2024成都蓉城名校聯(lián)盟高三下學期第二次聯(lián)考試題數(shù)學（理）含解析

這是一份2024成都蓉城名校聯(lián)盟高三下學期第二次聯(lián)考試題數(shù)學（理）含解析，共14頁。試卷主要包含了若復數(shù)滿足，則的最小值為，在中，“”是“是鈍角”的，若函數(shù)是偶函數(shù)，則，已知一樣本數(shù)據(jù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時間120分鐘，滿分150分
注意事項：
1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名?座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上?試卷上答題無效.
3.考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A. B. C. D.
3.若角的終邊位于第二象限，且，則（ ）
A. B. C. D.
4.同位素測年法最早由美國學者Willard Frank Libby在1940年提出并試驗成功，它是利用宇宙射線在大氣中產(chǎn)生的的放射性和衰變原理來檢測埋在地下的動植物的死亡年代，當動植物被埋地下后，體內(nèi)的碳循環(huán)就會停止，只進行放射性衰變.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，動植物死亡后的時間（單位：年）與滿足關系式，且（動植物體內(nèi)初始的含量為，死亡年后的含量為）.現(xiàn)在某古代祭祀坑中檢測出一樣本中的含量為原來的，可以推測該樣本距今約（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A.2750年 B.2865年 C.3050年 D.3125年
5.若復數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A.0 B.1 C. D.2
6.在中，“”是“是鈍角”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.2023世界科幻大會在成都舉辦，主題場館以自由?擴散?無界的未來建筑形象詮釋科學與科幻主題，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黃金面具）”融入“星云”屋頂造型，建筑首層圍繞共享中庭設置了劇場?主題展區(qū)及博物館三大主題空間.現(xiàn)將4名志愿者安排到這三個主題空間進行志愿服務，則每個主題空間都有志愿者的不同的安排方式有（ ）
A.6種 B.18種 C.24種 D.36種
8.若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A.-1 B. C.1 D.
9.已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若均小于4，則該樣本的方差最小時，的值分別為（ ）
A.1，3 B.11，13 C.2，2 D.12，12
10.已知是雙曲線的左，右焦點，點是雙曲線上的點，點是內(nèi)切圓的圓心，若，則雙曲線的漸近線為（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)，均滿足關于的方程至多有一根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
12.若函數(shù)在區(qū)間上的值域分別為，則下列命題錯誤的是（ ）
A.若，則的最小值為
B.若，則的最小值為
C.若，則的取值范圍為
D.若，則的取值范圍為
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.若拋物線過點，則該拋物線的焦點為__________.
14.函數(shù)在點處的切線方程為__________.
15.在中，，則邊上的高為__________.
16.如圖，在平行四邊形中，，且交于點，現(xiàn)沿折痕將折起，直至滿足條件，此時__________.
三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）
已知數(shù)列的前項和，且的最大值為.
（1）確定常數(shù)，并求；
（2）求數(shù)列的前15項和.
18.（12分）
如圖，在三棱柱中，.
（1）求證：；
（2）若底面是正三角形，且平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.
19.（12分）
某半導體公司打算對生產(chǎn)的某批蝕刻有電源管理芯片的晶圓進行合格檢測，已知一塊直徑為的完整的晶圓上可以切割若干塊電源芯片，檢測方法是：依次檢測一塊晶圓上的任意4塊電源芯片.若4塊電源芯片均通過檢測，再檢測該晶圓其他位置的1塊電源芯片，若通過檢測，則該塊晶圓合格；若恰好3塊電源芯片通過檢測，再依次檢測該晶圓其他位置的2塊電源芯片，若都通過檢測，則該塊晶圓也視為合格，其他情況均視為該塊晶圓不合格.假設晶圓上的電源芯片通過檢測的概率均為，且“各塊芯片是否通過檢測”相互獨立.
（1）求一塊晶圓合格的概率；
（2）已知檢測每塊電源芯片所需的時間為10秒，若以“一塊晶圓是否合格”為標準，記檢測一塊晶圓所需的時間為（單位：秒），求的分布列及數(shù)學期望.
20.（12分）
在平面直角坐標系中，分別過點的直線的斜率之積為.
（1）求與的交點的軌跡方程；
（2）已知直線與直線交于點，線段的中點為，若點的坐標為，證明：點關于直線的對稱點在上.
21.（12分）
已知函數(shù)的導函數(shù)為.
（1）當且時，求的最小值；
（2）當且時，若存在兩個極值點，求的取值范圍.
（二）選考題：共10分.請考生在22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，點是曲線上的一動點.
（1）若直線過點，求直線的斜率；
（2）設直線恒過定點，若，求點的極徑.
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù).
（1）當時，解不等式；
（2）若函數(shù)的最小值為，且，求的最小值.
2024屆高三第二次聯(lián)考
理科數(shù)學參考答案及評分標準
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
解析：
1.解：由解得，由解得，所以，選C.
2.解：由題可知該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以側面積為，選B.
3.解：因為角的終邊位于第二象限，則，所以，選D.
4.解：經(jīng)過年后含量為，所以有，代入關系式得，所以，所以，選B.
5.解：設（為虛數(shù)單位），有，即在復平面上對應的點在該圓上，所以是該圓上的點到原點距離的最小值，的最小值為1，選.
6.解：“”等價于“”，平方可化為，顯然不共線，原條件等價于是鈍角，選.
7.解：首先將志愿者分成三組有種，安排到三個主題空間有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方式有種，選D.
8.解：因為，所以，又，所以，選D.
9.解：因為均小于4，由莖葉圖可知，中位數(shù)為，所以，樣本的平均值為，要使樣本的方差最小，即使最小，又，當且僅當“”時，等號成立，所以均為2，選C.
10.解：設內(nèi)切圓的半徑為，則有，所以，由雙曲線的定義可知，繼而的漸近線為，化簡為，選A.
11.解：①若，對于，方程有無數(shù)個解，不符合題意；
②若，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，對于任意，方程恒有兩不同的解，不符合題意；
③若，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當時，，當時，，若滿足題設條件，則只需滿足即可，當時，恒成立，當時，即可，令在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即.
綜上所述：的取值范圍為，選.
12.由題可知，令，令，若，則，當時，，此時，A正確；因為，若，則，所以，解得或（舍），所以的最小值為正確；又因為當時，，此時，與條件不符，當時，，此時，滿足條件，當時，，不滿足條件，當時，，不滿足條件，C錯誤；因為當，滿足條件，當時，，不滿足條件，當時，，不滿足條件，D正確，選C.
13.解：將代入拋物線方程得，所以拋物線的焦點為.
14.解：因為，又，有，所以在點處的切線方程為，化簡為.
15.解：因為，由正弦定理得，設邊上的高為，則.
16.解：由題意可知，所以，折起后如圖所示，因為，易得平面，繼而得到平面平面，分別過點作的垂線，垂足分別為點，又平面平面，即有，同時易證得，，所以，所以由余弦定理可知.
三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（12分）
解：（1）當時，取得最大值，
即
所以，
當時，，
當時，（符合上式），
所以；
（2）
18.（12分）
解：（1）作的中點，連接，
因為，所以是正三角形，
又點為的中點，所以，
又因為，點為的中點，所以，
因為，又因為平面，所以平面，
又因為平面，所以；
（2）由平面平面，平面平面，
因為平面，
又由（1）知，所以平面，
分別以為軸建立空間直角坐標系，設，
則，
，
所以，設平面的法向量，
所以，取非零向量，
又因為，設直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19.（12分）
解：（1）設第一次取出的4塊均通過檢測為事件，第一次取出的4塊中恰有3塊通過檢測為事件，第二次取出的1塊通過檢測為事件，第二次取出的2塊均通過檢測為事件，這一塊晶圓合格為事件，
（2）的可能取值為，并且
，
，
，
，
，
所以的分布列為
期望.
20.（12分）
解：（1）設點的坐標為的斜率為的斜率為，
由化簡可得，
所以點的軌跡方程為；
（2）“點關于直線的對稱點在上”等價于“平分”，設直線的方程為，則，設點，由，
得，得且，
①當軸時，，此時，所以，此時，點在的角平分線所在的直線或上，平分，
②當時，的斜率為，所以的方程為，所以點到直線的距離
點關于直線的對稱點在上.
21.（12分）
解：（1）當且時，，
令函數(shù)，則有，
當時，為減函數(shù)；當時，為增函數(shù)，
所以，即的最小值為2；
（2）當時，，因為此時，
有，令，
有，
①當時，因為，所以，即在上為增函數(shù)，故不可能存在兩個極值點，
②當時，解，得，顯然，
故當時，為減函數(shù)，
當時，為增函數(shù)，
所以，
i.當，即時，在上為增函數(shù)，
故不存在極值點，
ii.當，即時，
又因為，所以，
又由第（1）問知：，所以，
繼而有，所以，
又因為，所以，
又因為，
所以存在使得，
且在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以分別是的極大值點和極小值點，
綜上所述，的取值范圍為.
22.（10分）
解：（1）將代入直線的參數(shù)方程，即，
解得，所以直線的斜率為；
（2）由直線的參數(shù)方程可知點的坐標為，又點是曲線上的一動點，
設點的極坐標為，在中，
由余弦定理得：，
即
即，解得或.
23.（10分）
解：（1）當時，等價于；
當，原不等式等價于，解得，
當，原不等式等價于，解得，
當，原不等式等價于，解得，
綜上所述：不等式的解集為；
（2）因為，
即，
又由柯西不等式，所以，
當且僅當“”，即“”時，等號成立.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
B
B
C
D
D
C
A
A
C
20
30
40
50
60