(人教A版必修第二冊(cè))高一數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義 專題01 平面向量的概念及線性運(yùn)算（重難點(diǎn)突破）原卷版+解析

這是一份(人教A版必修第二冊(cè))高一數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義 專題01 平面向量的概念及線性運(yùn)算（重難點(diǎn)突破）原卷版+解析，共26頁(yè)。試卷主要包含了考情分析，考點(diǎn)梳理，題型突破，課堂訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

二、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一 向量的有關(guān)概念
考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
三、題型突破
重難點(diǎn)題型突破1 平面向量的概念
例1．（1）、（2021·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量與向量長(zhǎng)度相等
B．單位向量都相等
C．向量的?？梢员容^大小
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
（2）、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量與共線，與共線，則與也共線
B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)
C．向量與不共線，則與都是非零向量
D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
【變式訓(xùn)練1-1】、（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））給出下列命題：
①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．
②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?br>③若 (λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．
④λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則共線．
其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為
A．1B．2
C．3D．4
【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法：
①零向量是沒(méi)有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個(gè)向量共線.
其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
重難點(diǎn)題型突破2 平面向量的線性運(yùn)算
例2．（1）、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，設(shè)是正方形的中心，則下列結(jié)論正確的有________．（填序號(hào)）
①；②；③與共線；④．
（2）．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在△MAB中，C是邊AB上的一點(diǎn)，且AC＝5CB，設(shè)則________.(用，表示)
【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知是的重心，為的中點(diǎn)，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
重難點(diǎn)題型突破3 共線向量或平行向量
例3．（1）、（2021·天津二中高三階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
（2）．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABDE都是邊長(zhǎng)為1的菱形，已知下列說(shuō)法:
①都是單位向量;
②∥∥
③與相等的向量有3個(gè);
④與共線的向量有3個(gè);
⑤與向量大小相等、方向相反的向量為.
其中正確的是____.(填序號(hào))
【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
（1）有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________；
（2）存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________.
例4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在方格紙中，取兩個(gè)格子的格點(diǎn)（A，B，C，D，E，F(xiàn)）為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，寫(xiě)出滿足下列條件的向量：
（1）與相等的向量；
（2）與的相反向量；
（3）與的模相等的向量．
【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，．．求證：，且．
四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）
1．（2020·天津·靜海一中高一階段練習(xí)）給出下面幾種說(shuō)法：
①相等向量的坐標(biāo)相同；
②若向量滿足，則
③若，，，是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件；
④的充要條件是且.
其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則與可能共線D．若，則一定不與共線
3．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有_____個(gè).
5．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是______（填序號(hào)）.
①有向線段就是向量，向量就是有向線段；
②向量與向量平行，則與的方向相同或相反；
③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.
6．（2021·福建·福州第十五中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選題）下列命題中正確的是
A．單位向量的模都相等
B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量
C．若與滿足，且與同向,則
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）[多選題]下列命題是真命題的是（ ）．
A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量
B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量
C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上
D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上
8．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.
9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)；
(3)．
名稱
定義
備注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)
平面向量是自由向量
零向量
長(zhǎng)度為0的向量
記作0，其方向是任意的
單位向量
長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量
非零向量a的單位向量為±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)
0與任一向量平行或共線
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量
兩向量只有相等或不相等，不能比較大小
相反向量
長(zhǎng)度相等且方向相反的向量
0的相反向量為0
向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a；
(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差
三角形法則
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
專題01 平面向量的概念及線性運(yùn)算
一、考情分析
二、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一 向量的有關(guān)概念
考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算
三、題型突破
重難點(diǎn)題型突破1 平面向量的概念
例1．（1）、（2021·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量與向量長(zhǎng)度相等
B．單位向量都相等
C．向量的?？梢员容^大小
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【答案】B
【解析】
【分析】
A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長(zhǎng)度是數(shù)量判斷；D.由相等向量判斷.
【詳解】
A.和長(zhǎng)度相等，方向相反，故正確；
B.單位向量長(zhǎng)度都為1，但方向不確定，故錯(cuò)誤；
C.向量的長(zhǎng)度可以比較大小，即模長(zhǎng)可以比較大小，故正確；
D.向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，無(wú)位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故正確.
故選：B.
（2）、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．向量與共線，與共線，則與也共線
B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)
C．向量與不共線，則與都是非零向量
D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)共線向量（即平行向量）的定義即可求解.
【詳解】
解：對(duì)于A： 可能是零向量，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：兩個(gè)向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)榕c任何向量都是共線向量，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C.
【變式訓(xùn)練1-1】、（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））給出下列命題：
①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．
②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。?br>③若 (λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．
④λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則共線．
其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】
【詳解】
①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．
②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。?br>③錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不論λ為何值，.
④錯(cuò)誤，當(dāng)λ=μ=0時(shí)，，此時(shí)，與可以是任意向量．
故選C．
【變式訓(xùn)練1-2】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法：
①零向量是沒(méi)有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個(gè)向量共線.
其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)零向量的定義、性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】
由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤，②③正確；
故選：C
重難點(diǎn)題型突破2 平面向量的線性運(yùn)算
例2．（1）、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，設(shè)是正方形的中心，則下列結(jié)論正確的有________．（填序號(hào)）
①；②；③與共線；④．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
利用正方形的幾何性質(zhì)結(jié)合相等向量、共線向量的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】
對(duì)于①，與方向相同，長(zhǎng)度相等，則，則①正確；
對(duì)于②，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，則②正確；
對(duì)于③，，則與共線，則③正確；
對(duì)于④，、方向不相同，故，則④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
（2）．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的三角形法則、四邊形法則，逐一分析選項(xiàng)即可.
【詳解】
對(duì)于A：在四邊形ABCD中，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，，故C正確；
對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的線性運(yùn)算，需牢記向量的三角形法則與四邊形法則，屬基礎(chǔ)題.
【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在△MAB中，C是邊AB上的一點(diǎn)，且AC＝5CB，設(shè)則________.(用，表示)
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的加減法運(yùn)算求解即可
【詳解】
故答案為：
【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知是的重心，為的中點(diǎn)，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
作出示意圖，由點(diǎn)是的重心，為的中點(diǎn)，得到是的中點(diǎn)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則和三角形重心的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，為的中點(diǎn)，可得是的中點(diǎn)，
由，所以A正確；
由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，
又由是的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，可得，所以，
即，所以B正確；
根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得，所以C不正確；
由重心的性質(zhì)，可得，
所以D正確.
故選：ABD.
重難點(diǎn)題型突破3 共線向量或平行向量
例3．（1）、（2021·天津二中高三階段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量共線基本定理，可得，即求解即可
【詳解】
由可知存在實(shí)數(shù)，使得，所以從而可得．
故選：A
（2）．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABDE都是邊長(zhǎng)為1的菱形，已知下列說(shuō)法:
①都是單位向量;
②∥∥
③與相等的向量有3個(gè);
④與共線的向量有3個(gè);
⑤與向量大小相等、方向相反的向量為.
其中正確的是____.(填序號(hào))
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的概念幾何平面圖形的性質(zhì)逐個(gè)分析即可求出結(jié)果.
【詳解】
①由兩菱形的邊長(zhǎng)都為1，故①正確;②正確;③與相等的向量是，故③錯(cuò)誤;④與共線的向量是，故④正確;⑤正確.
故答案為：①②④⑤
【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
方向相同，模長(zhǎng)相等的向量為相等向量.
【詳解】
AB選項(xiàng)均與方向不同，C選項(xiàng)與模長(zhǎng)不等，D選項(xiàng)與方向相同，長(zhǎng)度相等.
故選：D
【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
（1）有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________；
（2）存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)計(jì)算向量的模進(jìn)行判斷即可；
（2）通過(guò)判斷直線的位置關(guān)系來(lái)判斷兩向量是否共線.
【詳解】
結(jié)合圖形可知，（1）；
（2）因?yàn)椋?，所以向量共線，
.
故答案：（1） （2）
例4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在方格紙中，取兩個(gè)格子的格點(diǎn)（A，B，C，D，E，F(xiàn)）為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，寫(xiě)出滿足下列條件的向量：
（1）與相等的向量；
（2）與的相反向量；
（3）與的模相等的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）方向相同且模長(zhǎng)相等的向量為相等向量；（2）方向相反且模長(zhǎng)相等的向量為相反向量；（3）利用矩形對(duì)角線相等，求解與的模相等的向量.
【詳解】
（1）方向相同且模長(zhǎng)相等的向量為相等向量，故與相等的向量為；
（2）方向相反且模長(zhǎng)相等的向量為相反向量，故與的相反向量為；
（3）與的模相等的向量為.
【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，．．求證：，且．
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
用向量數(shù)乘和向量之間共線的定義即可.
【詳解】
由題意，，，
∴；證畢.
四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）
1．（2020·天津·靜海一中高一階段練習(xí)）給出下面幾種說(shuō)法：
①相等向量的坐標(biāo)相同；
②若向量滿足，則
③若，，，是不共線的四點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件；
④的充要條件是且.
其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
根據(jù)平面向量定義及共線的條件，充分必要條件的判斷，可判斷四個(gè)選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于①，因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲韵嗟认蛄康淖鴺?biāo)相同，所以①正確；
對(duì)于②，若向量滿足，因?yàn)榉较蛳蛄坎淮_定，所以不一定正確，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，，，是不共線的四點(diǎn)，若“”，由平行四邊形判定定理“一組對(duì)邊平行且相等，則四邊形為平行四邊形”可知“四邊形為平行四邊形”；若“四邊形為平行四邊形”，由平行四邊形性質(zhì)可知“對(duì)邊平行且相等”，所以“”，即“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件，故③正確；
對(duì)于④，若，則且；若且，則或，故④錯(cuò)誤.
綜上可知，正確的為①③
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了平面向量的定義，共線條件及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則與可能共線D．若，則一定不與共線
【答案】C
【解析】
利用共線向量、模的計(jì)算公式，即可得出.
【詳解】
因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较颍灾挥蟹较蛳嗤?大小(長(zhǎng)度)相等的兩個(gè)向量才相等，因此A錯(cuò)誤；
兩個(gè)向量不相等，但它們的?？梢韵嗟龋蔅錯(cuò)誤；
無(wú)論兩個(gè)向量的模是否相等，這兩個(gè)向量都可能共線，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了共線向量、模的計(jì)算公式，考查了理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
對(duì)各選項(xiàng)按向量加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行向量加減運(yùn)算即可判斷作答.
【詳解】
A，，正確；
B，，不正確；
C，，不正確；
D，， 不正確.
故選：A.
4．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與平行且模為的向量共有_____個(gè).
【答案】24
【解析】
【分析】
每個(gè)小正方中有兩個(gè)符合條件，找到正方形個(gè)數(shù)即可.
【詳解】
由題意知，的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為
與平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24個(gè)向量滿足.
故答案為：24.
5．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確的是______（填序號(hào)）.
①有向線段就是向量，向量就是有向線段；
②向量與向量平行，則與的方向相同或相反；
③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.
【答案】③
【解析】
利用向量的概念、共線對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，可分析處正確的選項(xiàng).
【詳解】
解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量.
②不正確，若與中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是任意的，故這兩個(gè)向量的方向不一定相同或相反.
③正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大小，而向量的模均為實(shí)數(shù)，可以比較大小.
故答案為：③
【點(diǎn)睛】
本題考查向量的概念和共線的定義，屬于基礎(chǔ)題.
6．（2021·福建·福州第十五中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選題）下列命題中正確的是
A．單位向量的模都相等
B．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量
C．若與滿足，且與同向,則
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
【答案】AD
【解析】
利用向量的基本概念，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.
【詳解】
單位向量的模均為1，故A正確；
向量共線包括同向和反向，故B不正確；
向量是矢量，不能比較大小，故C不正確；
根據(jù)相等向量的概念知，D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】
本題考查單位向量的定義、考查共線向量的定義、向量是矢量不能比較大小，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）[多選題]下列命題是真命題的是（ ）．A．若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量
B．若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量
C．若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上
D．若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上
【答案】AD
【解析】
【分析】
向量平行與共線是同一個(gè)概念，對(duì)四個(gè)命題依次判斷即可．
【詳解】
A 項(xiàng)為真命題，A，B，C，D在一條直線上，
則向量，的方向相同或相反，因此與是共線向量；
B項(xiàng)為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，
則，的方向不確定，不能判斷與是否共線；
C項(xiàng)為假命題，因?yàn)椋瑑蓚€(gè)向量所在的直線可能沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上；
D項(xiàng)為真命題，因?yàn)椋瑑蓚€(gè)向量所在的直線有公共點(diǎn)A，
且與是共線向量，所以A，B，C三點(diǎn)共線．
故選：AD．
8．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移.
【答案】（1）（2）；約為北偏東53°
【解析】
（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，根據(jù)路程的定義求出巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；
（2）根據(jù)位移的定義，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，求出位移的大小及方向.
【詳解】
解：（1）畫(huà)出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.
（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.
由于，故方向約為北偏東53°.
【點(diǎn)睛】
本題考查了路程和位移的計(jì)算，考查了勾股定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)計(jì)算能力.
9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量加減的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)各線性表達(dá)式即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
名稱
定義
備注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)
平面向量是自由向量
零向量
長(zhǎng)度為0的向量
記作0，其方向是任意的
單位向量
長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量
非零向量a的單位向量為±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)
0與任一向量平行或共線
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量
兩向量只有相等或不相等，不能比較大小
相反向量
長(zhǎng)度相等且方向相反的向量
0的相反向量為0
向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a；
(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差
三角形法則
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb