人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十七章《相似——相似三角形》同步檢測4附答案

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人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十七章《相似——相似三角形》同步檢測4附答案 一．選擇題（共10小題） 1．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（　?。? 　 2．（2013?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（　?。? 　 3．（2013?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（　　） 　 4．（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　?。? 　 5．（2013?綏化）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為（　?。? 　 6．（2013?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。? 　 7．（2013?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 8．（2013?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=（　?。? 　 9．（2013?德陽）如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側(cè)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（　?。? 　 10．（2012?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　?。? 　 二．填空題（共10小題） 11．（2013?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為　_________　．（填出一個正確的即可） 　 12．（2013?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為　_________　cm． 　 13．（2013?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=　_________　． 　 14．（2013?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為　_________　． 　 15．（2012?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=　_________　cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為　_________　cm2． 　 16．（2012?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正確的是　_________?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）． 　 17．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）． （1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有　_________　條； （2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=　_________　時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的． 　 18．（2012?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論： ①； ②點F是GE的中點； ③AF=AB； ④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是　_________　． 　 19．（2012?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=　_________?。ㄓ煤琻的式子表示） 　 20．（2013?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長是　_________　． 　 三．解答題（共8小題） 21．（2013?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E． （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）求證：AE=CP； （3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長． 　 22．（2013?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求證：PA為⊙O的切線； （2）若OB=5，OP=，求AC的長． 　 23．（2013?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值． 　 24．（2013?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F． （1）求證：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長． 　 25．（2013?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上． （1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD． （2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 　 26．（2013?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E． （1）求證：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的長； （3）求證：BE是⊙O的切線． 　 27．（2013?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10 （1）求⊙O的半徑． （2）點E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （3）求弦EC的長． 　 28．（2013?成都）如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求證：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q； （i）當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，求的值； （ii）當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 　 參考答案與解析 　 一．選擇題（共10小題） 1．（2013?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（　?。? 　 2．（2013?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（　?。? 　 3．（2013?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（　?。? 　 4．（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　?。? 　 5．（2013?綏化）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為（　?。? 　 6．（2013?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（　?。? 　 7．（2013?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（　?。? 　 8．（2013?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=（　?。? 　 9．（2013?德陽）如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側(cè)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（　?。? 　 10．（2012?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（　　） 　 二．填空題（共10小題） 11．（2013?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為　4s　．（填出一個正確的即可） 　 12．（2013?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為　5　cm． 　 13．（2013?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=　12　． 　 14．（2013?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為　1.5米?。? 　 15．（2012?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=　　cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為　　cm2． 　 16．（2012?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正確的是?、冖邰堋。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）． 　 17．（2012?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）． （1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有　1　條； （2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=　或或　時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的． 　 18．（2012?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論： ①； ②點F是GE的中點； ③AF=AB； ④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是　①③?。? 　 19．（2012?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=　?。ㄓ煤琻的式子表示） 　 20．（2013?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長是　?。? 　 三．解答題（共8小題） 21．（2013?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E． （1）求證：∠CBP=∠ABP； （2）求證：AE=CP； （3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長． 　 22．（2013?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求證：PA為⊙O的切線； （2）若OB=5，OP=，求AC的長． 　 23．（2013?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值． 　 24．（2013?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F． （1）求證：DP∥AB； （2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長． 　 25．（2013?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上． （1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD． （2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值． 　 26．（2013?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E． （1）求證：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的長； （3）求證：BE是⊙O的切線． 　 27．（2013?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10 （1）求⊙O的半徑． （2）點E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論． （3）求弦EC的長． 　 28．（2013?成都）如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求證：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q； （i）當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，求的值； （ii）當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 　A．11B．10C．9D．8　A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm　A．B．C．D．　A．B．C．D．　A．4B．5C．6D．7　A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2　A．1B．2C．3D．4　A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2　A．5B．C．D．　A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤　A．11B．10C．9D．8考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．4387773分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周長等于16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2， ∴△CEF的周長為8． 故選D． 點評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．　A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773分析：由邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可證得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△DEC， ∴AE：DE=AF：CD， ∵AE=2ED，CD=3cm， ∴AF=2CD=6cm． 故選B．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．　A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的知識，可得出EF的長度．解答：解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC， 同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE， ∴=，=，=，=， ∵AB=AC， ∴CD=CE， 解得：CD=CE=，DE=，EF=． 故選C．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中相似三角形比較容易找到，難點在于根據(jù)對應(yīng)邊成比例求解線段的長度，注意仔細對應(yīng)，不要出錯．　A．B．C．D．考點：相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．4387773專題：壓軸題．分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設(shè)正方形的ABCD的邊長為a， 則BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2， ∴小鳥在花圃上的概率為= 故選C．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積．　A．4B．5C．6D．7考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773分析：根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB，繼而證明△ACD∽△DCE，設(shè)AE=x，則AC=x+4，利用對應(yīng)邊成比例，可求出x的值．解答：解：設(shè)AE=x，則AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD， ∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴=，即=， 解得：x=5． 故選B．點評：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB，證明△ACD∽△DCE．　A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF， ∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3． 故選B．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．　A．1B．2C．3D．4考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．4387773專題：壓軸題．分析：如解答圖所示： 結(jié)論①正確：證明△ACM≌△ABF即可； 結(jié)論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF； 結(jié)論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等； 結(jié)論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．解答：解：（1）結(jié)論①正確．理由如下： ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°， ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN， ∴∠5=∠6， ∴AM=AE=BF． 易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC． 在△ACM與△ABF中， ， ∴△ACM≌△ABF（SAS）， ∴CM=AF； （2）結(jié)論②正確．理由如下： ∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4， ∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°， ∴CE⊥AF； （3）結(jié)論③正確．理由如下： 證法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點共圓， ∴∠7=∠2，∵∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； 證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2， ∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點． 在Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點， ∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG． 在△ADG與△NCG中， ， ∴△ADG≌△NCG（SAS）， ∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4， ∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； （4）結(jié)論④正確．理由如下： 證法一：∵A、D、C、G四點共圓， ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°． ∵△ADG≌△NCG， ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC， ∴GD平分∠AGC． 綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共4個． 故選D． 點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點，有一定的難度．解答中四點共圓的證法，僅供同學(xué)們參考．　A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．4387773分析：首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應(yīng)變成比例，E為OD的中點，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC， 則△DFE∽△BAE， ∴=， ∵O為對角線的交點， ∴DO=BO， 又∵E為OD的中點， ∴DE=DB， 則DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故選D． 點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求值．　A．5B．C．D．考點：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：計算題；壓軸題．分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=?PC=PC，PC為直徑時，PC最長，此時CQ最長，然后把PC=5代入計算即可．解答：解：∵AB為⊙O的直徑， ∴AB=5，∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=， ∴=， ∵CP⊥CQ， ∴∠PCQ=90°， 而∠A=∠P， ∴△ACB∽△PCQ， ∴=， ∴CQ=?PC=PC， 當(dāng)PC最大時，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時，CQ最大，此時CQ=×5=． 故選D．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．　A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考點：切線的性質(zhì)；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：計算題；壓軸題．分析：連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為AB?CD，選項④錯誤，而OD不一定等于OC，選項③錯誤，即可得到正確的選項．解答：解：連接OE，如圖所示： ∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切， ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°， ∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC， ∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確； 在Rt△ADO和Rt△EDO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）， ∴∠AOD=∠EOD， 同理Rt△CEO≌Rt△CBO， ∴∠EOC=∠BOC， 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°， ∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確； ∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC， ∴△EDO∽△ODC， ∴=，即OD2=DC?DE，選項①正確； 而S梯形ABCD=AB?（AD+BC）=AB?CD，選項④錯誤； 由OD不一定等于OC，選項③錯誤， 則正確的選項有①②⑤． 故選A點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及梯形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．考點：圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題；開放型．分析：根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中點，所以當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形，此時E為AB的中點，易得t=4s；當(dāng)從A點出發(fā)運動到B點名，再運動到O點時，此時t=12s；也可以過F點作AB的垂線，點E點運動到垂足時，△BEF是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠C=90°， 而∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵F是弦BC的中點， ∴當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形， 此時E為AB的中點，即AE=AO=4cm， ∴t==4（s）． 故答案為4s．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓周角定理的推論以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE； 又∵AD∥BC， ∴∠BEA=∠DAE=∠BAE， ∴AB=BE=6cm， ∴EC=9﹣6=3（cm）， ∵BG⊥AE，垂足為G， ∴AE=2AG． 在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm， ∴AG==2（cm）， ∴AE=2AG=4cm； ∵EC∥AD， ∴====， ∴=，=， 解得：EF=2（cm），F(xiàn)C=3（cm）， ∴EF+CF的長為5cm． 故答案為：5． 點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．4387773專題：壓軸題．分析：延長BQ交射線EF于M，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據(jù)等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據(jù)CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．解答：解：如圖，延長BQ交射線EF于M， ∵E、F分別是AB、AC的中點， ∴EF∥BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分線， ∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM， ∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=CE， ∴EQ=2CQ， 由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ， ∴==2， ∴EM=2BC=2×6=12， 即EP+BP=12． 故答案為：12． 點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．考點：相似三角形的應(yīng)用．4387773分析：根據(jù)球網(wǎng)和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據(jù)其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即=， 則=， ∴h=1.5m． 故答案為：1.5米． 點評：本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，當(dāng)AM⊥MN時，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°， ∴∠AMB=∠MNC， 又∵∠B=∠C ∴△ABM∽△MCN，則，即， 解得CN==x（1﹣x）， ∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+， ∵﹣＜0， ∴當(dāng)x=﹣=cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2． 故答案是：，．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式．考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：計算題；壓軸題．分析：連接BD，由GD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP為直角，再由一對公共角，得到三角形APF與三角形ABD相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出∠APF等于∠ABD，根據(jù)等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，選項②正確；由直徑AB垂直于弦CE，利用垂徑定理得到A為的中點，得到兩條弧相等，再由C為的中點，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，選項③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形ACQ與三角形ABC相似，根據(jù)相似得比例得到AC2=CQ?CB，連接CD，同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得出AC2=AP?AD，等量代換可得出AP?AD=CQ?CB，選項④正確．解答：解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項①錯誤； 連接BD，如圖所示： ∵GD為圓O的切線， ∴∠GDP=∠ABD， 又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°， ∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD， ∴△APF∽△ABD， ∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD， ∴∠GDP=∠GPD， ∴GP=GD，選項②正確； ∵直徑AB⊥CE， ∴A為的中點，即=， 又C為的中點，∴=， ∴=， ∴∠CAP=∠ACP， ∴AP=CP， 又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°， ∴∠PCQ=∠PQC， ∴PC=PQ， ∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點， ∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確； 連接CD，如圖所示： ∵=， ∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA， ∴△ACQ∽△BCA， ∴=，即AC2=CQ?CB， ∵=， ∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC， ∴△ACP∽△ADC， ∴=，即AC2=AP?AD， ∴AP?AD=CQ?CB，選項④正確， 則正確的選項序號有②③④． 故答案為：②③④點評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：（1）過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l3是第3條相似線； （2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線．總共有4條，注意不要遺漏．解答：解：（1）存在另外 1 條相似線． 如圖1所示，過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC； 故答案為：1； （2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2． 如圖2所示，共有4條相似線： ①第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1∥AC，∴=； ②第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2∥BC，∴=； ③第3條l3，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且=，∴==； ④第4條l4，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且=，∴==，∴=． 故答案為：或或． 點評：本題引入“相似線”的新定義，考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運算；難點在于找出所有的相似線，不要遺漏．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．4387773專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC，AG⊥AB， ∴AG∥BC， ∴△AFG∽△CFB， ∴， ∵BA=BC， ∴， 故①正確； ∵∠ABC=90°，BG⊥CD， ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°， ∴∠DBE=∠BCD， ∵AB=CB，點D是AB的中點， ∴BD=AB=CB， ∵tan∠BCD==， ∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==， ∵=， ∴FG=FB， ∵GE≠BF， ∴點F不是GE的中點． 故②錯誤； ∵△AFG∽△CFB， ∴AF：CF=AG：BC=1：2， ∴AF=AC， ∵AC=AB， ∴AF=AB， 故③正確； ∵BD=AB，AF=AC， ∴S△ABC=6S△BDF， 故④錯誤． 故答案為：①③． 點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點， ∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=， S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=， S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=， S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=， S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=， ∵BnCn∥B1C1， ∴△BnCnMn∽△B1C1Mn， ∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2， 即Sn：=， ∴Sn=． 故答案為：．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式．此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．4387773 專題：規(guī)律型．分析：求出第一個、第二個、第三個內(nèi)接正方形的邊長，總結(jié)規(guī)律可得出第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長．解答：解：∵∠A=∠B=45°， ∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B， ∴第一個內(nèi)接正方形的邊長=AB=1； 同理可得： 第二個內(nèi)接正方形的邊長=A1B1=AB=； 第三個內(nèi)接正方形的邊長=A2B2=AB=； 故可推出第n個小正方形AnBnDnEn 的邊長=AB=． 故答案為：．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出前幾個內(nèi)接正方形的邊長，得出一般規(guī)律．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可； （2）過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證； （3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等）， ∴∠CBP=∠ABP； （2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD和△P′AE中，， ∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵=， ∴設(shè)CP=3k，PE=2k， 則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在Rt△AEP′中，P′E==4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等）， ∴∠CBP=∠EP′P， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴=， 即=， 解得P′A=AB， 在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2， 即AB2+AB2=（5）2， 解得AB=10． 點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P′A=AB是解題的關(guān)鍵．考點：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773分析：（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP； （2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應(yīng)邊成比例來求線段AC的長度．解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°． 又∵OP∥BC， ∴∠AOP=∠B， ∴∠BAC+∠AOP=90°． ∵∠P=∠BAC． ∴∠P+∠AOP=90°， ∴由三角形內(nèi)角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP． 又∵OA是的⊙O的半徑， ∴PA為⊙O的切線； （2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=， ∴在直角△APO中，根據(jù)勾股定理知PA==， 由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P， ∴△ABC∽△POA， ∴=． ∴=， 解得AC=8．即AC的長度為8． 點評：本題考查的知識點有切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進而得到兩個三角形相似，是解答（2）題的關(guān)鍵．考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線． （2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線． （2）∵△ADC∽△BAC（已證）， ∴=，即AC2=BC×CD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2．點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達式．考點：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：證明題；壓軸題．分析：（1）連結(jié)OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB； （2）先根據(jù)勾股定理計算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=4，則CD=7，易證得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計算出PD．解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACB的平分線交⊙O于點D， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠ABD=45°， ∴△DAB為等腰直角三角形， ∴DO⊥AB， ∵PD為⊙O的切線， ∴OD⊥PD， ∴DP∥AB； （2）解：在Rt△ACB中，AB==10， ∵△DAB為等腰直角三角形， ∴AD===5， ∵AE⊥CD， ∴△ACE為等腰直角三角形， ∴AE=CE===3， 在Rt△AED中，DE===4， ∴CD=CE+DE=3+4=7， ∵AB∥PD， ∴∠PDA=∠DAB=45°， ∴∠APD=∠PCD， 而∠DPA=∠CPD， ∴△PDA∽△PCD， ∴===， ∴PA=PD，PC=PD， 而PC=PA+AC， ∴PD+6=PD， ∴PD=． 點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD； （2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．解答：（1）證明：如圖1， 在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵點E為AB的中點，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD與△BEF中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即EF=CD； （2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四邊形EQDH是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1：，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B==， ∴EQ=BE． 在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH==， ∴EH=AE． ∵點E為AB的中點，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：． 點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．考點：切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論； （2）判斷△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度． （3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD， ∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD． （2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA， ∴=，即=， 解得：DE=． （3）證明：連結(jié)OB，OD， 在△ABO和△DBO中，∵， ∴△ABO≌△DBO， ∴∠DBO=∠ABO， ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC， ∴∠DBO=∠BDC， ∴OB∥ED， ∵BE⊥ED， ∴EB⊥BO， ∴OB⊥BE， ∴BE是⊙O的切線．點評：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識，綜合考查的知識點較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773分析：（1）連接OA，交EC于F，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠OAB=90°，根據(jù)勾股定理求出即可； （2）根據(jù)AE=AC推出弧AE=弧AC，根據(jù)垂徑定理求出OA⊥EC，根據(jù)平行線判定推出即可； （3）證△OFC∽△OAB，求出FC，根據(jù)垂徑定理得出EC=2FC，代入求出即可．解答：（1）解：連接AO，交EC于F， ∵AB切⊙O于A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6， 答：⊙O的半徑是6． （2）直線EC與AB的位置關(guān)系是EC∥AB． 證明：∵AE=AC， ∴弧AE=弧AC， ∵OA過O， ∴OA⊥EC， ∵OA⊥AB， ∴EC∥AB． （3）解：∵EC∥AB， ∴△OFC∽△OAB， ∴=， ∴=， ∴FC=， ∵OA⊥EC，OA過O， ∴EC=2FC=． 點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證； （2）（i）過點Q作QF⊥BC于F，根據(jù)△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得解； （ii）判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長度，即所求之路徑長．解答：（1）證明：∵BD⊥BE， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠C=90°， ∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°， ∴∠1=∠E， ∵在△ABD和△CEB中， ， ∴△ABD≌△CEB（AAS）， ∴AB=CE， ∴AC=AB+BC=AD+CE； （2）（i）如圖，過點Q作QF⊥BC于F， 則△BFQ∽△BCE， ∴=， 即=， ∴QF=BF， ∵DP⊥PQ， ∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°， ∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°， ∴∠ADP=∠FPQ， 又∵∠A=∠PFQ=90°， ∴△ADP∽△FPQ， ∴=， 即=， ∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF， 整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0， ∵點P與A，B兩點不重合， ∴AP≠5， ∴AP=BF， 由△ADP∽△FPQ得，=， ∴=； （ii）線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN． 由（2）（i）可知，QF=AP． 當(dāng)點P運動至AC中點時，AP=4，∴QF=． ∴BF=QF×=4． 在Rt△BFQ中，根據(jù)勾股定理得：BQ===． ∴MN=BQ=． ∴線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長為．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出三角形全等的條件∠1=∠E是解題的關(guān)鍵，（2）（i）根據(jù)兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關(guān)鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．