2024年中考數(shù)學(xué)必考考點總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國通用）專題09 四邊形綜合篇（原卷版+解析）

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平行四邊形的性質(zhì)：
①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等。
②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補。
③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。
④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合。
⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。
平行四邊形的判定：
①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四邊行ABCD是平行四邊形
②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。
符號語言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四邊行ABCD是平行四邊形．
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四邊行ABCD是平行四邊形
④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四邊行ABCD是平行四邊形
矩形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②矩形的四個角都是直角。
③矩形的對角線相等。
④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的對稱。
⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。
（2）利用平行四邊形判定：
①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。
②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。
菱形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②菱形的四條邊都相等。
③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。
④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。
⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四條邊都相等的四邊形是菱形。
幾何語言：∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形
（2）利用平行四邊形判定：
①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。
②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。
正方形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。
所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點的直線也是對稱軸。
正方形的判定：
（1）利用平行四邊形判定：
一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）
（2）利用菱形與矩形判定：
①有一個角是直角的菱形是正方形。
②對角線相等的菱形是正方形。
③鄰邊相等的矩形是正方形。
④對角線相互垂直的矩形是正方形。
中點四邊形的判定：
①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。
②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。（菱形的中點四邊形是矩形）
③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。（矩形的中點四邊形是菱形）
④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。（正方形的中點四邊形是正方形）
專題練習(xí)
1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．
2．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．
求證：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．
3．如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．
4．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，BF平分∠DBC，交CD于點F．
（1）請用尺規(guī)作∠ADB的角平分線DE，交AB于點E（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）根據(jù)圖形猜想四邊形DEBF為平行四邊形．
請將下面的證明過程補充完整．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴BE∥DF．
∴四邊形DEBF為平行四邊形（ ）（填推理的依據(jù)）．
5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．
（1）求證：四邊形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．
（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．
8．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設(shè)點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
9．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，＝m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則＝ ；
（2）問題探究：
如圖②，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；
（3）拓展延伸：
當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．
10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 ① （從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）
11．下面圖片是八年級教科書中的一道題．
如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）
（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件： ；
（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；
（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．
設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．
12．已知△ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒?dāng)點P在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．
（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點，連接PG、PC．
（1）如圖1，當(dāng)點G在BC邊上時，寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）
（2）如圖2，當(dāng)點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長交射線BN于點F．
（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，過點E作EP⊥BN，垂足為P，請直接寫出PD的長（用含有m的式子表示）．
15．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）當(dāng)BE＝DF時，求證：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）連接AC，G是CB延長線上一點，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．
專題08 四邊形綜合
知識回顧
平行四邊形的性質(zhì)：
①邊的性質(zhì)：兩組對邊分別平行且相等。
②角的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補。
③對角線的性質(zhì)：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。
④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉(zhuǎn)180°與原圖形重合。
⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。
平行四邊形的判定：
①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四邊行ABCD是平行四邊形
②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。
符號語言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四邊行ABCD是平行四邊形．
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四邊行ABCD是平行四邊形
④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四邊行ABCD是平行四邊形
矩形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②矩形的四個角都是直角。
③矩形的對角線相等。
④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的對稱。
⑤由矩形的對角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
矩形的判定：
（1）直接判定：
有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。
（2）利用平行四邊形判定：
①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。
②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。
菱形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②菱形的四條邊都相等。
③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。
④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。
⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。
菱形的判定：
（1）直接判定：
四條邊都相等的四邊形是菱形。
幾何語言：∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形
（2）利用平行四邊形判定：
①定義：一組領(lǐng)邊相等的平行四邊形是菱形。
②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。
正方形的性質(zhì)：
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。
②具有矩形與菱形的一切性質(zhì)。
所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組對邊中點的直線也是對稱軸。
正方形的判定：
（1）利用平行四邊形判定：
一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）
（2）利用菱形與矩形判定：
①有一個角是直角的菱形是正方形。
②對角線相等的菱形是正方形。
③鄰邊相等的矩形是正方形。
④對角線相互垂直的矩形是正方形。
中點四邊形的判定：
①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。
②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。（菱形的中點四邊形是矩形）
③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。（矩形的中點四邊形是菱形）
④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。（正方形的中點四邊形是正方形）
專題練習(xí)
1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．
【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，再證AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵點O是邊AD的中點，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）解：四邊形ABDE是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴平行四邊形ABDE是菱形．
2．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF．
求證：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理證明△ABE≌△CDF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定定理證明AE∥CF，再根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
3．如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．
【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF，從而利用SSS證明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠DFE，從而可得AB∥DF，即可解答；
（2）連接AD交BF于點O，利用平行四邊形的性質(zhì)可得OB＝OF，從而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥EC，然后證明四邊形ABDF是菱形，即可解答．
【解答】證明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）連接AD交BF于點O，
∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四邊形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．
4．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，BF平分∠DBC，交CD于點F．
（1）請用尺規(guī)作∠ADB的角平分線DE，交AB于點E（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）根據(jù)圖形猜想四邊形DEBF為平行四邊形．
請將下面的證明過程補充完整．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴BE∥DF．
∴四邊形DEBF為平行四邊形（ ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)作已知角的角平分線步驟作圖即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定分別填空即可．
【解答】解：（1）作圖如下：
DE即為所求；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（填推理的依據(jù)）
又∵四邊形ABCD是平行四邊形．
∴BE∥DF．
∴四邊形DEBF為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．
故答案為：DBC，BF，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
5．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連結(jié)CE．
（1）求證：四邊形AECD為菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．
【分析】（1）由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形AECD是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AD＝CD，可得結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)可求AE＝BE＝CE＝2，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求BC，AC的長，即可求解．
【解答】（1）證明：∵E為AB中點，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）∵四邊形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等邊三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
6．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．
（1）求證：四邊形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長．
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中點的定義可得AE＝DE，從而證明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AF＝CD，再根據(jù)D是BC的中點，可得AF＝BD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得BD＝AD，從而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，再根據(jù)點D是BC的中點，可得△ABC的面積＝2△ABD的面積，進(jìn)而可得菱形ADBF的面積＝△ABC的面積，然后利用三角形的面積進(jìn)行計算即可解答．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵點D是BC的中點，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，
∴AD＝BD＝BC，
∴四邊形ADBF是菱形；
（2）解：∵四邊形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面積＝2△ABD的面積，
∵點D是BC的中點，
∴△ABC的面積＝2△ABD的面積，
∴菱形ADBF的面積＝△ABC的面積＝40，
∴AB?AC＝40，
∴×8?AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的長為10．
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF＝90°．
（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四邊形ABCF的面積S．
【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得∠BAE＝∠FDE，而點E是AD的中點，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，從而四邊形ABDF是平行四邊形，又∠BDF＝90°，即得四邊形ABDF是矩形；
（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF?AF＝12，四邊形ABCD是平行四邊形，得CD＝AB＝3，從而S△BCD＝BD?CD＝6，即可得四邊形ABCF的面積S為18．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF＝90°．
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四邊形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF＝＝＝4，
∴S矩形ABDF＝DF?AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD＝BD?CD＝×4×3＝6，
∴四邊形ABCF的面積S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四邊形ABCF的面積S為18．
8．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點H．點F從點B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點D勻速運動，同時，點E從點H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點D勻速運動．設(shè)點E，F(xiàn)的運動時間為t（單位：s），且0＜t＜3，過F作FG⊥BC于點G，連結(jié)EF．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）連結(jié)FC，EC，點F，E在運動過程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到EH∥FG，由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到四邊形EFGH是矩形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝2cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴EH∥FG，
由題意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝tcm，
∴EH＝FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵∠FGH＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）△BFC與△DCE能夠全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cs∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴當(dāng)BF＝DE時，△BFC≌△DEC，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
9．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，＝m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△FBE．
（1）問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則＝ ；
（2）問題探究：
如圖②，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；
（3）拓展延伸：
當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得∠AEB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)點M在AD邊上，當(dāng)AD＝AM時，m取得最小值，從而求解；
（3）連接FM，設(shè)AN＝a，然后結(jié)合勾股定理分析求解．
【解答】解：（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等邊三角形，
∴AB＝AM＝BM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ABN＝∠BAM＝60°，
∵AN為BC邊上的高，
∴＝＝，
故答案為：；
（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴∠MBC＝∠AMB＝45°，
∵EF∥BM，
∴∠FEM＝∠AMB＝45°，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+45°）＝112.5°，
∵AD∥NC，
∴∠BAE＝∠ABN＝45°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，
∵＝m，△AMB是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則AN＝AM，
∵點M在AD邊上，
∴當(dāng)AD＝AM時，m取得最小值，最小值為＝2，
（3）如圖，連接FM，延長EF交NC于點G，
∵∠BAD＝30°，則∠ABN＝30°，
設(shè)AN＝a，則AB＝2a，NB＝a，
∵EF⊥AD，
∴∠AEB＝∠FEB＝（180°+90°）＝135°，
∵∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠ABF＝30°，
∵AB＝BM，∠BAD＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∵∠MBC＝∠AMB＝30°，
∴∠FBM＝90°，
在Rt△FBM中，F(xiàn)B＝AB＝BM，
∴FM＝FB＝2a，
∴EG⊥GB，
∵∠EBG＝∠ABE+∠ABN＝45°，
∴GB＝EG＝a，
∵NB＝a，
∴AE＝EF＝MD＝（﹣1）a，
在Rt△EFM中，EM＝＝（+1）a，
∴AD＝AE+EM+MD＝2AE+EM＝（3﹣1）a，
同理，當(dāng)點F落在BC下方時，
AD＝（3+1）a
∴m＝＝3±1．
10．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）連接AE，CF，已知 ① （從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD＝30°；
條件②：AB＝BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）
【分析】（1）由等式的性質(zhì)得BF＝DE，由平行線的性質(zhì)得∠ABF＝∠CDE，從而利用AAS證明△ABF≌△CDE；
（2）若選擇①，由（1）可說明AF∥CE，則四邊形AECF是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AE＝，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AF＝，則AE＝AF，從而?AECF是菱形；若選擇②連接AC交BD于點O，同理可得四邊形AECF是平行四邊形，利用等腰三角形的性質(zhì)可得BO⊥AC，即EF⊥AC，從而證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若選擇條件①：
四邊形AECF是菱形，理由如下：
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴?AECF是菱形；
若選擇條件②：
四邊形AECF是菱形，理由如下：
連接AC交BD于點O，
由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴?AECF是菱形．
故答案為：①（答案不唯一）．
11．下面圖片是八年級教科書中的一道題．
如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）
（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件： ；
（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；
（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．
設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．
【分析】（1）根據(jù)點E為BC的中點，可得答案；
（2）取AG＝EC，連接EG，首先說明△BGE是等腰直角三角形，再證明△GAE≌△CEF，可得答案；
（3）設(shè)BC＝x，則BE＝kx，則GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示EP的長，利用平行四邊形的判定可得只要EP＝FC，即可解決問題．
【解答】（1）解：∵點E為BC的中點，
∴BE＝CE，
∵點G為AB的中點，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案為：AG＝CE；
（2）證明：取AG＝EC，連接EG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝時，四邊形PECF是平行四邊形，如圖，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
設(shè)BC＝x，則BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
當(dāng)PE＝CF時，四邊形PECF是平行四邊形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
12．已知△ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）在線段AC上任取一點P（端點除外），連接PD．將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒?dāng)點P在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．
（3）在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理和軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；
（2）連接PB，過點P分別作PE∥CB交AB于點E，PF⊥AB于點F，根據(jù)全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)解答即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：連接BD，
等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵點B、D關(guān)于直線AC對稱，
∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：當(dāng)點P在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：
∵將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處，
∴PQ＝PD，
等邊△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
連接PB，過點P分別作PE∥CB交AB于點E，PF⊥AB于點F，如圖
則∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵點B，D關(guān)于直線AC對稱，點P在線段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PB，
∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，
∴∠PDA＝∠PQB
∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；
（3）解：在滿足（2）的條件下，線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系是AQ＝CP，證明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PB，PF⊥AB，
∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．
13．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點，連接PG、PC．
（1）如圖1，當(dāng)點G在BC邊上時，寫出PG與PC的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）
（2）如圖2，當(dāng)點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．
【分析】（1）延長GP交DC于點E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，得到CE＝CG，CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，利用正切函數(shù)即可求解；
（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明△PED≌△PGF，再證明△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解；
（3）延長GP到H，使PH＝PG，連接CH，CG，DH，作EF∥DC，先證△GFP≌△HDP，再證△HDC≌△GBC，利用在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，即可求解．
【解答】解：（1）PG＝PC；
如圖1，延長GP交DC于點E，
∵P是DF的中點，
∴PD＝PF，
∵△BGF是正三角形，
∴∠BGF＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BGF＝∠ABC，
∴AB∥GF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵△BGF是正三角形，
∴FG＝BG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CE＝CG，
∴CP是EG的垂直平分線，
在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC；
（2）猜想：PG＝PC，證明如下：
如圖2，延長GP交DA于點E，連接EC，GC，
∵∠ABC＝60°，△BGF是等邊三角形，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP＝∠GFP，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，
在△CDE和△CBG中，
，
∴△CDE≌△CBG（SAS），
∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，
∴∠ECG＝∠DCB＝120°，
∵PE＝PG，
∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°，
∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC；
（3）猜想：PG＝PC，
如圖3，延長GP到H，使PH＝PG，連接CH，CG，DH，過點F作EF∥DC，
∵P是線段DF的中點，
∴FP＝DP，
∴∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，點A，B，G，在同一直線上，
∴∠GBC＝120°，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴PG＝tan∠PCG?PC＝PC．
14．已知∠ABN＝90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．點D為射線BN上任意一點（與點B不重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長交射線BN于點F．
（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜90°時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，過點E作EP⊥BN，垂足為P，請直接寫出PD的長（用含有m的式子表示）．
【分析】（1）連接AF，先根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再證明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出結(jié)論；
（2）連接AF，先說明∠EAC＝∠BAD，然后根據(jù)“SAS”證明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再證明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)α＝60°，AB＝AC，得出△ABC為等邊三角形，再按照∠BAD的大小分三種情況進(jìn)行討論，得出結(jié)果即可．
【解答】解：（1）BF＝CF；理由如下：
連接AF，如圖所示：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF與Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案為：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如圖2，連接AF，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠DAE＝α，AE＝AD，
∵∠BAC＝α，
∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF與Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
①當(dāng)∠BAD＜60°時，連接AF，如圖所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根據(jù)（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BP﹣BD＝6﹣m；
②當(dāng)∠BAD＝60°時，AD與AC重合，如圖所示：
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此時點P與點D重合，PD＝0；
③當(dāng)∠BAD＞60°時，連接AF，如圖所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根據(jù)（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BD﹣BP＝m﹣6，
綜上，PD的值為6﹣m或0或m﹣6．
15．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且∠EAF＝45°．
（1）當(dāng)BE＝DF時，求證：AE＝AF；
（2）猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）連接AC，G是CB延長線上一點，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點H且GH＝AE．若DF＝a，CH＝b，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．
【分析】（1）證明△ABE≌△ADF，從而得出結(jié)論；
（2）在CD的延長線上截取DG＝BE，類比（1）可證得△ABE≌△ADG，進(jìn)而證明△GAF≌△EAF，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）作HR⊥BC于R，證明△ABE≌△GRH，從而BE＝HR，在Rt△CRH中可得出HR＝b?sin45°＝，進(jìn)而BE＝，根據(jù)（2）可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：如圖1，
BE+DF＝EF，理由如下：
在CD的延長線上截取DG＝BE，
同理（1）可得：△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即：∠GAF＝45°，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG＝EF，
∴DG+DF＝EF，
∴BE+DF＝EF；
（3）如圖2，
作HR⊥BC于R，
∴∠HRG＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠ABE＝∠HRG，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，
∴∠G+∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
在△ABE和△GRH中，
，
∴△ABE≌△GRH（AAS），
∴BE＝HR，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b?sin45°＝，
∴BE＝，
∴EF＝BE+DF＝．