(人教A版必修第二冊)高一數(shù)學(xué)下冊同步講義 期末測試卷（A卷 基礎(chǔ)鞏固）原卷版+解析

這是一份(人教A版必修第二冊)高一數(shù)學(xué)下冊同步講義 期末測試卷（A卷 基礎(chǔ)鞏固）原卷版+解析，共30頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2020·山東德州·高一期末）已知i是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（2020·山東德州·高一期末）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)扇形的圓心角的弧度數(shù)為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山東德州·高一期末）若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山東德州·高一期末）一個正三棱錐的底面邊長是，高為，則它的斜高是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩名奧數(shù)選手最近6次的培訓(xùn)測試成績(滿分100分)如下莖葉圖所示，記甲?乙兩人的平均成績分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A．，乙比甲成績穩(wěn)定B．，甲比乙成績穩(wěn)定
C．，甲比乙成績穩(wěn)定D．，乙比甲成績穩(wěn)定
6．（2020·湖南師大附中高一期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，，，則
8．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因為射擊3次，故每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；
據(jù)此估計，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（ ）
A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6
二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.
9．（2020·山東德州·高一期末）已知是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若則
D．若，且與不平行，則
10．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是單位向量B．
C．D．
11．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（ ）
A．M與N互斥B．M與N不對立
C．M與N相互獨(dú)立D．
12．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．與平面所成的角的大小為45°
D．平面將正方體分成兩部分的體積的比為
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．（2020·山東德州·高一期末）若復(fù)數(shù)則________________________．
14．（2020·山東德州·高一期末）如圖，在矩形中，分別為和上的中點(diǎn)，若，其中則的值為_______．
15．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .
16．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（2020·山東德州·高一期末）已知向量在同一平面上，且.
（1）若，且，求向量的坐標(biāo)﹔
（2）若，且與垂直，求的值.
18．（2020·山東德州·高一期末）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).
（1）求證:;
（2）求證:平面.
19．（2017·河北衡水中學(xué)高一期末（理））如圖，由三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，平面平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．
20．（2020·湖南師大附中高一期末）長沙梅溪湖步步高購物中心在開業(yè)之后，為了解消費(fèi)者購物金額的分布，在當(dāng)月的電腦消費(fèi)小票中隨機(jī)抽取張進(jìn)行統(tǒng)計，將結(jié)果分成6組，分別是：，，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設(shè)消費(fèi)金額均在元的區(qū)間內(nèi)）.
（1）若在消費(fèi)金額為元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自 元區(qū)間的概率；
（2）為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設(shè)計了兩種不同的促銷方案.
方案一：全場商品打八折.
方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由（直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）.
21．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；
（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.
22．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面之間的距離.
高一（下）期末測試卷（A卷 基礎(chǔ)鞏固）
數(shù)學(xué)
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（2020·山東德州·高一期末）已知i是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解復(fù)數(shù)，即得.
【詳解】
由，
得，
復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于在第一象限，
故選：A.
2．（2020·山東德州·高一期末）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)扇形的圓心角的弧度數(shù)為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由題意知與之比即為各扇形圓心角之比，根據(jù)扇形圓心角弧度數(shù)可求剩余部分圓心角弧度數(shù)，進(jìn)而可求比值.
【詳解】
由扇形的圓心角的弧度數(shù)為，
可知剩余部分圓心角弧度數(shù)為，
故，
故選：A.
3．（2020·山東德州·高一期末）若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由已知求出圓錐的底面半徑，根據(jù)側(cè)面積公式可得答案.
【詳解】
如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,
所以，所以圓錐的側(cè)面積為.
故選：C.
4．（2020·山東德州·高一期末）一個正三棱錐的底面邊長是，高為，則它的斜高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
畫出正三棱錐的圖像，得到底面正三角形的中心到正三角形的的距離，再利用勾股定理求斜高即可.
【詳解】
正三棱錐的底面邊長,
高，
所以底面正三角形的中心到正三角形的的距離為，
故正三棱錐的斜高；
故選：D.
5．（2020·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩名奧數(shù)選手最近6次的培訓(xùn)測試成績(滿分100分)如下莖葉圖所示，記甲?乙兩人的平均成績分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A．，乙比甲成績穩(wěn)定B．，甲比乙成績穩(wěn)定
C．，甲比乙成績穩(wěn)定D．，乙比甲成績穩(wěn)定
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用莖葉圖數(shù)據(jù)分析即可.
【詳解】
由莖葉圖可知，甲的平均數(shù)是，
乙的平均數(shù)是，所以乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)，即；
從莖葉圖可以看出乙的成績比較穩(wěn)定，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
(1) 平均數(shù)：是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)，表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)；
(2) 方差：是各個數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)，數(shù)據(jù)和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度，反映數(shù)據(jù)離散程度．
6．（2020·湖南師大附中高一期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用樹圖列舉基本事件總數(shù)，再找出第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)，代入古典概型的公式求解.
【詳解】
從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：
基本事件總數(shù)為25，
第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，
故所求概率.
故選：A.
7．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，則
D．若，，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】
A. 由或異面判斷；B.由或相交判斷；C.由則或判斷；D. 由面面垂直的性質(zhì)判斷.
【詳解】
A. 若，，則或異面，故錯誤；
B.若，，，，則或相交，故錯誤；
C.若，，則或，故錯誤；
D. 若，，，則，又，所以，故正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查命題的真假判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.
8．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因為射擊3次，故每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；
據(jù)此估計，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（ ）
A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
這是一個古典概型，已知基本事件的總數(shù)為20種，然后從中找出3次射擊至少2次擊的基本事件的種數(shù)，代入公式求解.
【詳解】
基本事件的總數(shù)為20種，
其中3次射擊至少2次擊的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11種，
所以3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.
9．（2020·山東德州·高一期末）已知是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若則
D．若，且與不平行，則
【答案】BD
【解析】
結(jié)合空間線面位置關(guān)系及平行垂直的判定與性質(zhì)定理對選項進(jìn)行分別判斷.
【詳解】
A：若，則與平行或相交或，A選項錯誤；
B：因為，所以或，又，所以，B選項正確；
C：若則與相交或平行或，C選項錯誤；
D：若一個平面內(nèi)兩條相交直線都平行與另一個平面，則這兩個平面平行，D選項正確；
故選：BD.
10．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是單位向量B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A. 根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運(yùn)算得到判斷；C. 根據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷；D. 根據(jù)， ，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷.
【詳解】
A. 因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以 是單位向量，故正確；
B. 因為，，所以，所以，故正確；
C. 因為，所以，故錯誤；
D. 因為， ，所以，所以，故正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平面向量的概念，線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
11．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（ ）
A．M與N互斥B．M與N不對立
C．M與N相互獨(dú)立D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個選項正誤.
【詳解】
對于選項A：事件與是可能同時發(fā)生的，故與不互斥，選項A不正確；
對于選項：事件與不互斥，不是對立事件，選項正確；
對于選項：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨(dú)立.
對于選項：事件發(fā)生概率為 ，事件發(fā)生的概率，，選項正確.
故選：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機(jī)事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.
12．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．與平面所成的角的大小為45°
D．平面將正方體分成兩部分的體積的比為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
如圖，計算可得分別為所在棱的中點(diǎn)，利用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，計算出直線與平面所成的角為后可得C正確，而幾何體為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.
【詳解】
如圖，連接，則，故棱與球面沒有交點(diǎn).
同理，棱與球面沒有交點(diǎn).
因為棱與棱之間的距離為，故棱與球面沒有交點(diǎn).
因為正方體的棱長為2，而，
球面與正方體的棱有四個交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，
所以棱與球面各有一個交點(diǎn)， 如圖各記為.
因為為直角三角形，故，故為棱的中點(diǎn).
同理分別為棱的中點(diǎn).
由正方形、為所在棱的中點(diǎn)可得，
同理，故，故共面.
由正方體可得，故
因為平面，平面，故平面，故A正確.
因為在直角三角中，， ，，
與不垂直，故與不垂直，故平面不成立，故B錯誤.
由正方體可得平面，而平面，
所以，所以
在正方形中，因為分別為的中點(diǎn)，故，
因為，故平面，
所以為直線與平面所成的角，而，
故直線與平面所成的角為，
因為，故與平面所成的角的大小為45°.故C正確.
因為分別為所在棱的中點(diǎn)，故幾何體為三棱柱，
其體積為，而正方體的體積為8，
故平面將正方體分成兩部分的體積的比為，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計算和體積的計算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點(diǎn)，本題屬于中檔題.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．（2020·山東德州·高一期末）若復(fù)數(shù)則________________________．
【答案】
【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡，然后求解復(fù)數(shù)的模．
【詳解】
復(fù)數(shù)滿足．
則．
故答案為：；
14．（2020·山東德州·高一期末）如圖，在矩形中，分別為和上的中點(diǎn)，若，其中則的值為_______．
【答案】
【解析】
由平面向量的線性運(yùn)算，化簡得到，即可求解的值得到答案．
【詳解】
由題意，，
因為,,
所以兩式相加得，,
所以，
得，所以，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，合理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .
【答案】
【解析】
【詳解】
由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.
16．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.
【答案】
【解析】
【分析】
在中，根據(jù)，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理 求解.
【詳解】
在中，因為，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因為，，
所以，
由正弦定理得： ，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（2020·山東德州·高一期末）已知向量在同一平面上，且.
（1）若，且，求向量的坐標(biāo)﹔
（2）若，且與垂直，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）由條件設(shè)，則，求出，即可得出答案.
(2)由條件可得，，則，由此可得答案.
【詳解】
（1），設(shè)
，即 ，則.
，
或.
（2），
，，即
即則
18．（2020·山東德州·高一期末）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).
（1）求證:;
（2）求證:平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）連，利用已知條件可得，，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到面，即可得出結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連，利用已知條件得到四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.
【詳解】
證明：（1）連，
，底面為菱形，
是等邊三角形，
，
，
又，
，
又面面，
，
，
面面，
.
取的中點(diǎn)，連，
，
所以，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
，
又面面，
面.
19．（2017·河北衡水中學(xué)高一期末（理））如圖，由三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，平面平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）不存在這樣的點(diǎn)．
【解析】
【詳解】
試題分析: （Ⅰ）在直三棱柱中，由平面，推得，
由平面平面，推得平面，又平面，得證．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量為,因為, 所以平面．（Ⅲ）設(shè)，，根據(jù)線面角公式列出方程,解得，可得結(jié)論．
試題解析:（Ⅰ）證明：在直三棱柱中，平面，
故，
由平面平面，且平面 平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，
所以，，
又，
所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
依據(jù)已知條件可得，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
由即
令，則，，于是，
因為為中點(diǎn)，所以，所以，
由，可得，
所以與平面所成角為0，
即平面．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量為．
設(shè)，，
則，．
若直線與平面成角為，則
，
解得，
故不存在這樣的點(diǎn)．
20．（2020·湖南師大附中高一期末）長沙梅溪湖步步高購物中心在開業(yè)之后，為了解消費(fèi)者購物金額的分布，在當(dāng)月的電腦消費(fèi)小票中隨機(jī)抽取張進(jìn)行統(tǒng)計，將結(jié)果分成6組，分別是：，，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設(shè)消費(fèi)金額均在元的區(qū)間內(nèi)）.
（1）若在消費(fèi)金額為元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自 元區(qū)間的概率；
（2）為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設(shè)計了兩種不同的促銷方案.
方案一：全場商品打八折.
方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由（直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）.
【答案】（1）（2）方案一的優(yōu)惠力度更大.
【解析】
【詳解】
試題分析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可知在內(nèi)抽6張，因此在內(nèi)抽4張，記為，在內(nèi)抽2張，記為，然后列舉出從中任選2張所有的選法，在從中找到兩張小票均來自的的所有情況，即可求出概率.
（2）首先計算出各組頻率，然后算出方案一購物的平均費(fèi)用和方案二購物的平均費(fèi)用，通過比較得到方案一的優(yōu)惠力度更大.
試題解析：
（1）由直方圖可知，按分層抽樣在內(nèi)抽6張，
則內(nèi)抽4張，記為，在內(nèi)抽2張，記為，
設(shè)兩張小票均來自為事件，
從中任選2張，有以下選法：共15種.
其中，兩張小票均來自的有，共6種，
∴.
（2）解法一：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.
方案一購物的平均費(fèi)用為：
（元）
方案二購物的平均費(fèi)用為：
（元）.
∴方案一的優(yōu)惠力度更大.
（2）解法二：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
方案一平均優(yōu)惠金額為：
（元）.
方案二平均優(yōu)惠金額為：（元）
∴方案一的優(yōu)惠力度更大.
21．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；
（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)小矩形的面積代表概率，所以所有小矩形面積之和等于 ，即可得a的值，
成績在以下的頻率為，成績在分以下的頻率為，第80百分位數(shù)，
.
（2）先利用頻率之比求出，的兩組中應(yīng)抽的人數(shù)，然后列出從這6人中隨機(jī)抽取2人包括的基本事件，至少有1人的成績在內(nèi)包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.
【詳解】
（1）由題意可知，
解得.
∵，，，，
∴成績在分以下的頻率為，
成績在分以下的頻率為，
∴第80百分位數(shù)，.
.
（2）∵，的頻率之比為
∴從中隨機(jī)抽取人.
從中隨機(jī)抽取人.
從中隨機(jī)抽取的4人記為1，2，3，4，從中隨凱抽取的2人記為a，b，
從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣木空間為
，共有15個樣本點(diǎn)，.
設(shè)事件“至少有1人的成績在內(nèi)”，則，共有9個樣本點(diǎn).
∴.
∴至少有1人的成績在內(nèi)的概率.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了用樣本估計總體，以及古典概率的計算，屬于中檔題.
22．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面之間的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面，AE∥平面，且，即可證得平面平面；
（2）先將平面與平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到面的距離，然后把當(dāng)作頂點(diǎn)求出總體積，再把當(dāng)作頂點(diǎn)利用等體積法建立方程，即可求出點(diǎn)到平面的距離
【詳解】
（1）證明：∵正方體中E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，
∴∥，=
∴四邊形是平行四邊形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四邊形是平行四邊形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面與平面之間的距離也就是點(diǎn)B到面的距離，設(shè)為h，
∵正方體的棱長為2，
∴，，
∴的面積
∴三棱錐的體積，.
又三棱錐的體積.
由可得，
解得.
∴平面與平面之間的距離為.
【點(diǎn)睛】
此題考查空間位置關(guān)系、面面距離的計算、面面平行的判定、等體積求距離，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題