【寒假作業(yè)】（滬教版2020）高中數(shù)學(xué) 高一寒假鞏固提升訓(xùn)練 專題11+三角全章復(fù)習(xí)（12個(gè)考點(diǎn)）強(qiáng)化訓(xùn)練-練習(xí).zip

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考點(diǎn)一．象限角、軸線角
在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角
（1）象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為這個(gè)角是第幾象限角．
（2）若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．
（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．
【解題方法點(diǎn)撥】
（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．
（2）角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．
（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．
考點(diǎn)二．任意角的三角函數(shù)的定義
任意角的三角函數(shù)
1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sin α＝ y ，cs α＝ x ，tan α＝．
2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在 x 軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．
【解題方法點(diǎn)撥】
利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法
利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：
（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．
考點(diǎn)三．三角函數(shù)值的符號(hào)
三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣
記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
考點(diǎn)四．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值
利用誘導(dǎo)公式化簡求值的思路
1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．
2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．
3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．
4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．
考點(diǎn)五．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．
2．誘導(dǎo)公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
誘導(dǎo)公式記憶口訣：
對(duì)于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．
考點(diǎn)六．三角函數(shù)恒等式的證明
三角函數(shù)恒等式：
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．
2．誘導(dǎo)公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cs（2π﹣α）＝csα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）═﹣sinα
3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
考點(diǎn)七．兩角和與差的三角函數(shù)
（1）cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）tan（α+β）＝．
（6）tan（α﹣β）＝．
考點(diǎn)八．二倍角的三角函數(shù)
二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?csα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡即可．
考點(diǎn)九．半角的三角函數(shù)
半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系（正余弦的半角關(guān)系其實(shí)就是二倍角關(guān)系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
考點(diǎn)十．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值
三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性．
公式
①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函數(shù)有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函數(shù)有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
考點(diǎn)十一．正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況
由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
考法十二．解三角形
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/1/16 9:27:03；用戶：15921142042；郵箱：15921142042；學(xué)號(hào)：32447539
一．任意角的三角函數(shù)的定義（共9小題）
1．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知角的終邊過點(diǎn)，，則角的余弦值為 ．
【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：因?yàn)?，為單位圓上的點(diǎn)，
由三角函數(shù)定義得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023春?長寧區(qū)期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值是 ．
【分析】直接利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，
，，，
角的正弦值．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023春?寶山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則 ．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得，由此可得．
【解答】解：由已知有，
即，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)定義，兩角和差公式，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【分析】利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式求出的值．
【解答】解：由誘導(dǎo)公式得，
另一方面，由三角函數(shù)的定義得，解得，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的定義，解題時(shí)要充分利用誘導(dǎo)公式求特殊角的三角函數(shù)值，并利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023春?虹口區(qū)校級(jí)期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，且，則 ．
【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，且，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)，，且，定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)，其中正確的是 ①④ ．（填上所有正確的序號(hào)）
①該函數(shù)的值域?yàn)椋?br>②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為．
【分析】利用三角函數(shù)的定義得到，，，再逐項(xiàng)判斷．
【解答】解：對(duì)于①：由三角函數(shù)的定義可知，，
，故①正確；
對(duì)于②：由于，
，
函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是錯(cuò)誤的，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，
圖象關(guān)于對(duì)稱是錯(cuò)誤的，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：由于，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故④正確，
綜上，故正確的是①④．
故答案為：①④．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)為圓心的圓交于點(diǎn)，則 ．
【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角函數(shù)定義求值作答．
【解答】解：依題意，，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）角的頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則 ．
【分析】利用三角函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：角的頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，，
可得，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
9．（2023秋?奉賢區(qū)期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角始邊與軸的正半軸重合，終邊與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算和，再求出；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求出，求出時(shí)的值，再直線方程求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）時(shí)，，
所以，
，，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
即，
解得，
因?yàn)椋?，或，或，或?br>當(dāng)時(shí)，由，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
當(dāng)或時(shí)，的終邊與直線沒有交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上，，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義與運(yùn)算問題，是中檔題．
二．三角函數(shù)值的符號(hào)（共3小題）
10．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點(diǎn)在第四象限，則角的終邊在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】由題意得，結(jié)合三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：由題意得，
所以為第三象限．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形函數(shù)值符號(hào)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是
A．B．C．D．
【分析】對(duì)于，結(jié)合特殊值法，即可求解；
對(duì)于，先求出在第二象限或第四象限，再結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．
【解答】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，滿足是第三象限角，
但，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，，
則，，
故在第二象限或第四象限，
所以符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，，則角的終邊在第 三 象限．
【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義即可判斷．
【解答】解：由可知，為第三或第四象限角，
由可知，為第三或第二象限角，
故為第三象限角．
故答案為：三．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)定義在三角函數(shù)值符號(hào)判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
三．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值（共6小題）
13．（2023秋?虹口區(qū)期末）若是任意實(shí)數(shù)，則
A．B．C．D．
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式得答案．
【解答】解：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．
14．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）與一定相等的是
A．B．C．D．
【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式即可求解．
【解答】解：，
對(duì)于，，不一定相等；
對(duì)于，，一定相等；
對(duì)于，，不一定相等；
對(duì)于，，不一定相等．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
15．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，則的值為 ．
【分析】化簡得到，，計(jì)算得到答案．
【解答】解：，
即，，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換在化簡求值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2023春?黃浦區(qū)期末）若，則 ．
【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知．
（1）求；
（2）若角為第二象限角，且，求的值．
【分析】（1）由題意利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【解答】解：（1），
所以；
（2）若角為第二象限角，且，
則，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，求下列各式的值：
（1）若不是第二象限角，求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由題意，根據(jù)商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系計(jì)算即可．
（2）先利用誘導(dǎo)公式化簡，再化弦為切，即可得解．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以?br>若不是第二象限角，則是第四象限角，
又，
則，所以．
（2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．
四．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共8小題）
19．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）是成立的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【分析】通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，求解三角函數(shù)值，然后判斷充要條件即可．
【解答】解：可得，可得，
所以是成立的既非充分也非必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，充要條件的判定，是基礎(chǔ)題．
20．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）已知，且，其中，則關(guān)于的值，在以下四個(gè)答案中，可能正確的是
A．B．C．D．2
【分析】由已知及輔助角公式可得，進(jìn)而確定，再由范圍即可得答案．
【解答】解：由，則，
又，則，
綜上，，故，則，各項(xiàng)中只有符合．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
21．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，則 ．
【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
22．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在等腰三角形中，已知頂角的余弦值是，則底角的余弦值是 ．
【分析】設(shè)頂角為，底角為，先通過倍角公式求出，再利用求解即可．
【解答】解：設(shè)頂角為，底角為，則，，
又，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
23．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，則 ．
【分析】由題意，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，先求出、的值，可得要求式子的值．
【解答】解：，，，
，為鈍角，，．
再根據(jù)，求得，，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．
24．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知，則的值等于 4 ．
【分析】原式分子分母除以，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，將的值代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：，
原式．
故答案為：4
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
25．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用齊次式法求值作答．
（2）利用二倍角公式變形，再利用齊次式法求值作答．
【解答】解：（1）由，得，
所以．
（2）由（1）知，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
26．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知，計(jì)算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）將已知等式的左邊分子分母同除以，將弦化切即可得解；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將所求式子弦化切求解即可．
【解答】解：（1）已知，
則，解得；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
五．三角函數(shù)恒等式的證明（共2小題）
27．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）證明：．
【分析】根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系即可得出證明．
【解答】證明：由二倍角公式，以及可得，，得證．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
28．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）（1）化簡：．
（2）證明恒等式：．
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；
（2）從右邊開始變形，利用倍角公式及兩角和的正切公式變形證明即可．
【解答】（1）解：
；
（2）證明：右邊
左邊．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡與證明，是基礎(chǔ)題．
六．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）
29．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）的值為 ．
【分析】利用余弦的和角公式化簡即可求解．
【解答】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
30．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）已知，，且，則 或 ．
【分析】兩式平方相加從而得到角的三角函數(shù)值，然后由角的范圍確定的值．
【解答】解：已知兩式平方相加得，
，則，
因?yàn)?，所以?br>故或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
31．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，則 ．
【分析】對(duì)于任意，都有成立，則是的最大值，由兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，由正弦函數(shù)的最大值求得，再計(jì)算其正弦值．
【解答】解：，
對(duì)于任意，都有成立，則是的最大值，
所以，，，，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
32．（2023春?寶山區(qū)期末）已知，點(diǎn)是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)由0連續(xù)變到時(shí)，線段掃過的面積是 ．
【分析】首先找出點(diǎn)的軌跡，然后利用圖形找到線段掃過的圖形，解答時(shí)注意切線位置是關(guān)鍵．
【解答】解：由 可知，
點(diǎn)在圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓上．
如圖，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，
又，，．
時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，，同理可得，
故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，線段掃過的面積，
又，
由可得，
故線段掃過的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題在幾何背景下考查了三角函數(shù)的定義，求值，扇形面積等知識(shí)，屬簡單題．
33．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，是三個(gè)銳角，則，，中，大于的數(shù)至多有 個(gè)
A．0B．1C．2D．3
【分析】假設(shè)，，均大于，三式相乘得一不等關(guān)系，再由二倍角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)得一不等關(guān)系，兩結(jié)論矛盾，從而可得出三個(gè)不可能都大于，然后取特例可有兩個(gè)大于，得出最終結(jié)論．
【解答】解：假設(shè)，，均大于，即，
于是，
而另一方面：矛盾，
故，，不可能均大于，
而取知且．
大于的數(shù)至多有2個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反證法，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
七．二倍角的三角函數(shù)（共4小題）
34．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，則 ．
【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)化簡所求表達(dá)式，弦切互化，得到正切函數(shù)的形式，求解即可．
【解答】解：，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，考查計(jì)算能力．
35．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，則 ．
【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以兩邊平方，可得，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
36．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）已知，且有，則 ．
【分析】由二倍角公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可．
【解答】解：由，得，
即；
又，所以，
所以；
由，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．
37．（2023春?閔行區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則 ．
【分析】由已知先求出，然后結(jié)合二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱且，
所以，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
八．半角的三角函數(shù)（共1小題）
38．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)月考）已知且，則 ．
【分析】由二倍角的余弦公式即可得出答案．
【解答】解：因?yàn)榍遥?br>所以，
所以，
則，解得，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
九．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值（共5小題）
39．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若，則 ．
【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系分別求得和的值，利用二倍角公式求得的值，繼而代入原式．
【解答】解：
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．過程中的結(jié)論可作為常用公式用來解決選擇填空題．
40．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）若，則的值為
A．B．C．D．
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡后代值計(jì)算即可．
【解答】解：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．
41．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)時(shí)，化簡的結(jié)果是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，將1化成正弦、余弦的平方和，構(gòu)成完全平方公式，再根據(jù)角的范圍，即可化簡．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，
故
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換，屬基礎(chǔ)題．
42．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)月考）若，則的值為
A．0B．1C．2D．
【分析】利用三角函數(shù)的定義判斷，的符號(hào)，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，化簡即可得出答案．
【解答】解：因?yàn)椋瑒t，，
所以
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
43．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，求：
（1）化簡；
（2）求的值．
【分析】（1）利用平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)商數(shù)關(guān)系結(jié)合齊次式即可求出結(jié)果．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，即，．
（2），
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式及同角基本關(guān)系在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
一十．正弦定理（共5小題）
44．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）在三角形中，，，，則
A．B．C．或D．或
【分析】直接利用正弦定理求解．
【解答】解：由正弦定理得，，
，
，，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
45．（2023春?虹口區(qū)校級(jí)期中）在中，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理化簡已知的不等式，再利用余弦定理表示出，將得出的不等式變形后代入表示出的中，得出的范圍，由為三角形的內(nèi)角，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出的取值范圍．
【解答】解：由正弦定理可知，，，
，
，
，
，
．
，
的取值范圍是，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．作為解三角形中常用的兩個(gè)定理，考生應(yīng)能熟練記憶，屬中檔題．
46．（2023春?青羊區(qū)校級(jí)月考）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的外接圓的面積為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二倍角公式將化簡得到，利用余弦定理和正弦定理將化簡可得，進(jìn)而求出結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
又，
所以，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>由余弦定理得，即，
又，
所以，
所以，
由正弦定理得，
所以，
設(shè)的外接圓的半徑為，
所以，解得，
所以的外接圓的面積為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
47．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，且，則的取值范圍是 ．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開式和的范圍可得答案．
【解答】解：由正弦定理和正弦二倍角公式可得，
因?yàn)?，所以?br>可得，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．
48．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）（1）已知在中，，求；
（2）在中，，求、．
【分析】（1）首先計(jì)算出，再利用正弦定理即可得到答案；
（2）利用三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可．
【解答】解：（1），
而，
由正弦定理得，即，代入數(shù)據(jù)解得．
（2），則①，
由余弦定理得②，
聯(lián)立①②解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角形內(nèi)角和，正弦定理，余弦定理和三角形面積公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
一十一．余弦定理（共3小題）
49．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】根據(jù)，利用余弦定理得到，再利用三角恒等變換，結(jié)合正弦定理求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
所以，
所以，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
50．（2023春?長寧區(qū)校級(jí)期中）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉．通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線．如圖，為某區(qū)的一條健康步道，、為線段，是以為直徑的半圓，，，．
（1）求的長度；
（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃新建健康步道，在兩側(cè)），其中，為線段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少長度？（精確到
【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理先求，然后結(jié)合弧長公式可求；
（2）結(jié)合余弦定理及基本不等式即可直接求解．
【解答】解：（1）連接，中，由余弦定理得，
，即；
（2）設(shè)，，
中，由余弦定理得，
所以，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
新建健康步道的最長路程，，
故新建健康步道的路程最多可比原來有健康步道的路程增加．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，弧長公式及基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．
51．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，．
（1）求索道的長；
（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可確定出的長；
（2）設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，由余弦定理可得；
（3）設(shè)乙步行的速度為，從而求出的取值范圍．
【解答】解：（1）在中，因?yàn)?，，所以，?br>從而
由正弦定理，得．
答：索道的長為．
（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得
，
因，即，答：當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．
（3）由正弦定理，得，
乙從出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了，還需走才能到達(dá)．
設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，
答：為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于解直角三角形題型．
一十二．解三角形（共4小題）
52．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)，，三點(diǎn)共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解．
【解答】解：，
由題意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形問題，正弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
53．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，則下列命題正確的序號(hào)是 ①③ ．
①若，則；
②若，則是銳角三角形；
③若，則是直角三角形；
④若，則為等腰三角形；
⑤若銳角中，則恒成立．
【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用判斷各個(gè)命題是否正確即可．
【解答】解：對(duì)于①，若，則，
所以，
又因?yàn)樵谶f減，所以，命題①正確；
對(duì)于②，中，因?yàn)?，所以為銳角，
但不能判斷、是否均為銳角，所以不一定是銳角三角形，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若，即，
由余弦定理可得，即，
所以是直角三角形，命題③正確；
對(duì)于④，由正弦定理及，得，
所以或，是等腰三角形或直角三角形，命題④錯(cuò)誤．
對(duì)于⑤，角，，分別取，，，代入計(jì)算可得，，命題⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題．
54．（2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）如圖，某避暑山莊為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路和之間修建一處弓形花園，已知，弓形花園的弦長，記弓形花園的頂點(diǎn)為，，設(shè)．
（1）將、用含有的關(guān)系式表示出來；
（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)、的長度，使得噴泉與山莊的距離最大？
【分析】（1）在中，利用正弦定理，即可得解；
（2）在中，結(jié)合余弦定理與三角恒等變換公式，可推出，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解．
【解答】解：（1）在中，，，
所以，
由正弦定理知，，
所以，．
（2）在中，，，
所以，
在中，，
由余弦定理知，
，
因?yàn)?，所以，?br>所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，即取得最大值，
此時(shí)，
，
故當(dāng)時(shí)，可使得噴泉與山莊的距離最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握正弦定理、余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
55．（2023秋?靜安區(qū)期末）如圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿，公園內(nèi)的小山下是一個(gè)水平廣場（虛線部分）．某高三班級(jí)數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進(jìn)入該公園，提出與測量有關(guān)的問題，在廣場上實(shí)施測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．老師提供給同學(xué)們的條件是：已知米，規(guī)定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如圖，該測距儀能準(zhǔn)確測量它到它發(fā)出的激光投射在物體表面上的光點(diǎn)之間的距離）．
（1）甲同學(xué)來到通往山腳下的筆直小路上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點(diǎn)處，獨(dú)立的實(shí)施了測量，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了問題．請(qǐng)寫出甲同學(xué)的解決問題方案，并用假設(shè)的測量數(shù)據(jù)（字母表示）表示出小山的高度；
（2）乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過后進(jìn)入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部處松動(dòng)產(chǎn)生了傾斜．她提出的問題是：如何檢驗(yàn)旗桿是否還垂直于地面？并且設(shè)計(jì)了一個(gè)不用計(jì)算就能解決問題的獨(dú)立測量方案．請(qǐng)你寫出她的方案，并說明理由；
（3）已知（1）中的小路是東西方向，且與點(diǎn)位于垂直于地平面的同一平面上．又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)斷定旗桿大致向廣場方向傾斜．如果你是該班級(jí)的同學(xué)，你會(huì)提出怎樣的有實(shí)際意義的問題？請(qǐng)寫出實(shí)施測量與解決問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設(shè)的測量數(shù)據(jù)或運(yùn)算結(jié)果列式說明，不必計(jì)算）．
【分析】由題意畫出圖形，用測距儀測出相應(yīng)的量，結(jié)合空間幾何體線面的位置關(guān)系進(jìn)行求解．
【解答】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)在水平面的投影點(diǎn)為，
用測距儀測得，，
在中，，
在中，，
所以小山的高度．
（2）如圖2，用測距儀測得，，
在廣場上從點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，使得，
再移至點(diǎn)，使得，此時(shí)再測量、，
若，則可知旗桿垂直于地面，否則就是傾斜了．
理由如下：已知，，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，
則在等腰中，，同理，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，故?br>同理可證，可得平面，即旗桿垂直于地面．
（3）提問1：旗桿向哪個(gè)方向傾斜多少角度？
說明：用在地平面上的投影來刻畫的傾斜方向是合理的，
也可以采用在廣場上確定一個(gè)位于在地平面上投影上的點(diǎn)來刻畫，
關(guān)于如何刻畫傾斜多少角度的問題，既可以用與垂直于地面的直線所成角的大小，
也可以用與地平面所成角的大小來刻畫．
解答方案：
如圖3，在地面畫出離點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡圓，
再在圓上找到離點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，作垂直于地面，垂足為，則的大小就是旗桿傾斜角度．
理由如下：先證明與圓的交點(diǎn)既是點(diǎn)，
只需證明：對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，，因?yàn)樵?中，，所以，
故，
如圖4，從圖3中的點(diǎn)向點(diǎn)的方向走到點(diǎn)，放置一個(gè)物體，測得、、的長，
利用余弦定理可得的大小，同理可得的大小，
因此，可以求得圖3中的、、、的長，
在中，三邊已知，利用余弦定理可求得，即旗桿向西偏南的方向傾斜，
又由于、可求得，故傾斜角度為．
提問2：測量與小路的夾角？
解答方案：如圖5，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，設(shè)，，，
取點(diǎn)，0，，，10，，
用測距儀測得，，，
得方程組
解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，，，
則，，，
小路的的方向向量為，1，，
則與小路的夾角大小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查空間幾何體的線面關(guān)系，屬于難題．
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝