動與平常我們見到的一般物體的勻速圓周運動符合同樣的動力學規(guī)律。
(2)行星受到太陽的吸引力，此力提供行星繞太陽運轉(zhuǎn)的向心力。
(3)不是。二者是作用力與反作用力，大小相等。
1．兩個理想化模型
(1)勻速圓周運動模型：由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運動的軌跡的兩個焦點靠得很近，行星的運動軌跡非常接近圓，所以將行星的運動看成勻速圓周運動。
(2)質(zhì)點模型：由于天體間的距離很遠，研究天體間的引力時將天體看成質(zhì)點，即天體的質(zhì)量集中在球心上。
2．推導過程
(1)太陽對行星的引力

(2)太陽與行星間的引力
【典例1】 1665年，牛頓研究“是什么力量使得行星圍繞太陽運轉(zhuǎn)”的問題。若把質(zhì)量為m的行星圍繞太陽的運動近似看作勻速圓周運動，運用開普勒第三定律T2＝r3k，則可推得( )
A．行星受太陽的引力為F＝kmr2
B．行星受太陽的引力都相同
C．行星受太陽的引力F＝4π2kmr2
D．質(zhì)量越大的行星受太陽的引力一定越大
C [行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供向心力，可得F＝4π2T2mr，結(jié)合開普勒第三定律T2＝r3k，可得F＝4π2kmr2，故A錯誤，C正確；由F＝4π2kmr2可知引力F與距離r、行星的質(zhì)量m都有關，行星受太陽的引力不都相同，則質(zhì)量越大的行星受太陽的引力不一定越大，故B、D錯誤。]
太陽與行星間的引力的兩點注意
(1)太陽與行星間的引力大小與三個因素有關：太陽質(zhì)量、行星質(zhì)量、太陽與行星間的距離。太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線。
(2)太陽與行星間的引力是相互的，遵守牛頓第三定律。
[跟進訓練]
1．(多選)在書中我們了解了牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的偉大過程。過程1：牛頓首先證明了行星受到的引力F∝mr2、太陽受到的引力F∝Mr2，然后得到了F＝GMmr2，其中M為太陽質(zhì)量，m為行星質(zhì)量，r為行星與太陽的距離；過程2：牛頓通過蘋果和月球的加速度比例關系，證明了地球?qū)μO果、地球?qū)υ虑虻囊哂邢嗤再|(zhì)，從而得到了F＝GMmr2的普適性。那么( )
A．過程1中證明F∝mr2，需要用到圓周運動規(guī)律F＝mv2r或F＝m4π2T2r
B．過程1中證明F∝mr2，需要用到開普勒第三定律r3T2＝k
C．過程2中牛頓的推證過程需要用到“月球自轉(zhuǎn)周期”這個物理量
D．過程2中牛頓的推證過程需要用到“地球半徑”這個物理量
ABD [行星繞太陽做圓周運動，可知太陽對行星的引力提供了向心力，即F＝mv2r，又有v＝2πrT，可得F＝4π2mrT2，由開普勒第三定律r3T2＝k，變形可得T2＝r3k，代入可得F＝4π2kmr2，從而證明F∝mr2，故A、B正確；假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝Gm地m月r2，根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝Fm月＝Gm地r2(式中m地是地球的質(zhì)量，r是地球中心與月球中心的距離)，假設地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝Fm蘋＝Gm地R2(式中m地是地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間距離)，由以上兩式可得a月a蘋＝R2r2，由于月球中心與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以a月a地＝1602，從而得到F＝GMmr2的普適性，在推理中無須用到“月球自轉(zhuǎn)周期”這個物理量，故C錯誤，D正確。]
萬有引力定律 引力常量
1．萬有引力定律
(1)內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。
(2)表達式：F＝Gm1m2r2。
2．引力常量
(1)測量者：卡文迪什。
(2)數(shù)值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
如圖所示，太陽系中的行星圍繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力F＝Gm1m2r2提供向心力。
【問題】
(1)公式F＝Gm1m2r2中r的含義是什么？
(2)任何兩個物體之間的萬有引力都能利用公式F＝Gm1m2r2計算出來嗎？為什么？
(3)萬有引力定律指出，任何物體間都存在引力，為什么我們身邊的人或物沒有吸引在一起呢？
提示：(1)r指的是兩個質(zhì)點間的距離。
(2)不能。萬有引力定律的表達式F＝Gm1m2r2只適用于質(zhì)點之間、質(zhì)量分布均勻的球體之間或者質(zhì)點和質(zhì)量分布均勻的球體之間萬有引力的計算，對于形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的物體，r不易確定。
(3)任何物體間都存在引力，只是我們身邊的人或物的質(zhì)量比起天體的質(zhì)量小得多，所以我們身邊的人或物之間的萬有引力相較于自身受到的摩擦力小得多，故不可能吸在一起。
1．對萬有引力定律表達式F＝Gm1m2r2的說明
(1)引力常量G：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2；其物理意義為：引力常量在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1 kg 的質(zhì)點相距1 m時的相互吸引力。
(2)距離r：公式中的r是兩個質(zhì)點間的距離，對于質(zhì)量均勻分布的球體，就是兩球心間的距離。
2．F＝Gm1m2r2的適用條件
(1)萬有引力定律公式適用于計算質(zhì)點間的相互作用力，當兩個物體間的距離比物體本身的尺度大得多時，可用此公式近似計算兩物體間的萬有引力。
(2)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，可用此公式計算，式中r是兩個球體球心間的距離。
(3)一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬有引力也可用此公式計算，式中的r是球體球心到質(zhì)點的距離。
3．萬有引力的四個特性
對萬有引力定律的理解
【典例2】 (多選)下列說法正確的是( )
A．萬有引力定律F＝Gm1m2r2適用于兩質(zhì)點間的作用力計算
B．根據(jù)F＝Gm1m2r2，當r→0時，物體m1、m2間引力F趨于無窮大
C．把質(zhì)量為m的小球放在質(zhì)量為M、半徑為R的大球球心處，則大球與小球間萬有引力F＝GMmR2
D．兩個質(zhì)量分布均勻的分離的球體之間的相互作用力也可以用F＝Gm1m2r2計算，r是兩球體球心間的距離
AD [萬有引力定律適用于兩質(zhì)點間的相互作用，當兩球體質(zhì)量分布均勻時，可認為球體質(zhì)量分布在球心，然后計算他們間的萬有引力，故A、D正確；當r→0時，兩物體不能視為質(zhì)點，萬有引力公式不再適用，B錯誤；若大小球質(zhì)量分布均勻，則大球M對處于球心的小球m引力的合力為零，故C錯誤。]
萬有引力的計算【典例3】 如圖所示，兩質(zhì)量均勻分布的小球半徑分別為R1、R2，相距R，質(zhì)量為m1、m2，則兩球間的萬有引力大小為(引力常量為G)( )
A．Gm1m2R12 B．Gm1m2R1+R2+R2
C．Gm1m2R1+R22 D．Gm1m2R22
B [對于質(zhì)量分布均勻的兩小球來說，計算二者間的萬有引力時，r取兩球心間的距離，兩球間的萬有引力大小F＝Gm1m2R1+R2+R2，故B正確。]
[跟進訓練]
2．(多選)下列關于萬有引力定律的說法正確的有( )
A．萬有引力定律是開普勒發(fā)現(xiàn)的
B．萬有引力是普遍存在于宇宙空間中所有具有質(zhì)量的物體之間的相互作用
C．F＝Gm1m2r2中的G是由卡文迪什測定的一個比例常數(shù)，沒有單位
D．F＝Gm1m2r2中的r可以是兩個質(zhì)量分布均勻的球體球心間的距離
BD [萬有引力定律是牛頓在總結(jié)前人研究的基礎上發(fā)現(xiàn)的，故A錯誤；萬有引力是普遍存在于宇宙空間中所有具有質(zhì)量的物體之間的相互作用，故B正確；F＝Gm1m2r2中的G是一個比例常數(shù)，單位為N·m2/kg2，故C錯誤；F＝Gm1m2r2中的r可以是兩個質(zhì)量分布均勻的球體球心間的距離，故D正確。]
3．2022年8月4日，我國成功發(fā)射首顆陸地生態(tài)系統(tǒng)碳監(jiān)測衛(wèi)星句芒號。在衛(wèi)星從發(fā)射到進入預定軌道的過程中，衛(wèi)星所受地球引力大小F隨它距地面的高度h變化的關系圖像可能正確的是( )

A B C D
B [設地球的質(zhì)量為M、半徑為R，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則衛(wèi)星所受萬有引力大小F＝GMmh+R2，h增大，F(xiàn)減小，但不是線性減小，故B正確。]
萬有引力與重力的關系
假如某個人做環(huán)球旅行，可能到達地球的任何地點，如果將地球看成標準的球體，那么該人分別位于赤道上某點、北半球的某點、南半球的某點、北極點、南極點等不同地點。
【問題】
(1)該人在各地點所受的萬有引力有什么關系？
(2)該人在各地點所受的重力有什么關系？
(3)重力就是地球?qū)ξ矬w的萬有引力嗎？
(4)在什么情況下，可以認為重力的大小等于萬有引力？
提示：(1)在各地點所受的萬有引力大小相等，方向沿對應點的地球半徑指向地心。
(2)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，該人在各地點所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不是。重力是地球?qū)ξ矬w萬有引力的一個分力。
(4)在地球表面附近，不考慮物體隨地球自轉(zhuǎn)，可以認為重力的大小等于萬有引力。
1．萬有引力是合力：如圖所示，設地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，則物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，則由萬有引力公式得F＝GMmR2。
2．萬有引力產(chǎn)生兩個分力：除南北極外，萬有引力產(chǎn)生兩個分力，一個分力F1提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，方向垂直于地軸；另一個分力F2是重力，產(chǎn)生使物體擠壓地面的效果。
3．重力與緯度的關系：地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。
(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上F＝Fn＋mg，即GMmR2＝mRω2＋mg，所以mg＝GMmR2－mRω2。
(2)地球兩極處：向心力為零，所以mg＝F＝GMmR2。
(3)其他位置：重力是萬有引力的一個分力，重力的大小mg＜GMmR2，重力的方向偏離地心。
4．重力、重力加速度與高度的關系
(1)地球表面物體的重力約等于物體所受到的萬有引力，即mg＝GMmR2，所以地球表面的重力加速度g＝GMR2。
(2)地球上空h高度處，萬有引力等于重力，即mg′＝GMmR+h2，所以h高度處的重力加速度g′＝GMR+h2。
【典例4】 假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球的半徑為R，則地球的自轉(zhuǎn)周期為( )
A．2πRg-g0 B．2πRg0-g
C．2πg-g0RD．2πg0-gR
B [質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝GMmR2，在赤道，引力為重力和向心力的合力，有mg＋m4π2T2R＝GMmR2，聯(lián)立解得T＝2πRg0-g，B正確。]
處理萬有引力與重力關系的思路
(1)若題目中不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，不考慮重力隨緯度的變化，可認為重力等于萬有引力，即mg＝GMmR2。
(2)若題目中需要考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，需要考慮重力隨緯度的變化，就要注意重力與萬有引力的差別：兩極處，mg0＝GMmR2；赤道處，mg＋Fn＝GMmR2。
[跟進訓練]
4．航天員在天宮一號目標飛行器內(nèi)進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )
A．0 B．GMR+h2
C．GMmR+h2 D．GMh2
B [天宮一號飛船繞地球飛行時與地球之間的萬有引力F引＝GMmR+h2，由于天宮一號飛船繞地球飛行時重力與萬有引力相等，即mg＝GMmR+h2，故飛船所在處的重力加速度g＝GMR+h2，故B正確，A、C、D錯誤。]
5．某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M?？蒲腥藛T研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為( )
A．GM10R3 B．GM11R3
C．1.1GMR3 D．GMR3
B [由萬有引力定律得，物體在“赤道”處有GMmR2－mg＝mω2R，在“兩極”處有GMmR2＝1.1mg，聯(lián)立以上兩式解得，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝GM11R3，B正確，A、C、D錯誤。]
1．(多選)物理學中的一些常量，對物理學的發(fā)展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如圖所示的裝置，比較精確地測量出了引力常量。關于這段歷史，下列說法正確的是( )
A．卡文迪什被稱為“首個測量地球質(zhì)量的人”
B．萬有引力定律是牛頓和卡文迪什共同發(fā)現(xiàn)的
C．這個實驗裝置巧妙地利用放大原理，提高了測量精度
D．引力常量不易測量的一個重要原因就是地面上普通物體間的引力太微小
ACD [已知地球半徑R，地球表面重力加速度g，利用GMmR2＝mg得M＝gR2G，從而能稱出地球的質(zhì)量，卡文迪什測出了關鍵的引力常量G，故被稱為“首個測量地球質(zhì)量的人”，故A正確；萬有引力定律是1687年牛頓發(fā)現(xiàn)的，故B錯誤；地面上普通物體間的引力太微小，引力常量不易測量，該實驗裝置通過光的反射，利用放大原理，提高了測量精度，故C、D正確。]
2．下列關于萬有引力定律的說法正確的是( )
A．只有天體間才有萬有引力
B．任意兩個物體之間都存在萬有引力
C．兩質(zhì)點間萬有引力為F，當它們間的距離增加到2倍時，它們之間的萬有引力變?yōu)?F
D．兩質(zhì)點間萬有引力為F，當它們間的距離增加到2倍時，它們之間的萬有引力變?yōu)?2F
B [任意兩個物體之間都存在萬有引力，A錯誤，B正確；兩質(zhì)點間萬有引力為F，當它們間的距離增加到2倍時，根據(jù)萬有引力定律F＝Gm1m2r2，可知它們之間的萬有引力變?yōu)?4F，故C、D錯誤。]
3．在離地面高度等于地球半徑的地方，重力加速度的大小是地球表面處的( )
A．4倍 B．2倍
C．12D．14
D [由mg＝GmMr2知，g＝GMr2，g0＝GMR+h2，當h＝R時，g0＝14g，D正確。]
4．用傳感器測量一物體的重力時，發(fā)現(xiàn)在赤道測得的讀數(shù)與其在北極的讀數(shù)相差大約3‰。如圖所示，如果認為地球是一個質(zhì)量分布均勻的標準球體，下列說法正確的是( )
A．在北極處物體的向心力為萬有引力的3‰
B．在北極處物體的重力為萬有引力的3‰
C．在赤道處物體的向心力為萬有引力的3‰
D．在赤道處物體的重力為萬有引力的3‰
C [在北極處，沒有向心力，重力等于萬有引力，即F引＝G，A、B錯誤；在赤道處，F(xiàn)引－G′＝Fn，再結(jié)合題意知G-G'G＝3‰，在赤道處FnF引＝F引-G'F引＝G-G'G＝3‰，C正確；赤道處G'F引＝G'G＝1－G-G'G＝997‰，D錯誤。]
回歸本節(jié)知識，自我完成以下問題：
1．萬有引力定律的內(nèi)容是什么？
提示：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間的距離r的二次方成反比。
2．萬有引力的公式是什么？其適用條件是什么？
提示：F＝Gm1m2r2。適用于質(zhì)點間或均質(zhì)球體間的計算。
3．引力常量是牛頓測出來的嗎？
提示：不是，是卡文迪什測出的。
課時分層作業(yè)(九)
題組一 太陽與行星間引力
1．(多選)下列說法正確的是( )
A．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式F＝mv2r，這個關系式實際上是牛頓第二定律；是可以在實驗室中得到驗證的
B．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式v＝2πrT，這個關系式實際上是勻速圓周運動的一個公式，它是由速度的定義式得來的
C．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，我們引用了公式r3T2＝k，這個關系式是開普勒第三定律，是可以在實驗室中得到證明的
D．在探究太陽對行星的引力規(guī)律時，使用的三個公式，都是可以在實驗室中得到證明的
AB [開普勒的三大定律是總結(jié)行星運動的觀察結(jié)果而總結(jié)歸納出來的規(guī)律，每一條都是經(jīng)驗定律，都是從觀察行星運動所取得的資料中總結(jié)出來的，故開普勒的三大定律都是在實驗室中無法驗證的定律，故A、B正確。]
2．(多選)下面有關萬有引力的說法正確的是( )
A．F＝Gm1m2r2中的G是引力常量，其值是牛頓通過扭秤實驗測得的
B．地面附近自由下落的蘋果和天空中運行的月亮，受到的都是地球引力
C．蘋果落到地面上，說明地球?qū)μO果有引力，蘋果對地球也有引力
D．萬有引力定律是牛頓在總結(jié)前人研究的基礎上發(fā)現(xiàn)的
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通過扭秤實驗測得的，故A錯誤；由萬有引力定律可知，地面附近自由下落的蘋果和天空中運行的月亮，受到的都是地球引力，故B正確；地球吸引蘋果的力與蘋果吸引地球的力是相互作用力，因此地球?qū)μO果有引力，蘋果對地球也有引力，故C正確；萬有引力定律是牛頓在總結(jié)前人研究的基礎上發(fā)現(xiàn)的，故D正確。]
3．(多選)關于太陽與行星間的引力，下列說法正確的是( )
A．由于地球比木星離太陽近，所以太陽對地球的引力一定比對木星的引力大
B．行星繞太陽沿橢圓軌道運動時，在從近日點向遠日點運動時所受引力變小
C．由F＝GMmr2可知G＝Fr2Mm，由此可見G與F和r2的乘積成正比，與M和m的乘積成反比
D．行星繞太陽橢圓軌道的運動可近似看成圓形軌道的運動，其向心力來源于太陽對行星的引力
BD [由F＝GMmr2，太陽對行星的引力大小與m、r有關，對同一行星，r越大，F(xiàn)越小，B正確；對不同行星，r越小，F(xiàn)不一定越大，還要由行星的質(zhì)量決定，A錯誤；公式中G為比例系數(shù)，是一常量，與F、r、M、m均無關，C錯誤；通常的研究中，行星繞太陽橢圓軌道的運動可近似看成圓形軌道的運動，向心力由太陽對行星的引力提供，D正確。]
題組二 萬有引力定律
4．根據(jù)萬有引力定律，兩個質(zhì)量分別是m1和m2的物體，他們之間的距離為r時，它們之間的吸引力大小為F＝Gm1m2r2，式中G是引力常量，若用國際單位制的基本單位表示G的單位應為( )
A．kg·m·s-2 B．N·kg2·m-2
C．m3·s-2·kg-1D．m2·s-2·kg-2
C [國際單位制中質(zhì)量m、距離r、力F的基本單位分別是：kg、m、kg·m·s-2，根據(jù)萬有引力定律F＝Gm1m2r2，得到用國際單位制的基本單位表示G的單位為m3·s-2·kg-1，C正確。]
5．(多選)關于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是( )
A．不能看作質(zhì)點的兩物體間不存在相互作用的引力
B．只有能看作質(zhì)點的兩物體間的引力才能用F＝Gm1m2r2計算
C．由F＝Gm1m2r2知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大
D．引力常量G的測出，證明了萬有引力定律的正確性
CD [任何有質(zhì)量的物體間都存在相互作用的引力，故稱萬有引力，A錯誤；兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力也能用F＝Gm1m2r2來計算，B錯誤；物體間的萬有引力與它們之間的距離r的二次方成反比，故r減小，它們間的引力增大，C正確；引力常量的測出，證明了萬有引力定律的正確性，D正確。]
6．要使兩物體間的萬有引力減小到原來的14，下列辦法不正確的是( )
A．使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變
B．使其中一個物體的質(zhì)量減小到原來的14，距離不變
C．使兩物體間的距離增大到原來的2倍，質(zhì)量不變
D．使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來的14
D [根據(jù)萬有引力定律F＝GMmr2可知，使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼?4，A正確；使其中一個物體的質(zhì)量減小到原來的14，距離不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼?4，B正確；使兩物體間的距離增大到原來的2倍，質(zhì)量不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼?4，C正確；使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來的14，則萬有引力大小不變，D錯誤。]
題組三 萬有引力和重力的關系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有( )
A．物體在赤道處受到的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處
B．赤道處的角速度比南緯30°的角速度大
C．地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大
D．地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力
A [由F＝GMmR2可知，若地球看成球形，則物體在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除兩極外，此引力的兩個分力一個是物體的重力，另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正確；地球各處的(除兩極外)角速度均等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，B錯誤；地球上只有赤道上的物體向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C錯誤；地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是由物體所受萬有引力與地面支持力的合力提供的，D錯誤。]
8．(2022·重慶永川北山中學高二開學考試)2021年5月15日，我國科研團隊根據(jù)祝融號火星車發(fā)回的遙感信號確認，天問一號著陸巡視器成功著陸預定區(qū)域，我國首次火星探測任務取得圓滿成功。已知火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的110和12，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為( )
A．5g B．2.5g
C．0.4gD．0.2g
C [在地球表面重力等于萬有引力mg＝GM地mR地2，在火星表面重力等于萬有引力m′g火＝GM火m'R火2，結(jié)合題意聯(lián)立可得g火＝0.4g，故C正確，A、B、D錯誤。]
9．月—地檢驗為萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)提供了事實依據(jù)。已知地球半徑為R，地球中心與月球中心的距離r＝60R，下列說法正確的是( )
A．卡文迪什為了檢驗萬有引力定律的正確性首次進行了月—地檢驗
B．月—地檢驗表明地面物體所受地球的引力與月球所受地球的引力是不同性質(zhì)的力
C．月球由于受到地球?qū)λ娜f有引力而產(chǎn)生的加速度與月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度相等
D．由萬有引力定律可知，月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度是地面重力加速度的160
C [牛頓為了檢驗萬有引力定律的正確性，首次進行了月—地檢驗，故A錯誤；月—地檢驗表明地面物體所受地球的引力與月球所受地球的引力是同種性質(zhì)的力，故B錯誤；月球由于受到地球?qū)λ娜f有引力而產(chǎn)生的加速度與月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度相等，所以證明了萬有引力的正確性，故C正確；物體在地球表面所受的重力等于其引力，則有mg＝GMmR2，月球繞地球在引力提供向心力作用下做勻速圓周運動，則有GMm60R2＝man，聯(lián)立以上兩式可得an∶g＝1∶3 600，故D錯誤。]
10．如圖所示，質(zhì)量分布均勻的實心球體，其質(zhì)量為M，半徑為R。現(xiàn)在將它的左側(cè)挖去一個半徑為r＝R2的球體，則挖去后它對離球體表面距離R處的質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力與挖去前對質(zhì)點的引力之比為( )
A．225 B．2325 C．23100 D．77100
B [根據(jù)M＝ρV＝ρ·43πR3知，挖去部分的半徑是球體半徑的一半，則質(zhì)量是球體質(zhì)量的18，所以挖去部分的質(zhì)量M′＝18M，沒挖之前，球體對質(zhì)點m的萬有引力F1＝GMm4R2，挖去的部分對m的萬有引力F2＝GM'm5R22＝GMm50R2，則剩余部分對質(zhì)點的引力大小F＝F1－F2＝23GMm100R2，則FF1＝2325，故B正確。]
11．火星半徑約為地球半徑的一半，火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的19。一位航天員連同航天服在地球上的質(zhì)量為50 kg。(地球表面的重力加速度g取 10 m/s2)
(1)在火星上航天員所受的重力為多少？
(2)航天員在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝GMmR2，得g＝GMR2
在地球上有g＝GMR2，在火星上有g′＝G·19M12R2
所以g′＝49g＝409 m/s2
那么航天員在火星上所受的重力
mg′＝50×409 N≈222 N。
(2)在地球上，航天員跳起的高度為h＝v022g
在火星上，航天員跳起的高度為h′＝v022g'
聯(lián)立以上兩式得h′＝3.375 m。
[答案] (1)222 N (2)3.375 m
12．用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的物體的重力，測量結(jié)果隨稱量位置的變化可能會有所不同。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣阻力的影響。設在地球北極稱量時，彈簧測力計的讀數(shù)是F0。
(1)若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數(shù)為F1，求比值F1F0的表達式，并就h＝0.5%R的情形算出具體數(shù)值(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)。
(2)若在赤道表面稱量，彈簧測力計讀數(shù)為F2，求比值F2F0的表達式。
[解析] (1)在地球北極所稱量物體的重力等于萬有引力，有F0＝GMmR2，在北極上空高出地面h處稱量，有F1＝GMmR+h2，聯(lián)立解得F1F0＝RR+h2，當h＝0.5%R時，F(xiàn)1F0≈0.99。
(2)在赤道表面稱量，有F2＝GMmR2－m4π2T2R，聯(lián)立解得F2F0＝1－4π2R3GMT2。
[答案] (1)RR+h2 0.99 (2)1－4π2R3GMT2
13．如圖所示，三個質(zhì)量均為M的球分別位于34圓環(huán)、半圓環(huán)和完整圓環(huán)的圓心，34圓環(huán)、半圓環(huán)分別是由與丙圖中相同的完整圓環(huán)截去14和一半所得，環(huán)的粗細忽略不計，若甲圖中環(huán)對球的萬有引力大小為F，則乙圖、丙圖中環(huán)對球的萬有引力大小分別為( )
A．2F，22F B．2F，0
C．32F，22FD．23F，43F
B [將甲圖34圓環(huán)看成是三個14圓環(huán)的組合，關于圓心對稱的兩個14圓環(huán)對球的萬有引力的合力為零，由題知34圓環(huán)對球的萬有引力大小為F，所以14圓環(huán)對球的萬有引力大小為F；將乙圖半圓環(huán)看成是兩個14圓環(huán)的組合，根據(jù)平行四邊形定則，乙圖半圓環(huán)對球的萬有引力大小為2F，方向向上；將丙圖完整圓環(huán)看成是4個14圓環(huán)的組合，關于圓心對稱的兩個14圓環(huán)對球的萬有引力的合力為零，因此丙圖整個圓環(huán)對球的萬有引力為0，故B正確。]普遍性
萬有引力不僅存在于太陽與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力
相互性
兩個有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力，總是滿足大小相等，方向相反，作用在兩個物體上
宏觀性
地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用
特殊性
兩個物體之間的萬有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們之間的距離有關，而與它們所在空間的性質(zhì)無關，也與周圍是否存在其他物體無關