2023-2024學(xué)年四川省成都市蓉城名校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2023-2024學(xué)年四川省成都市蓉城名校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．已知橢圓C:，則橢圓C的長軸長為（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓方程先判斷焦點位置，再確定的值，即得長軸長.
【詳解】由橢圓C:知橢圓焦點在軸上，故，解得，故橢圓C的長軸長為.
故選：C.
2．若直線l的傾斜角為，則它的方向向量可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由傾斜角求出斜率，再根據(jù)斜率的定義求出結(jié)果即可.
【詳解】因為直線l的傾斜角為，
所以，
由斜率的定義可知，取，解得一組解可以是，
所以直線的一個方向向量可以是，
故選：B
3．某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中5人的比賽成績分別為：70，85，90，75，95，則這5人成績的上四分位數(shù)是（ ）
A．90B．75C．95D．70
【答案】A
【分析】根據(jù)第p百分位數(shù)定義計算判斷即可.
【詳解】將5人的比賽成績由小到大排列依次為：70，75，85，90，95，
，5人成績的上四分位數(shù)為第四個數(shù):90.
故選：A.
4．若方程表示一個圓，則m可取的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】將題設(shè)中的一般式方程經(jīng)配方化成標(biāo)準(zhǔn)方程，依題須使右式大于零，求得的范圍，對選項進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由方程分別對進(jìn)行配方得：，
依題意它表示一個圓，須使，解得：或，在選項中只有D項滿足.
故選：D.
5．有5個相同的球，其中3個白球，2個黑球，從中一次性取出2個球，則事件“2個球顏色不同”發(fā)生的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】計算出從中一次性取出2個球，共有的情況數(shù)以及2個球顏色不同的情況數(shù)，從而求出概率.
【詳解】從中一次性取出2個球，共有的情況數(shù)為種，
其中事件“2個球顏色不同”發(fā)生的情況有種，
故事件“2個球顏色不同”發(fā)生的概率為.
故選：C
6．已知圓，圓，點為軸上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)，作圓心關(guān)于軸的對稱點，由對稱性可知，，可得出，利用當(dāng)、、三點共線時，取最小值，求解即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
如下圖所示：
作圓心關(guān)于軸的對稱點，由對稱性可知，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取最小值.
故選：B.
7．已知等腰直角三角形ABC，，點D為BC邊上的中點，沿AD折起平面ABD使得，則異面直線AB與DC所成角的余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，證明平面,不妨設(shè),以為基底的空間向量，,再求解，從而求出，根據(jù)是異面直線，求解其余弦值.
【詳解】已知等腰直角三角形,點是中點，則,
沿著翻折平面可得,
所以,
又,平面，
所以平面,
不妨設(shè),則，
以為基底的空間向量，
所以，則
所以，
因為是異面直線，所以異面直線的余弦值為.
故選：B
8．過點作圓的切線，切點分別為A，B，則弦長的最小值為（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【分析】點四點共圓，求出此圓的方程，與相減后得到弦的方程，得到圓心到的距離和弦長，求出最小值.
【詳解】圓的圓心為，
故點四點共圓，其中為直徑，
故此圓的圓心為，即，
直徑為，
故此圓的方程為，
與相減得，，
故弦的方程為，
圓心到的距離為，
故弦長.
故選：A
二、多選題
9．已知甲、乙兩蔬菜店春節(jié)假期一周銷售蔬菜量統(tǒng)計如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差
B．甲店在春節(jié)假期間每天的銷售量越來越大
C．甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
D．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，則
【答案】AC
【分析】從圖中甲乙的數(shù)據(jù)走勢情況，結(jié)合極差，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的定義作出判斷.
【詳解】A選項，從圖中可以看出甲的極差小，乙的極差大，甲組數(shù)據(jù)的極差小于乙組數(shù)據(jù)的極差，A正確；
B選項，從圖可以看出甲店在春節(jié)假期間每天的銷售量有增加的，也有減少的，處于波動中，B錯誤；
C選項，由于甲組數(shù)據(jù)除1個數(shù)據(jù)稍微小于乙組數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)都大于乙組數(shù)據(jù)，
故甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，C正確；
D選項，從圖中可以看出甲組數(shù)據(jù)的波動幅度小，乙組數(shù)據(jù)的波動幅度大，故，D錯誤.
故選：AC
10．一個質(zhì)地均勻的骰子，擲一次骰子并觀察向上的點數(shù)．A表示事件“骰子向上的點數(shù)大于等于3”，B表示事件“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由題意，根據(jù)事件的基本運算，結(jié)合古典概型的概率公式依次計算即可求解.
【詳解】A：擲一枚骰子并觀察向上的點數(shù)，樣本空間為，共6個樣本點，
則，共4個樣本點，所以，故A正確；
B：，共3個樣本點，所以，故B錯誤；
C：由選項AB知，，共5個樣本點，所以，故C正確；
D：由選項AB知，，共2個樣本點，所以，故D正確.
故選：ACD
11．已知曲線，直線，點A為曲線C上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線l恒過定點
B．當(dāng)時，直線l被曲線C截得的弦長為
C．若直線l與曲線C有兩個交點，則m的范圍為
D．當(dāng)時，點A到直線l距離的最小值為
【答案】BC
【分析】A選項，變形得到，得到方程組，求出定點；B選項，當(dāng)時，直線，曲線為以為圓心，2為半徑的上半圓，數(shù)形結(jié)合及垂徑定理得到答案；C選項，由B選項可知，當(dāng)時，有兩個交點，當(dāng)時，僅有一個交點，再利用點到直線距離公式求出直線與半圓相切時的m值，得到答案；D選項，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)A為原點時距離最小，求出最小值.
【詳解】A選項，直線變形為，
令，解得，
故直線過定點，A錯誤；
B選項，當(dāng)時，直線，
兩邊平方得，為以為圓心，2為半徑的上半圓，
半圓與直線相交，如圖所示，
圓心到直線的距離為，弦長為，B正確；
C選項，由B選項可知，當(dāng)時，有兩個交點，當(dāng)時，僅有一個交點，
當(dāng)直線與曲線相切時，點到直線的距離為2，
故，解得（舍）或，所以m的范圍為，C正確；
D選項，當(dāng)時，直線，如圖所示，
由圖可知，當(dāng)A為原點時距離最小，且最小值為，D錯誤.
故選：BC．
12．已知橢圓的上、下焦點分別為，，上頂點為A，右頂點為B，原點為O，直線與橢圓C交于D，E兩點，點，則（ ）
A．四邊形面積的最大值為
B．四邊形的周長為12
C．直線BD，BE的斜率之積為
D．若動點Q滿足，且點P為橢圓C上的一個動點，則的最大值為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)橢圓定義結(jié)合橢圓對稱性可判斷B；設(shè)，則，表示出BD，BE的斜率之積，結(jié)合點在橢圓上即可化簡求值，進(jìn)而判斷C；先求出動點的軌跡方程，進(jìn)而結(jié)合橢圓定義求解即可判斷D.
【詳解】由橢圓，則，，
所以，即，，，
則,，，，
因為直線過原點，所以四邊形為平行四邊形，
即面積取最大值時，四邊形面積取最大值，
此時，四邊形面積的最大值為，故A正確；
四邊形的周長為，故B正確；
設(shè)，則，而，
所以，
又在橢圓上，則，
整理得，，
所以，故C錯誤；
若設(shè)動點，由，可得，
化簡得，即，
所以Q在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，故D正確.
故選：ABD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項關(guān)鍵在于要先求出動點的軌跡方程，進(jìn)而結(jié)合橢圓定義，利用圖象進(jìn)行求解.
三、填空題
13．如圖，A，B是兩個獨立的開關(guān)，設(shè)它們閉合的概率分別為，，則該線路是通路的概率為 ．
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)獨立事件和對立事件的概率公式計算即可求解.
【詳解】由題意知，，則，
所以線路為通路的概率為.
故答案為：
14．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點是橢圓上一點，若，則 ．
【答案】
【分析】由橢圓定義及代入點的坐標(biāo)求出，得到答案.
【詳解】由橢圓定義得到，解得，
點是橢圓上一點，故，即，
所以，故.
故答案為：
15．正方體的棱長為2，BC棱上一點P滿足，則直線PA與平面AB1C所成角的正弦值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量法求線面角，即可求解.
【詳解】以D為原點建系如下，
則，，，，，
得，設(shè)，，，
則，
因為，所以，解得，，
設(shè)平面AB1C的一個法向量為，
則，令，得，所以，
則，
所以直線PA與平面AB1C所成角的正弦值為.
故答案為：．
16．已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為 （寫成集合或區(qū)間形式）．
【答案】
【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為，根據(jù)求出，故點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，分圓M與直線AB相切和兩種情況，求出離心率的取值范圍.
【詳解】直線AB方程為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，
，故，
所以點P在以原點為圓心，為半徑的圓M上，
① 圓M與直線AB相切，則原點到直線的距離等于半徑，
，即，，
方程兩邊同除以得，，解得，
故，
②若，，解得，
綜上，的取值范圍為．
故答案為：.
【點睛】橢圓離心率是最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).
四、解答題
17．已知直線，．
(1)若直線，求m的值；
(2)若直線，求l1與l2的距離．
【答案】(1)6；
(2)
【分析】（1）利用兩直線垂直的充要條件列方程即得；
（2）利用兩直線平行的充要條件列方程求出的值，再運用兩平行線之間距離公式求解.
【詳解】（1），，
，，
m的值為6；
（2），
，解得：或，
驗證，，兩直線重合，舍去，
時，，，
故與的距離為．
18．已知圓，圓，若動圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；
(2)直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點，若Q為線段AB的中點，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用兩圓內(nèi)外切的充要條件可求出動點到兩定點的距離，再運用橢圓的定義判斷動點的軌跡，最后對軌跡上的特殊點進(jìn)行檢測，去除不符題意的點即得；
（2）利用橢圓的中點弦問題運用“點差法”即可求出弦的斜率即得直線方程.
【詳解】（1）設(shè)動圓M的半徑為r，動圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切，
，且，于是，
動圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長為8的橢圓，
故，，橢圓方程為
又因當(dāng)M點為橢圓左頂點時，動圓M不存在，故不合題意舍去，
故動圓圓心M的軌跡C的方程為；
（2）設(shè)，由題意，顯然，
則有，，兩式作差可得，
即有，又Q為線段AB的中點，
則有，代入即得直線l的斜率為，
直線l的方程為，整理可得直線l的方程為.
19．傳唱紅色歌曲能夠彌補青少年面對社會多元化的彷徨，有助于在紅歌中受到啟迪，樹立積極的生活態(tài)度和健康的價值觀．某重點高中在紀(jì)念“一二·九”活動中，舉辦了“唱青春之序曲，展時代之芳華”紅色經(jīng)典歌曲合唱比賽，由專業(yè)教師和學(xué)生會共50人組成評委團(tuán)，評委所打分?jǐn)?shù)的平均分最高的節(jié)目參加區(qū)合唱比賽．評委對各節(jié)目的給分相互獨立，互不影響．現(xiàn)有兩個特等獎節(jié)目：《在太行山上》得分的頻率分布直方圖和《四渡赤水出奇兵》得分的頻率分布表，如下所示：
(1)從兩個節(jié)目各自的平均分來看，應(yīng)該推選哪個節(jié)目參加區(qū)合唱比賽（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)根據(jù)印象值表對兩個節(jié)目的所有評分進(jìn)行賦值，從兩個節(jié)目的“印象值”分?jǐn)?shù)中各隨機抽取一個分?jǐn)?shù)，試估計《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率．
【答案】(1)應(yīng)該推選《在太行山上》參加區(qū)合唱比賽；
(2)0.284．
【分析】（1）求出兩者的平均分，比較后得到結(jié)果；
（2）設(shè)出事件，根據(jù)獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，《在太行山上》的平均得分約為：
，
由頻率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分約為：
，
，故應(yīng)該推選《在太行山上》參加區(qū)合唱比賽；
（2）設(shè)“對《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”為事件M，
設(shè)表示事件“對《在太行山上》印象值為9”，
設(shè)表示事件“對《在太行山上》印象值為10”，
設(shè)表示事件“對《四渡赤水出奇兵》印象值為8”，
設(shè)表示事件“對《四渡赤水出奇兵》印象值為9”，
則，
，，
，，
事件與相互獨立，其中，，
，
估計對《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率為0.284．
20．圓C經(jīng)過點和點，且圓心C在直線上．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求直線AB的方程及原點O到直線AB距離最大時m的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）求出線段EF的垂直平分線，聯(lián)立直線，求出圓心和半徑，即得答案；
（2）求出以線段PC為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和圓C方程相減，即可求得直線AB的方程，求出直線AB所過定點N，確定當(dāng)時，原點O到直線AB的距離最大，根據(jù)斜率之間的關(guān)系，求得答案.
【詳解】（1）由題意知圓C經(jīng)過點和點，
線段EF的中點坐標(biāo)為，
則線段EF的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立，得C，則
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）線段PC的中點坐標(biāo)為，
以線段PC為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
即，
圓C方程化為：，
兩式相減得：，即為直線AB的方程，
即;
由，直線AB經(jīng)過定點，
當(dāng)時，原點O到直線AB的距離最大，
，
，解得．
21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，點E是線段PC（不含端點）上的一個動點.
(1)設(shè)平面ADE交PB于點F，求證：EF平面PAD；
(2)當(dāng)點E到平面PAD的距離為時，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)點到平面的距離的向量公式求出點E的坐標(biāo)，然后利用向量法求出兩個平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）因為四邊形ABCD為菱形，所以，
因為平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
因為平面ADE，平面平面，所以，
因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD；
（2）在AB上取中點O，因為是等腰直角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，
又底面是邊長為2的菱形，且，所以，
故以O(shè)為原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，
則，，，，，
，，，
設(shè)，則，
設(shè)是平面PAD的一個法向量，
則，即，令可得，
由點E到平面PAD的距離為得，所以，解得，
故點E為CP中點，所以，所以，又，
設(shè)是平面ADE的一個法向量，
則，即，令可得，
又，故是平面ABCD的一個法向量，
得，
所以平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為.
22．已知橢圓的方程為，稱圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓為橢圓的“蒙日圓”，橢圓的焦距為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于、兩點，與其“蒙日圓”交于、兩點，當(dāng)時，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時，根據(jù)的值求出的方程，進(jìn)而可求得的面積；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，根據(jù)可得出，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式、三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值.
【詳解】（1）解：因為橢圓的焦距為，離心率為，
則，可得，故橢圓的方程為.
（2）解：由題意，蒙日圓方程為，圓心為，半徑，
①當(dāng)軸時，設(shè)直線的方程為，
將代入“蒙日圓”的方程得，解得，
則，解得：，
將直線的方程代入橢圓C的方程可得，解得，則，
所以，；
②當(dāng)直線不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，得，
聯(lián)立，消去得，
，可得，
設(shè)、，則，，
，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
又因為，故的面積的最大值為.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
分?jǐn)?shù)區(qū)間
[35,45）
[45,55）
[55,65）
[65,75）
[75,85）
[85,95]
頻數(shù)
1
4
10
22
11
2
頻率
0.02
0.08
0.20
0.44
0.22
0.04
分?jǐn)?shù)區(qū)間
[35，55）
[55，75）
[75，95]
印象值
8
9
10