高中人教A版 (2019)5.2 導(dǎo)數(shù)的運算精品課后復(fù)習(xí)題

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知識點01：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
知識點02：導(dǎo)數(shù)的四則運算法則
1、兩個函數(shù)和的和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則：
.
2、對于兩個函數(shù)和的乘積（或商）的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：
；
.
3、由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出，
也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即
【即學(xué)即練1】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
（2）
知識點03：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．
【即學(xué)即練2】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則= .
【答案】3
【詳解】由題意知，，
所以.
故答案為：3.
知識點04：切線問題
1、在型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
【即學(xué)即練3】（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線方程為 ．
【答案】
【詳解】，
則當(dāng)時，，
所以曲線在處的切線方程為，即.
故答案為：.
2、過型求切線方程
已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設(shè)切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.
【即學(xué)即練4】（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像過點的切線方程為 .
【答案】或
【詳解】設(shè)切點為，由可得，，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率，
因為，所以切線方程為，
將點代入，得，
即，得，
解得或，
當(dāng)時，切點坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為；
當(dāng)時，切點坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為，即，
所以切線方程為或.
故答案為：或
題型01 導(dǎo)數(shù)公式與運算法則的簡單應(yīng)用
【典例1】（2023上·河北邯鄲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運算中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D
【典例2】（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）整理可得，
.
（2）.
【變式1】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確.
故選:D.
題型02 利用導(dǎo)數(shù)公式與運算法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)； (6)．
【答案】(1)， (2)，
(3)， (4)，
(5)， (6)，
【詳解】（1）令，因為，
所以.
（2）令，因為，
.
（3）令，因為，
.
（4）令，因為，
.
（5）令，因為，
.
（6）令，因為，

.
【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）可由及復(fù)合而成，
所以．
（2）可由及復(fù)合而成，
所以．
【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)中間變量為，
(2)中間變量為，
(3)中間變量為，
(4)中間變量為，
【詳解】（1）對于，中間變量為，則，
所以.
（2）對于，中間變量為，則，
所以.
（3）對于，中間變量為，則，
所以.
（4）對于，中間變量為，則，
.
題型03解析式中含的導(dǎo)數(shù)問題
【典例1】（2022下·吉林長春·高二統(tǒng)考期中）若，則等于（ ）
A．2B．0C．-2D．-4
【答案】D
【詳解】因為，所以
所以，得
所以，所以
故選：D
【典例2】（2022下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則 ．
【答案】24
【詳解】因為，所以，所以，即，
，，
故．
故答案為：
【變式1】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．6D．14
【答案】C
【詳解】，則，
則，
故選：C
【變式2】（2022下·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為 ．
【答案】
【詳解】∵，∴，
∴∴．
故答案為：.
題型04求切線斜率
【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤糁本€過原點，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線的斜率為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為，所以，設(shè)切點為，所以 ，
所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，
所以切線方程的斜率為.
故選：B
【典例2】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）函數(shù)（b＞0，a∈R）在點處的切線斜率的最小值是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【詳解】，
所以在點處的切線斜率是，
因為b＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
故選：C．
【變式1】（2022上·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，過作曲線的切線，切點在第一象限，則切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由，得，
設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，
把點代入并整理，得，
解得或（舍去），
故切線斜率為．
故選：C．
【變式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】對，
求導(dǎo)可得，，得到，所以，
，所以，，
故選D
題型05求切線方程（在型）
【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題設(shè)是偶函數(shù)，
∴，解得，
∴，
∴曲線在原點處的切線方程為.
故選：A
【典例2】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）曲線在點處的切線方程是
【答案】
【詳解】由可得，所以，
所以由點斜式可得切線方程為，即，
故答案為：
【變式1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程是 ．
【答案】
【詳解】，，，
所以曲線在點處的切線方程是，
即.
故答案為：
【變式2】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為
【答案】
【詳解】由題意，所以且，所以，
因此的圖象在處的切線斜率為，所以的圖象在處的切線方程為，化簡得.
故答案為：.
題型06求切線方程（過型）
【典例1】（2023下·山東威海·高二統(tǒng)考期末）寫出曲線過坐標(biāo)原點的一條切線方程 .
【答案】或（任寫一個即可）
【詳解】，設(shè)切點為，
故切線方程為，
由于切線過原點，故，
整理得，解得或.
當(dāng)時，切線方程為，即.
當(dāng)時，切線方程為，即.
故答案為：或（任寫一個即可）
【典例2】（2023下·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．
(1)若曲線在其上一點Q處的切線與直線平行，求Q的坐標(biāo)；
(2)求曲線的過坐標(biāo)原點O的切線的方程．
【答案】(1)或（2，0）
(2)或．
【詳解】（1），
設(shè)，因為直線的斜率為4，
所以，
解得或2．
，．
所以點Q的坐標(biāo)為或（2，0）．
（2）設(shè)切點為，則，，
所以在該點處的切線方程為．
因為切線過原點，所以，
解得或1．
又因為，，
所以切線方程為或．
【變式1】（2022上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點與曲線相切的切線方程為 ．
【答案】
【詳解】設(shè)切點為，則，
得，則切點為，
切線方程為，即．
故答案為：.
【變式2】（2023下·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；
(2)過點作的切線，求切線方程．
【答案】(1)12
(2)或
【詳解】（1）因為，
所以，
則．
（2），
設(shè)切點，則切線的斜率為，
故切線方程為，
將點代入得，
即，得，解得或，
所以切線方程為或．
題型07 利用相切關(guān)系求最小距離
【典例1】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得：；
由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，
在處的切線方程為，整理可得；
由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..
故答案為：.
【典例2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為 .
【答案】/
【詳解】
令，則，即曲線在處的切線方程為：，
即,
如下圖所示，當(dāng)時的最小值為點到直線的距離（為垂足）.
故.
故答案為：
【變式1】（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)點A在直線上，點B在函數(shù)的圖象上，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】設(shè)函數(shù)與直線平行的切線為，則的斜率為，
由，得，所以切點為，
則點到直線的距離就是的最小值，即.
故答案為：.
【變式2】（2023上·高二課時練習(xí)）在函數(shù)的圖象上求一點P，使P到直線的距離最短，并求這個最短的距離．
【答案】/
【詳解】設(shè)，
又，則過點的切線斜率，
當(dāng)過點的切線平行于直線時，點到直線的距離最短，
即，解得：，此時，
它到直線的距離，
故答案為：.
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，
，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：C.
2．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確．故選：D．
3．（2023上·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，所求切線斜率，
所求切線方程為：，即.
故選：A.
4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【詳解】直線的斜率為，
由題設(shè)知：在處的切線的斜率為，而，
∴，可得.故選：C.
5．（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為，，
所以，
故選：B.
6．（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．－1B．0C．1D．
【答案】C
【詳解】由已知可得，，
所以，，
所以，.故選：C.
7．（2023上·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．-2D．
【答案】A
【詳解】，由題意可知，切線的斜率，則
，解得：，，
所以.故選：A
8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若曲線與直線相切，則實數(shù)（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【詳解】直線，即，
對于，則，
設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率，
則切線方程為，即，
由題意可得，解得.故選：B.
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是（ ）
A．B．
C．＝D．
【答案】ABD
【詳解】,正確；
，正確；
，正確；
因為，所以C項錯誤，其余都正確.
故選： ABD
10．（2023下·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則過點且與曲線相切的直線方程可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【詳解】由，得，
設(shè)切點坐標(biāo)為，則，
則過切點的切線方程為，
把點代入，可得，
整理得：，即或.
當(dāng)時，切線方程為;
當(dāng)時，切線方程為.
故選：BC.
三、填空題
11．（2023上·廣東惠州·高三博師高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則 .
【答案】
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，所以.
故答案為：
12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則 .
【答案】
【詳解】易知：必有.
設(shè)兩曲線的交點為，，，由題意：，
兩式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得.
故答案為：
四、解答題
13．（2023下·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）由題意，故，
所以，而，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）令所求切線在曲線上的切點為，則，
所以切線方程為，
又在切線上，故或，
所以切線方程為或.
14．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與軸，軸分別交于點，，求的面積（為坐標(biāo)原點）；
(2)求與曲線相切，并過點的直線方程.
【答案】(1)6
(2).
【詳解】（1）∵，∴，又，
∴在處的切線方程為：，即，
∴可得，，
∴；
（2）設(shè)過點的直線與相切于點，
由，∴，∴切線方程為：
又切線過點，
∴，解得：，
∴所求切線方程為：，即.
B能力提升
1．（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)P為曲線上的點，求曲線C在點P處切線的斜率的最小值及傾斜角的取值范圍.
【答案】(1)
(2)1，
【詳解】（1）∵，∴，
當(dāng)時，，，
∴曲線在處的切線方程為，即；
（2）由題意，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
∴曲線C在點P處切線的斜率的最小值為1，
∴，又，
∴，即傾斜角的取值范圍為.
2．（2023下·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．
(1)若曲線的切線斜率不小于，求a的取值范圍；
(2)當(dāng)時，求曲線過點的切線方程．
【答案】(1)
(2)或．
【詳解】（1）由題意可得．
因為曲線的切線斜率不小于，所以恒成立，
即恒成立，則，
解得，即a的取值范圍是．
（2）當(dāng)時，，則．
當(dāng)是切點時，所求切線斜率，
則所求切線方程為．
當(dāng)不是切點時，設(shè)所求切線與曲線的切點為，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，
整理得，即，
解得或(舍去)，
則切點，所求切線斜率，.
故所求切線方程為．
綜上，所求切線方程為或．
3．（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，直線與曲線相切，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】設(shè)切點為，由得，由題意，
解得，所以，即，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故答案為：課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①能根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
②能熟練應(yīng)用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
③理解并熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。
④了解復(fù)合函數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
1.掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；
2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算公式；
3.能準(zhǔn)確應(yīng)用公式計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
4.會求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
5.能解決與切線、切點、斜率、待定參數(shù)相關(guān)的問題..
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
(為常數(shù))