廣西賀州市昭平縣部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知為虛數(shù)單位，且與互為共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>與互為共軛復(fù)數(shù)，
所以.
故選：D.
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出準(zhǔn)線方程即可.
【詳解】拋物線，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：A
3. 已知m，n為不同的直線，為不同的平面，若，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由給定條件可得，再利用面面垂直的判定、性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由，得，
若，則或，“”不是“”的充分條件；
若，則存在過直線的平面與平面相交，令交線為，則，而，
于是，又，因此，即“”是“”的必要條件，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知等比數(shù)列的公比，且數(shù)列是一個(gè)遞減的數(shù)列，則的值可以為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)，再分類探討數(shù)列單調(diào)性即可得解.
【詳解】等比數(shù)列的公比，則，顯然是遞增的，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增的，不符合要求；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減的，符合題意，則恒成立，
所以的值可以為.
故選：C
5. 已知為第二象限角且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解即得.
【詳解】由為第二象限角，得，由，得，
所以.
故選：C
6. 某電器廠購(gòu)進(jìn)了兩批電子元件，其中第一批電子元件的使用壽命X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于1200小時(shí)的概率為0.1，使用壽命不少于800小時(shí)的概率為0.9．第二批電子元件的使用壽命不少于900小時(shí)的概率為0.8，使用壽命不少于1000小時(shí)的概率為0.6且這兩批電子元件的使用壽命互不影響．若該廠產(chǎn)出的某電器中同時(shí)裝有這兩批電子元件各一個(gè)，則在1000小時(shí)內(nèi)這兩個(gè)元件都能正常工作的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布求出第一批電子元件的使用壽命不少于1000小時(shí)的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，，則，
由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，使用壽命X的期望，則，
所以在1000小時(shí)內(nèi)這兩個(gè)元件都能正常工作概率為.
故選：B
7. 半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體．它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點(diǎn)的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征得出過A，B，C三點(diǎn)的截面圖形，由面積求出原正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出外接球半徑即可得解.
【詳解】將二十四等邊體補(bǔ)全為正方體，則該二十四等邊體的過A，B，C三點(diǎn)的截面為正六邊形，
設(shè)原正方體棱長(zhǎng)為，則正六邊形邊長(zhǎng)為，其面積為，解得，
因此原正方體的棱長(zhǎng)為，由對(duì)稱性知，二十四等邊體的外接球球心是原正方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)，
球半徑為該點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以外接球的表面積為.
故選：D
8. 已知點(diǎn)P為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，
所以由可得，且過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，
所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)與點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，圓心為，半徑.
而圓的圓心為，半徑為，
所以兩個(gè)圓心的距離，且，所以兩圓相離，
所以的最大值為：，的最小值為：，
所以的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，根據(jù)直線垂直以及過定點(diǎn)得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 某同學(xué)記錄了連續(xù)5天的平均氣溫．已知這組數(shù)據(jù)均為整數(shù)，中位數(shù)為19，唯一眾數(shù)為21，極差為4，則（ ）
A. 該組數(shù)據(jù)中最小的數(shù)據(jù)可能為16B. 該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于19
C. 該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是21D. 將該組數(shù)據(jù)從小到大排列，第二個(gè)數(shù)字是18
【答案】BCD
【解析】
【分析】由中位數(shù)、極差、眾數(shù)的定義求出該組數(shù)據(jù)從小到大為，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】由題意設(shè)該組數(shù)據(jù)從小到大為，
則，因?yàn)闃O差為4，所以，所以，
對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)中最小的數(shù)據(jù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，該組數(shù)據(jù)從小到大為，因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)均為整數(shù)，則，
該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故B正確；
對(duì)于C，該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為：，
故該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)即，故C正確；
對(duì)于D，該組數(shù)據(jù)從小到大為，第二個(gè)數(shù)字是18，故D正確.
故選；BCD.
10. “雙曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特點(diǎn)．這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．并且過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，如圖所示：
已知左、右焦點(diǎn)為的雙曲線C的離心率為，并且過點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱中心，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 雙曲線的方程為
B. 若從射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為
C.
D. 過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于H，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)根據(jù)離心率找到關(guān)系，代點(diǎn)求方程即可；B選項(xiàng)可由雙曲線漸近線的斜率得到；C選項(xiàng)判斷直線為切線，再由題中所給定義得到結(jié)論；D選項(xiàng)聯(lián)立兩條直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出.
【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為.由離心率，可得，
于是方程為.代入點(diǎn)，解得.雙曲線方程為.故A正確.
B選項(xiàng): 根據(jù)題中條件分析可知，反射光線所在直線的斜率介于兩條漸近線斜率之間.
焦點(diǎn)在軸上的雙曲線漸近線斜率，答案應(yīng)為.故B錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：利用點(diǎn)斜式求得，與雙曲線方程聯(lián)立，得到，
可知該直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即直線為雙曲線在點(diǎn)處的切線.
根據(jù)題中條件“過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角”可知，.故C正確.
D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果.因?yàn)橹本€垂直于直線，所以.
因?yàn)?，可求?
兩方程進(jìn)行聯(lián)立，解出，因此.故D正確.
故選：ACD
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 為增函數(shù)
C. 若實(shí)數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先令，求出，再令，即可判斷A；令，結(jié)合已知判斷的符號(hào)，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，令，則，所以，
令，則，所以，
所以是奇函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，令，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又是奇函數(shù)，且，
所以函數(shù)為增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，由，得，
所以，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
即，故D正確
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若集合，則集合__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合，再根據(jù)并集的定義即可得解.
【詳解】，
所以.
故答案為：.
13. 已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為______
【答案】
【解析】
【分析】先求出切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，
故切線方程為，即.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，且，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為A，B，C，且，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的值域，由給定不等式求出，求出的圖象平移后的函數(shù)解析式，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即得.
【詳解】依題意，函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)椋?br>由，得，且，解得，
，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，
觀察圖象知，，取中點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性知，，
由，得，即，，
由，得，則，
解得，于是，則，
因此，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決兩個(gè)正余弦型函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)，作出對(duì)應(yīng)圖象是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 隨著近年來的生活質(zhì)量提高，飲食結(jié)構(gòu)改變，生活壓力增加，中青年人也逐漸成為動(dòng)脈粥樣硬化性心血管疾病的高危人群．血脂異常是的重要危險(xiǎn)因素之一，有效控制血脂異常，對(duì)防治具有重要意義．某公司計(jì)劃研究一種新的降脂單抗藥物，藥物研發(fā)時(shí)，需要對(duì)志愿者進(jìn)行藥效實(shí)驗(yàn)．該公司統(tǒng)計(jì)了800名不同年齡的志愿者達(dá)到預(yù)期效果所需的療程數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：
把年齡在內(nèi)的人稱為青年，年齡在內(nèi)的人稱為中年，療程數(shù)低于5次的為效果明顯，不低于5次的為效果不明顯．
（1）補(bǔ)全下面的列聯(lián)表．
（2）判斷以35歲為分界點(diǎn)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為治療效果與年齡有關(guān)．
參考公式：．
附表：
【答案】（1）答案見解析
（2）能認(rèn)為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可得出答案；
（2）根據(jù)公式求出，再對(duì)照臨界值表即可得解.
【小問1詳解】
由題意，效果不明顯的青年有人，
效果明顯的青年有，
效果不明顯的中年有，
效果明顯的中年有，
故列聯(lián)表如下：
【小問2詳解】，
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為治療效果與年齡有關(guān)．
16. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．
設(shè)是遞增的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，__________．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（注：若選擇多個(gè)解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）選擇條件①②③，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和列出方程，求出首項(xiàng)、公比即可得解.
（2）利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.
【小問1詳解】
由是遞增的等比數(shù)列，，得數(shù)列的公比，且，
選擇條件①，，則，即，于是，
所以的通項(xiàng)公式是.
選擇條件②，，即，由，解得，
所以的通項(xiàng)公式是.
選擇條件③，，則，
而，解得，即有，
所以的通項(xiàng)公式是.
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以
.
17. 已知函數(shù)．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)解，求a的取值范圍．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù).
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)解，令，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求解.
【小問1詳解】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：
，
因?yàn)?，則，
所以由可得，
解得或，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
【小問2詳解】
因?yàn)殛P(guān)于x方程有且只有一個(gè)解，即，
也即，令，
則是減函數(shù)，
因?yàn)?，所以函?shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，；
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
18. 某幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），其中均與底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，E為弧的中點(diǎn)．
（1）證明：平面．
（2）直線與所成角的余弦值為．
（i）求直線與平面所成角的正弦值；
（ii）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量共線證得線面平行.
（2）由（1）的坐標(biāo)系，利用已知求出，進(jìn)而求出平面的法向量，再求出線面角的正弦；求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.
【小問1詳解】
設(shè)上下底面圓的圓心分別為，連接，在底面內(nèi)過點(diǎn)作，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
由，得，
則，顯然，即，
而點(diǎn)不在直線，于，又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
（i）由（1）知，，則，
由直線與所成角的余弦值為，得，解得，
則，而，設(shè)平面的法向量，
則，令，得，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（ii）由（i）知，平面的法向量，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
于是，顯然二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算．
19. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，點(diǎn)P的軌跡為曲線．
（1）求的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)作斜率分別為的直線，其中交于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，交于點(diǎn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且M，N分別為的中點(diǎn)，直線與直線l交于點(diǎn)Q，若的斜率為，證明為定值，并求出該定值．
【答案】（1）
（2）證明見解析，定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，化簡(jiǎn)可得結(jié)果；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率公式求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，證明為定值可得結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，化簡(jiǎn)得，
即的軌跡方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，聯(lián)立，
化簡(jiǎn)得，
設(shè)，依題意，
則，M為的中點(diǎn)，所以，
設(shè)，同理可得，
因?yàn)橹本€與直線l交于點(diǎn)Q，設(shè)，所以，
即，化簡(jiǎn)得，
，所以，所以，
故為定值，并該定值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式、斜率公式、向量數(shù)量積、向量平行與垂直等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.1次
40
50
50
90
次
100
60
100
50
次
61
75
55
43
10次以上
7
7
5
7
效果
年齡
合計(jì)
青年
中年
效果不明顯
效果明顯
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
效果
年齡
合計(jì)
青年
中年
效果不明顯
效果明顯
合計(jì)