人教版 (2019)必修 第二冊第六章 圓周運(yùn)動3 向心加速度導(dǎo)學(xué)案及答案

這是一份人教版 (2019)必修 第二冊第六章 圓周運(yùn)動3 向心加速度導(dǎo)學(xué)案及答案，共12頁。
1.理解向心加速度的概念(重點(diǎn))。
2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系，能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問題(重點(diǎn))。3.會應(yīng)用動力學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動問題(重難點(diǎn))。
一、對向心加速度的理解
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動呢？
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1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度總指向________，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始終指向________。
3．作用：改變速度的________，不改變速度的________。
4．物理意義：描述速度________變化的快慢。
5．說明：勻速圓周運(yùn)動加速度的________時刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動不是勻變速運(yùn)動，而是________________。
6．變速圓周運(yùn)動：變速圓周運(yùn)動的加速度____________；可分解為____________和____________分析。向心加速度改變速度________，切向加速度改變速度________。
(1)物體做勻速圓周運(yùn)動時，其向心加速度是恒定的。( )
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時，在相等時間內(nèi)速度變化量是相同的。( )
(3)圓周運(yùn)動的加速度一定指向圓心。( )
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。( )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝________。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝________。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝________＝____________。
2．向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)
3．向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運(yùn)動還是非勻速圓周運(yùn)動，其向心加速度的方向都指向圓心。
(1)勻速圓周運(yùn)動的向心加速度的方向時刻指向圓心，大小不變。( )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an與半徑r成正比。( )
例1 自行車靠一條鏈子將兩個齒輪連接起來，一輛自行車的齒輪轉(zhuǎn)動示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個轉(zhuǎn)動齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點(diǎn)，其中齒輪1上有一點(diǎn)C，C點(diǎn)到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則( )
A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度相同
B．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度相等
C．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度之比為4∶1
D．B點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
例2 (2022·揚(yáng)州市邵伯高級中學(xué)高一月考)2022年2月，北京冬奧會上，中國選手奪得雙人花樣滑冰運(yùn)動冠軍。如圖所示，男運(yùn)動員以自身為轉(zhuǎn)動軸拉著女運(yùn)動員做勻速圓周運(yùn)動。若運(yùn)動員的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s，女運(yùn)動員觸地冰鞋的線速度為1.5π m/s，(設(shè)π2＝10)求：
(1)女運(yùn)動員做圓周運(yùn)動的角速度ω；
(2)觸地冰鞋做圓周運(yùn)動的半徑r；
(3)觸地冰鞋向心加速度a向的大小。
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三、圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題分析
例3 長為L的細(xì)線，下端拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，細(xì)線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細(xì)線上的拉力大??；
(2)小球運(yùn)動的線速度的大小和角速度的大小。
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思考：從上面角速度大小的結(jié)果中我們可以看出做圓錐擺運(yùn)動的小球的角速度ω與什么因素有關(guān)？
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例4 甲圖是兩個圓錐擺，兩擺球運(yùn)動軌道在同一個水平面內(nèi)，乙圖是完全相同的兩個小球在內(nèi)壁光滑的倒圓錐內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。下列說法正確的是( )
A．甲圖中兩小球的運(yùn)動周期相等
B．甲圖中兩小球的線速度大小相等
C．乙圖中兩個小球的線速度大小相等
D．乙圖中兩個小球的角速度大小相等
分析勻速圓周運(yùn)動問題的基本步驟
1．明確研究對象，對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。
2．確定物體做圓周運(yùn)動的軌道平面、圓心、半徑。
3．找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計(jì)算出沿半徑方向的合力F合。
4．利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展學(xué)習(xí)：用運(yùn)動學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，畫出物體經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點(diǎn)，如圖乙所示。
第三步，作出物體由A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設(shè)由A到B的時間極短，A到B的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
從運(yùn)動學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度指向圓心。
2．向心加速度的大小
由圖丁可知，當(dāng)Δt足夠小時，θ就足夠小，θ
角所對的弦和弧的長度就近似相等。
因此，θ＝eq \f(Δv,v)，由角速度定義知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根據(jù)加速度定義式a＝eq \f(Δv,Δt)，由v＝ωr
向心加速度大小的表達(dá)式為an＝ω2r，an＝eq \f(v2,r)。
3 向心加速度
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]
1.理解向心加速度的概念(重點(diǎn))。
2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系，能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問題(重點(diǎn))。3.會應(yīng)用動力學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動問題(重難點(diǎn))。
一、對向心加速度的理解
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細(xì)線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動呢？
答案 (1)地球只受到太陽引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心。
(2)由于速度大小沒有發(fā)生變化，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運(yùn)動是一種變加速曲線運(yùn)動。
1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度總指向圓心，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2．方向：始終指向圓心。
3．作用：改變速度的方向，不改變速度的大小。
4．物理意義：描述速度方向變化的快慢。
5．說明：勻速圓周運(yùn)動加速度的方向時刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動不是勻變速運(yùn)動，而是變加速曲線運(yùn)動。
6．變速圓周運(yùn)動：變速圓周運(yùn)動的加速度不指向圓心；可分解為向心加速度和切向加速度分析。向心加速度改變速度方向，切向加速度改變速度大小。
(1)物體做勻速圓周運(yùn)動時，其向心加速度是恒定的。( × )
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時，在相等時間內(nèi)速度變化量是相同的。( × )
(3)圓周運(yùn)動的加速度一定指向圓心。( × )
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。( √ )
二、向心加速度的大小
1．向心加速度公式
(1)an＝eq \f(v2,r)＝ω2r。
(2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以寫成an＝ωv。
(3)由于ω＝eq \f(2π,T)＝2πf，所以向心加速度也可以寫成an＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2f2r。
2．向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖所示)
3．向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運(yùn)動還是非勻速圓周運(yùn)動，其向心加速度的方向都指向圓心。
(1)勻速圓周運(yùn)動的向心加速度的方向時刻指向圓心，大小不變。( √ )
(2)由an＝eq \f(4π2,T2)r知，向心加速度an與半徑r成正比。( × )
例1 自行車靠一條鏈子將兩個齒輪連接起來，一輛自行車的齒輪轉(zhuǎn)動示意圖如圖所示，O1、O2是自行車的兩個轉(zhuǎn)動齒輪1和2的中心，A和B分別是齒輪1和齒輪2邊緣上一點(diǎn)，其中齒輪1上有一點(diǎn)C，C點(diǎn)到齒輪1中心O1的距離為齒輪1半徑的一半，則( )
A．A點(diǎn)和B點(diǎn)的線速度相同
B．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度相等
C．B點(diǎn)和C點(diǎn)的向心加速度之比為4∶1
D．B點(diǎn)和C點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
答案 D
解析 A點(diǎn)和B點(diǎn)是鏈條傳動，線速度大小相等，方向不同，故A錯誤；A點(diǎn)和C點(diǎn)是同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同，即ωA＝ωC，根據(jù)v＝ωr，可得eq \f(vA,vC)＝eq \f(rω,\f(1,2)rω)＝eq \f(2,1)，因?yàn)関A＝vB，所以vB：vC＝2∶1，故D正確；因?yàn)閮升X輪的半徑關(guān)系未知，無法比較B、C兩點(diǎn)向心加速度的大小，故B、C錯誤。
例2 (2022·揚(yáng)州市邵伯高級中學(xué)高一月考)2022年2月，北京冬奧會上，中國選手奪得雙人花樣滑冰運(yùn)動冠軍。如圖所示，男運(yùn)動員以自身為轉(zhuǎn)動軸拉著女運(yùn)動員做勻速圓周運(yùn)動。若運(yùn)動員的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s，女運(yùn)動員觸地冰鞋的線速度為1.5π m/s，(設(shè)π2＝10)求：
(1)女運(yùn)動員做圓周運(yùn)動的角速度ω；
(2)觸地冰鞋做圓周運(yùn)動的半徑r；
(3)觸地冰鞋向心加速度a向的大小。
答案 (1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
解析 (1)女運(yùn)動員做圓周運(yùn)動的角速度
ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s
(2)根據(jù)v＝ωr得r＝eq \f(v,ω)＝eq \f(1.5π,π) m＝1.5 m
(3)根據(jù)向心加速度公式得a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。
三、圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題分析
例3 長為L的細(xì)線，下端拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，細(xì)線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細(xì)線上的拉力大?。?br>(2)小球運(yùn)動的線速度的大小和角速度的大小。
答案 (1)eq \f(mg,cs θ) (2)eq \r(gLsin θtan θ) eq \r(\f(g,Lcs θ))
解析 (1)小球受重力及細(xì)線的拉力的作用，如圖所示，
由平衡條件可知，豎直方向：
FTcs θ＝mg，
故拉力FT＝eq \f(mg,cs θ)。
(2)小球做勻速圓周運(yùn)動的半徑r＝Lsin θ，向心力Fn＝FTsin θ＝mgtan θ，又Fn＝meq \f(v2,r)，
故小球的線速度大小v＝eq \r(gLsin θtan θ)。
由Fn＝mrω2
聯(lián)立解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))。
思考：從上面角速度大小的結(jié)果中我們可以看出做圓錐擺運(yùn)動的小球的角速度ω與什么因素有關(guān)？
答案 與圓心到繩上端的高度有關(guān)。
例4 甲圖是兩個圓錐擺，兩擺球運(yùn)動軌道在同一個水平面內(nèi)，乙圖是完全相同的兩個小球在內(nèi)壁光滑的倒圓錐內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。下列說法正確的是( )
A．甲圖中兩小球的運(yùn)動周期相等
B．甲圖中兩小球的線速度大小相等
C．乙圖中兩個小球的線速度大小相等
D．乙圖中兩個小球的角速度大小相等
答案 A
解析 設(shè)題圖甲中做圓錐擺運(yùn)動的其中一個小球?qū)?yīng)擺繩與豎直方向的夾角為θ，擺球與懸點(diǎn)的高度差為h，線速度大小為v，周期為T，
根據(jù)牛頓第二定律有mgtan θ＝meq \f(v2,htan θ)＝meq \f(4π2,T2)htan θ
解得v＝tan θeq \r(gh)
T＝2πeq \r(\f(h,g))
由此可知題圖甲中兩小球的線速度大小不相等，周期相等，A正確，B錯誤；設(shè)題圖乙中倒圓錐母線與豎直方向夾角為α，由牛頓第二定律可得
eq \f(mg,tan α)＝meq \f(v′2,r)＝mrω′2
解得v′＝eq \r(\f(gr,tan α))，ω′＝eq \r(\f(g,rtan α))
兩球運(yùn)動的軌道半徑不同，故線速度、角速度大小均不同，C、D錯誤。
分析勻速圓周運(yùn)動問題的基本步驟
1．明確研究對象，對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。
2．確定物體做圓周運(yùn)動的軌道平面、圓心、半徑。
3．找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計(jì)算出沿半徑方向的合力F合。
4．利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r。
5．解方程求出待求物理量。
拓展學(xué)習(xí)：用運(yùn)動學(xué)方法分析勻速圓周運(yùn)動向心加速度
1．向心加速度的方向
第一步，畫出物體經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點(diǎn)，如圖乙所示。
第三步，作出物體由A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設(shè)由A到B的時間極短，A到B的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
從運(yùn)動學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度指向圓心。
2．向心加速度的大小
由圖丁可知，當(dāng)Δt足夠小時，θ就足夠小，θ角所對的弦和弧的長度就近似相等。
因此，θ＝eq \f(Δv,v)，由角速度定義知：θ＝ωΔt，可得：Δv＝vωΔt
根據(jù)加速度定義式a＝eq \f(Δv,Δt)，由v＝ωr
向心加速度大小的表達(dá)式為an＝ω2r，an＝eq \f(v2,r)。