2022-2023學(xué)年甘肅省天水市第一中學(xué)高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2022-2023學(xué)年甘肅省天水市第一中學(xué)高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題含答案，共13頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．已知直線l過、兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率，即可得出傾斜角
【詳解】直線過、兩點(diǎn)，則直線的斜率，∴直線的傾斜角為．
故選：A．
2．橢圓 的焦距為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】直接利用計(jì)算焦距即可.
【詳解】橢圓， ， ，故，焦距為.
故選：C
3．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，若,，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可求得公差，根據(jù)通項(xiàng)公式運(yùn)算得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，
所以.
故選：B.
4．若，則（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)對(duì)計(jì)算即可.
【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)，得，
所以，
即，
解得或(舍去).
故選：C
5．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的長是16，MN的中點(diǎn)到軸的距離是6，則值為（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】設(shè)中點(diǎn)為,過、、分別作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的可得，進(jìn)而利用中位線定理得，從而得解.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為,過、、分別作準(zhǔn)線的垂線，如圖所示：
則，，所以，
所以中位線，
所以則線段的中點(diǎn)到軸的距離為，
解得
故選：D.
6．展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．100D．220
【答案】A
【分析】先求得展開式的通項(xiàng)公式，分別求得展開式中常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)，化簡計(jì)算，即可得答案.
【詳解】由題意得展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，
所以，
令，解得，
所以，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：A
7．若圓的半徑為1，圓心在第三象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓心，根據(jù)其與軸相切得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】設(shè)圓心，圓：，
依題意有，圓心到直線的距離為
解得或（舍去）.
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.
故選：A.
8．已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】有條件知，兩直線的斜率均存在且不為0，寫出它們的斜截式方程后再進(jìn)行判斷．
【詳解】解：，直線與直線的斜率均存在
直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為
對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)小于0，直線的縱截距應(yīng)小于0，故A圖象不符合；
對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)小于0，故B圖象不符合；
對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故C圖象不符合；
對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在軸上的截距應(yīng)大于0，故D圖象符合．
故選：D．
9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足:，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得基本量，進(jìn)而求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，
由，得，則，
即，則，即，解得或（舍去），
又由得，即，所以，
又，所以=，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
故選：C.
10．已知圓具有性質(zhì)：若是圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于任意一點(diǎn)，則為定值．類比圓的這個(gè)性質(zhì)，雙曲線也具有這個(gè)性質(zhì)：若是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于任意一點(diǎn)，則為定值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，再表達(dá)出，結(jié)合雙曲線的方程化簡即可.
【詳解】設(shè)，則，
.
故選：B
二、多選題
11．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為
B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為
C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為
D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為
【答案】ABD
【分析】若任意選擇三門課程，由組合的概念可知選法總數(shù)為種，可判斷A錯(cuò)誤；若物理和化學(xué)至少選一門，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知選法總數(shù)為種，可判斷B錯(cuò)誤；若物理和歷史不能同時(shí)選，利用間接法可知選法總數(shù)為種，可判斷C正確；若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，分別討論計(jì)算，可判斷D錯(cuò)誤．
【詳解】對(duì)于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A錯(cuò)誤
對(duì)于B，若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法
若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯(cuò)誤
對(duì)于C，若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為種，故C正確
對(duì)于D，若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，
只選物理不選歷史，有種選法
選化學(xué)，不選物理，有種選法
物理與化學(xué)都選，不選歷史，有種選法
故總數(shù)為種，故D錯(cuò)誤
故選：ABD
12．若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．是數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減
D．?dāng)?shù)列前7項(xiàng)和最大
【答案】ACD
【分析】由為等差數(shù)列，列方程組求得首項(xiàng)與公差，就可得到通項(xiàng)公式，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，則，解得，，故A選項(xiàng)正確，
由，得，故B錯(cuò)誤，
因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，故C正確，
由數(shù)列通項(xiàng)公式可知，前7項(xiàng)均為正數(shù)，，所以前7項(xiàng)和最大,故D正確.
故選：ACD
三、填空題
13．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院選派5名醫(yī)生支援，5名醫(yī)生要分配到3個(gè)不同的病毒疫情嚴(yán)重的地方，要求每一個(gè)地方至少有一名醫(yī)生．則有 種不同的分配方法．
【答案】150
【分析】把5名醫(yī)生分成3組，然后再分配即得.
【詳解】根據(jù)題意，先把5名醫(yī)生分成3組再分配，
一是分成3,1,1然后分配，共有種分配方法，
二是分成2,2,1然后分配，共有種分配方法，
所以共有種分配方法.
故答案為：150.
14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為 ，此時(shí)n= ．
【答案】 －2 2或3
【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解．
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最小值，為．
故答案為：；2或3．
15．若兩圓和有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出兩圓的圓心及半徑，利用兩圓不相離列出不等式求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
依題意，兩圓不相離，則，即，解得或
所以的取值范圍是.
故答案為：
16．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，則四邊形的面積的最小值為
【答案】
【分析】依題意可得，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合勾股定理求出的最小值，即可求得四邊形的面積的最小值；
【詳解】解：由圓，得到圓心，半徑
由題意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)所求的面積也最小，
點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，
所求四邊形的面積的最小值為；
故答案為：
四、解答題
17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即得；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合條件求出，然后利用分組求和法即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)也滿足上式，
所以；
（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，即，
.
18．已知直線和直線相交于點(diǎn)P，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)P且與OP垂直．
(1)求直線的方程；
(2)求以O(shè)點(diǎn)為圓心10為半徑的圓與直線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）解方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線斜率后，由點(diǎn)斜式得直線方程并整理；
（2）由直線方程設(shè)，然后由可得．
【詳解】（1）由得，即，
，∴，的方程為，即；
（2）設(shè)，由，解得或，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為或．
19．已知．
(1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；
(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，最大的項(xiàng)的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，最大的項(xiàng)的系數(shù)為
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得，求出或，分別求解即可；
（2）根據(jù)題意得，求解計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意得，
所以．所以或，
當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是和．
所以的系數(shù)為，的系數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是．
所以的系數(shù)為．
（2）因?yàn)椋裕?br>所以或（舍去）．
設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，
因?yàn)椋裕?br>所以，
又，所以．所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng)，
．
20．已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)．
(1)若﹐求直線l的方程：
(2)若直線l與直線交于點(diǎn)N，直線l過定點(diǎn)A，求證：為定值．
【答案】(1)或；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)圓的弦長公式結(jié)合條件即得；
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合平面幾何知識(shí)可得，然后根據(jù)距離公式即得.
【詳解】（1）由圓，可知圓心為，半徑為2，
因?yàn)?，直線，即，
所以，
解得或，
所以直線方程為或，
即或；
（2）由直線可知直線過定點(diǎn)，
又，可知，又直線，，
所以，
如圖設(shè)，又M為線段PQ的中點(diǎn)，直線l與直線交于點(diǎn)N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以為定值，
若直線過圓心，則與重合，與重合，顯然，
綜上，為定值.
21．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
【答案】(1)詳見解析；
(2).
【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
兩邊同除以得，
因?yàn)?，所以?br>因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，即，
∴，
∴
.